構(gòu)造函數(shù)巧證不等式
——從一道中科大夏令營試題談起

湖北省武漢市鋼城第十六中學　(430080)

鄭　玲

廣東省珠海市實驗中學　　　　(519090)

王恒亮

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構(gòu)造函數(shù)巧證不等式
——從一道中科大夏令營試題談起

湖北省武漢市鋼城第十六中學(430080)

鄭玲

廣東省珠海市實驗中學(519090)

王恒亮

問題(2013年中科大數(shù)學夏令營試題)

該問題的證明方法很多，上述證明是通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=3x-x-1來證明不等式，應該說是很多方法中較為簡單的一種證法，通過合理構(gòu)造函數(shù)，然后討論函數(shù)的最值來得出相關不等式給我們帶來好的效果！事實上，這種構(gòu)造函數(shù)來證明不等式的方法在近幾年國內(nèi)外各級各類數(shù)學競賽中多有出現(xiàn)，下面略舉幾例與讀者分享.

例1(2009年清華大學自主招生試題)

注：結(jié)合待證式構(gòu)造函數(shù)，從而分析函數(shù)的最值，使得本題的證明簡潔明了!

例3(2010年中國數(shù)學奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題)設x，y，z∈R+，x2+y2+z2=3，求證：

注1：本題的證明方法較多，但通過拆分構(gòu)造，討論單一函數(shù)的凸凹性，并結(jié)合幾何性質(zhì)得到我們所需要的不等式，綜合后再運用柯西不等式即證得結(jié)果.這種先分后合再構(gòu)造求證的方法效果好，但對思維的靈活性要求較高，需要平時學習時不斷地積累.

注2：若y=f(x)在區(qū)間，D上為凸函數(shù)，則由幾何意義可知f(x)≥f(x0)+f(x0)(x-x0)，這點在解決凸凹函數(shù)時很有意義，這也為我們證明與函數(shù)相關的不等式指明了方向！

圖1

注3：對上述證明過程的直觀幾何解釋：

由圖可知，若y=f(x)在區(qū)間D上可導，x0∈D，對任意的x∈D，則

(1)若f(x)為D上的凹函數(shù)(圖1)，則f(x)≤f(x0)+f(x0)(x-x0).

圖2

(2)若f(x)為D上的凸函數(shù)(圖2)，則f(x)≥f′(x0)+f(x0)(x-x0).

例4(第31屆IMO試題預選題)

類似于上述例3、4、5的方法，請讀者自行完成如下問題：

問題1(第二屆世界友誼杯數(shù)學競賽試題)

問題2(2005年塞爾維亞數(shù)學奧林匹克試題)