不定復(fù)空間型中具有常數(shù)量曲率的完備全實(shí)2-調(diào)和類(lèi)空子流形

陳亞力，宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國(guó) 蕪湖　241000)

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不定復(fù)空間型中具有常數(shù)量曲率的完備全實(shí)2-調(diào)和類(lèi)空子流形

陳亞力*，宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國(guó) 蕪湖241000)

不定復(fù)空間；完備；2-調(diào)和；類(lèi)空

當(dāng)H=0,p=0時(shí)，與文獻(xiàn)[5]結(jié)論一致.

當(dāng)H=0,p=0時(shí)，與文獻(xiàn)[5]結(jié)論一致.

1　基本公式和引理

e1,…,en+p,e1*,…,e(n+p)*,

使得限制于Mn時(shí)，{e1,…,en}與Mn相切.本文約定各類(lèi)指標(biāo)取值范圍

A,B,C,…=1,…,n+p,1*,…,(n+p)*;i,j,k,…=1,…,n;α,β,γ,…=n+1,…,n+p,1*,…,(n+p)*.

其中

這里(JAB)為線性變換J關(guān)于{eA}的變換矩陣.

限制在Mn上有[8]

(1)

若以R表示Mn的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量曲率，則有

n(n-1)R=n(n-1)-n2H2+S,

trHα=0,(α≠(n+p)*),

由文獻(xiàn)[10]有，

(2)

由上述公式不難計(jì)算：

因此

(3)

2　定理的證明

(4)

(5)

由式(4)及式(2)可得(4)改寫(xiě)成

將此式兩端關(guān)于指標(biāo)i求共變導(dǎo)數(shù)，并關(guān)于i求和，得

調(diào)整式(5)指標(biāo)，可得

引理2[12-13]設(shè)Mn是Ricci曲率有下界的完備黎曼流形，f是Mn上C2類(lèi)有界函數(shù)，則對(duì)?ε>0,都存在一點(diǎn)x∈Mn,使得在x處

‖gradf‖≤ε,Δf>-ε,f(x)

證由式(1),

水泥砂漿試件為正方體試件，邊長(zhǎng)為70.7 mm。膠砂比為1∶2，水灰比包括3種，即0.55、0.60和0.65。試件經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)養(yǎng)護(hù)28 d后，然后放到凍融試驗(yàn)機(jī)內(nèi)進(jìn)行凍融。凍融溫度為±20℃，當(dāng)凍融循環(huán)次數(shù)分別為0次、25次和50次后，將試件取出進(jìn)行單軸壓縮試驗(yàn)。在進(jìn)行單軸壓縮試驗(yàn)時(shí)，加載的應(yīng)變速率分為4種，即分別為10-2 s-1、10-3 s-1、10-4 s-1和10-5 s-1。

定理1的證明由式(3).

(6)

其中

(7)

(8)

(9)

(10)

由于R為常數(shù),

ΔS=Δ(n2H2).

(11)

由上述各式可知，

(12)

(13)

由引理3可知，f滿(mǎn)足引理2的條件，對(duì)任意序列εm,εm>0且εm→0(m→∞),都存在Mn上的一點(diǎn)列xm,使得

(14)

由式(13)和式(14)可以看到，

(15)

當(dāng)εm→0時(shí)，f(x)達(dá)到下確界，S(x)達(dá)到上確界，在式(15)中令m→∞，結(jié)合式(12)得

(16)

由上式可知，若-2n2H2+n-1≥0,即

必有Mn全測(cè)地.

那么，

nH2≤S≤(2p+n)(2n2H2-n+1),

即

定理1證畢.

定理2的證明Mn是偽臍的，即

(17)

由式(6),(7),(8),(9),(10),(11),(17)可得

(18)

和定理1證明同理，應(yīng)用引理2結(jié)合式(15)和式(18)可得，

(19)

由式(19)可知，若-nH2(n+1)+n-1≥0,即

必有Mn全測(cè)地.

那么，

即

定理2證畢.

[1]CHOI Y S, KWON J H, SUH Y J. On semi-Ryan complex submanifolds in an indefinite complex space form[J]. Rocky Moun J Math, 2001,31(3):873-897.

[2]KENDALL D G. Shape manifolds, procrustean metrics, and complex projective spaces[J]. Bull London Math Soc, 1984,16(2): 81-121.

[3]DONG Y. On indefinite special Lagrangian submanifolds in indefinite complex Euclidean spaces[J]. J Geom Phys, 2009,59(6):710-726.

[4]ERDEM S, GLAZEBROOK J F. Harmonic maps of Riemann surfaces to indefinite complex hyperbolic and projective spaces[J]. Proc London Math Soc, 1983,3(3):547-562.

[5]孫華飛.不定復(fù)空間型中的全實(shí)極大類(lèi)空子流形[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào), 1994,15(5):547-550.

[6]VRANCKEN L. Minimal Lagrangian submanifolds with constant sectional curvature in indefinite complex space forms[J]. Proc Am Math Soc, 2002,130(5):1459-1466.

[7]CHENG Q. Complete space-like submanifolds in a de Sitter space with parallel mean curvature vector[J]. Math Zeit, 1991,206(1):333-339.

[8]YAU S T. Submanifolds with constant mean curvature[J]. Am J Math, 1974,96(2):346-366.

[9]CHEN B, OGIUE K. On totally real submanifolds[J]. Trans Am Math Soc, 1974,193:257-266.

[10]ROMERO A, SUH Y J. Dierential geometry of indefinite complex submanifolds in indefinite complex space forms[J]. Extr Math, 2004,19(3):339-398.

[11]歐陽(yáng)崇珍.偽黎曼空間型的2-調(diào)和類(lèi)空子流形[J].數(shù)學(xué)年刊：A輯, 2000,21(6):649-654.

[12]OMORI H. Isometric immersions of Riemannian manifolds[J]. J Math Soc Jap, 1967,19(2):205-214.

[13]YAU S T. Harmonic functions on complete Riemannian manifolds[J]. Comm Pure Appl Math, 1975,28(2):201-228.

[14]紀(jì)永強(qiáng).子流形幾何[M].北京：科學(xué)出版社, 2003.

(編輯HWJ)

Indefinite Complex Space form with Constant Scalar Curvature in a Complete Totally Real Space-Like Biharmonic Submanifold

CHEN Ya-li*, SONG Wei-dong

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

indefinite complex space form; complete; biharmonic; space-like

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.03.012

2016-03-04基金項(xiàng)目：安徽省教育廳自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2010A125)；安徽師范大學(xué)科研培育基金(2016XJJ017)*通訊作者,E-mail：chenylwuhu@qq.com

O186.15

A

1000-2537(2016)03-0069-06