巧用對稱性求證“零點(diǎn)”不等式

江西省南昌市灣里一中　(330004)

羅世評

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巧用對稱性求證“零點(diǎn)”不等式

江西省南昌市灣里一中(330004)

羅世評

近年來，不論在各省市調(diào)研卷中，還是在高考中都出現(xiàn)了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題.而這類問題中常常出現(xiàn)求證零點(diǎn)不等式恒成立的問題，可這類題型常用消參法求解使得求解過程往往比較繁瑣，致使很多學(xué)生在這類問題中很困惑.筆者經(jīng)過認(rèn)真思考巧用函數(shù)性質(zhì)中的“對稱性”給出了一種相對比較簡單易懂的解法.在本文中將這種方法稱為“對稱法”，以期對考生有所幫助.

例1(2015年南昌市高三調(diào)研測試21題)已知f(x)=x-aex(a∈R，e為自然對數(shù)的底).

(1) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2) 若f(x)≤e2x對x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3) 若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點(diǎn)，求證：x1+x2>2.

第(1)(2)較易在此不做研究，以下是第(3)問的解析：

評注：本題第(3)問主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式恒成立等知識.平時(shí)大家常用消參來解答，但使用該方法過程中的消參、換元、求導(dǎo)及運(yùn)算過程都比較繁瑣，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來極大的困難.然而利用對稱法來求解，卻巧妙利用數(shù)形結(jié)合的思想簡化了消參的運(yùn)算過程.同時(shí)根據(jù)函數(shù)g(x)在x∈(1，+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到有效求證零點(diǎn)不等式的目的.

例2函數(shù)f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)A，B，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，求證：f′(x0)<0.