梵天塔游戲中的數(shù)學(xué)

梁媛媛

【摘 要】 在梵天塔游戲中除了蘊(yùn)含有趣的邏輯推理外，還可以抽象出數(shù)列，深入研究會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)字中藏著很多秘密。數(shù)列通項(xiàng)公式的得到可以用不完全歸納法猜想得到，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可以用疊加法推導(dǎo)，這些都是數(shù)學(xué)中非常重要和常用的思想和方法。

【關(guān) 鍵 詞】 梵天塔游戲；教學(xué)；數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)家陳省身曾為少年兒童題詞寫(xiě)下“數(shù)學(xué)好玩”四個(gè)大字，數(shù)學(xué)家張景中著有《好玩的數(shù)學(xué)》叢書(shū)，談祥柏著有《樂(lè)在其中的數(shù)學(xué)》，數(shù)學(xué)的好玩在數(shù)學(xué)游戲中有，又不限于數(shù)學(xué)游戲，在數(shù)學(xué)游戲中感受數(shù)學(xué)的好玩也有不同層次和境界，梵天塔游戲能啟迪學(xué)生心智、開(kāi)闊視野、增長(zhǎng)知識(shí)、鍛煉思維、提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)。在梵天塔游戲中蘊(yùn)含許多值得研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在玩游戲之前是預(yù)料不到的，而且這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有趣的、有用的，更是必要的，值得我們認(rèn)真深入挖掘。

有關(guān)梵天塔游戲有一個(gè)傳說(shuō)，說(shuō)的是在古印度有一座大寺廟，有一方形底座，上面立著三根鉆石做的圓柱，在其中一根上穿了64個(gè)大小不同的金環(huán)，依照下面大上面小的順序排列著。上帝命令僧侶要將64個(gè)金環(huán)移到另一根圓柱上，移動(dòng)規(guī)則是每一次只能移動(dòng)一個(gè)金環(huán)，而且大的金環(huán)不能放在小的金環(huán)上。如果這些工作完成，就是世界消失的日子。

從這個(gè)傳說(shuō)自然會(huì)產(chǎn)生這樣的問(wèn)題：要移動(dòng)多少次？需要多長(zhǎng)時(shí)間？

從傳說(shuō)的故事開(kāi)始激發(fā)學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，于是又進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，為了解決上面的問(wèn)題，先從圓環(huán)數(shù)目少的情況研究開(kāi)始?？梢园l(fā)現(xiàn)，一個(gè)圓環(huán)，移動(dòng)1次即可；兩個(gè)圓環(huán)，需要移動(dòng)3次；三個(gè)圓環(huán)，需要移動(dòng)7次；四個(gè)圓環(huán)，需要移動(dòng)15次；五個(gè)圓環(huán)，需要移動(dòng)31次……

猜想：n個(gè)圓環(huán)，需要移動(dòng)多少次？

若把每種情況的移動(dòng)次數(shù)依次記下來(lái)，就形成了一個(gè)數(shù)列1，3，7，15，31，……于是上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：數(shù)列的第n項(xiàng)是多少？也就是說(shuō)數(shù)列通項(xiàng)公式是什么？項(xiàng)數(shù)表示圓環(huán)個(gè)數(shù)，數(shù)列的項(xiàng)表示按要求移動(dòng)圓環(huán)到目標(biāo)柱上所用的步驟數(shù)。

在移動(dòng)過(guò)程中能夠發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：n個(gè)圓環(huán)最初按下面大上面小的順序穿在第一根柱子上，要移動(dòng)最下面最大的第n個(gè)圓環(huán)，首先必須把它上面的其他n-1個(gè)圓環(huán)移到另一根柱子上，再把第n個(gè)圓環(huán)移到第三根目標(biāo)柱上，最后再把其他n-1個(gè)圓環(huán)移到第n個(gè)圓環(huán)的上面即可完成所有的任務(wù)。

若按要求移動(dòng)n個(gè)圓環(huán)到目標(biāo)柱上所用的步驟數(shù)記為an，按要求移動(dòng)n-1個(gè)圓環(huán)到目標(biāo)柱上所用的步驟數(shù)記為an-1，則由上面的分析知道：an=2an-1+1

從這個(gè)數(shù)列的遞推公式出發(fā)有三種方法得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。

②式兩邊同乘2，③式兩邊同乘22，④式兩邊同乘23……，最后一個(gè)式子式兩邊同乘2n-2，然后把①式和這些得到的式子相加得：

an=1+2+22+23+24+……+2n-1

即得：an=2n-1

總之，在知道數(shù)列的遞推公式的情況下，與方法一一樣使用疊加法來(lái)推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

方法三：

從a1=1=2-1，a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，a5=31=25-1……

可以歸納出結(jié)論：an=2n-1

用不完全歸納法得到的結(jié)論需要證明，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明如下：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，也就是只有一個(gè)圓環(huán)時(shí)，顯然移動(dòng)1次即可，a1=2-1=1，說(shuō)明式子當(dāng)n=1時(shí)成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)式子成立，即ak=2k-1，也就是按規(guī)則移動(dòng)k個(gè)圓環(huán)到指定柱子時(shí)，顯然移動(dòng)2k-1次。從前面的分析我們已經(jīng)知道，要移動(dòng)最大的第n個(gè)圓環(huán)，首先必須把它上面的其他n-1個(gè)圓環(huán)移到另一根柱子上，再把第n個(gè)圓環(huán)移到第三根柱子上，最后再把其他n-1個(gè)圓環(huán)移到第n個(gè)圓環(huán)的上面即可完成任務(wù)。也就是an=2an-1+1，類似容易知道ak+1=2ak+1，于是ak+1=2（2k-1）+1=2k+1-1，也就證明了當(dāng)n=k+1時(shí)式子an=2n-1成立。

利用數(shù)學(xué)歸納法，由上面兩點(diǎn)證明了移動(dòng)n個(gè)圓環(huán)到目標(biāo)柱上所用的步驟數(shù)為：an=2n-1

再回到最初的故事，要移動(dòng)64個(gè)金環(huán)，就是當(dāng)n=64時(shí)，移動(dòng)次數(shù)為：

a64=264-1=18，446，744，073，709，551，615次

若每移動(dòng)一次用一秒，一小時(shí)3600秒，一天24小時(shí)，一年365天，一共大約需5840億年，才能移完。學(xué)生從來(lái)不會(huì)想到264竟然是那么大的數(shù)字，有了這次經(jīng)歷，他們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)又加深了。

上面的問(wèn)題如果再加一限制條件，每次移動(dòng)金環(huán)只能移到相鄰的圓柱上，問(wèn)需多少次才能移完？可以作為另外的思考題目，讓學(xué)生進(jìn)一步課下研究。

總之，在梵天塔游戲中，除了蘊(yùn)含有趣的邏輯推理外，還可以抽象出數(shù)列，深入研究會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)字中藏著很多秘密。數(shù)列通項(xiàng)公式的得到可以用不完全歸納法猜想得到，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可以用疊加法推導(dǎo)，這些都是數(shù)學(xué)中非常重要和常用的思想和方法。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 劉淑珍. 游戲中的數(shù)學(xué)[J]. 文理導(dǎo)航（教育研究與實(shí)踐），201（5）.

[2] 徐維娣. 妙用游戲，激活數(shù)學(xué)課堂[J]. 小學(xué)教學(xué)參考，2016（14）.

[3] 吳向紅. 游戲：一種有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J]. 科普童話（新課堂）（上），2016（3）.