解決選擇、填空題中抽象函數(shù)問題的幾個(gè)有效方法

周建萍

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）06-0123-01

在高考數(shù)學(xué)的選擇題中，有一類問題的求解是學(xué)生頗感困難的，即抽象函數(shù)問題。由于此類問題中的函數(shù)為抽象函數(shù)，不像具體的函數(shù)有確定的函數(shù)解析式，也沒有確定的性質(zhì)可用，學(xué)生解題時(shí)往往感覺無從入手。加上此類問題大多綜合考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì)，常常還要運(yùn)用到化歸的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。本文就近幾年高考題中出現(xiàn)的抽象函數(shù)問題，談?wù)劷鉀Q這類問題的幾種有效方法。

一、賦值法

由于抽象函數(shù)沒有具體的函數(shù)解析式，求函數(shù)值時(shí)無解析式可代入，故其求函數(shù)值時(shí)常采用賦值法。

1.（四川卷）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）·f（x+2）=13，若f（1）=2，則f（99）=（ ）

2.（陜西卷）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，則f（-3）等于（ ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

解析：由于函數(shù)f（x）是抽象函數(shù)，故適合賦值法。

由已知f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0）+2×0×0，所以f（0）=0，令x=y=1得f（2）=f（1）+f（1）+2×1×1=6，f（3）=f（2）+ f（1）+2×2×1=12，令x=3，y=-3得f（0）=f（3）+f（-3）+2×3×（-3），因?yàn)?f（0）=0，所以f（-3）=6.故選C

二、利用函數(shù)的性質(zhì)法

抽象函數(shù)問題大多涉及函數(shù)的奇偶性、周期性，單調(diào)性等性質(zhì)，又由于其為抽象函數(shù)，不像具體的初等函數(shù)有確定的函數(shù)性質(zhì)，因而解決這類問題必須從函數(shù)性質(zhì)的定義出發(fā)，運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等解答問題。

3.（全國卷Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則（ ）

A.f（x）是偶函數(shù) B.f（x）是奇函數(shù)

C.f（x）=f（x+2） D.f（x+3）是奇函數(shù)

解析：本題中涉及函數(shù)圖像的平移，函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)，加上函數(shù)f（x）是抽象函數(shù)，學(xué)生往往感覺無從入手。事實(shí)上，只要抓住函數(shù)圖像的平移，函數(shù)的奇偶性質(zhì)的判定，問題不難解決。

∵ f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）= -f（x-1）

∴函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）及點(diǎn)（-1，0）對稱，函數(shù)f（x）是周期為T=2|1-（-1）|=4的周期函數(shù)。f（-x-1+4）=f（x-1+4），即f（-x+3）= -f（x+3），即f（x+3）是奇函數(shù)。故選D。

三、構(gòu)造函數(shù)法

4.（2015課標(biāo)卷Ⅱ12題）函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（ ）

A.（-∞，-1）∪（0，1） B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0） D.（0，1）∪（1，+∞）

四、數(shù)形結(jié)合法

5. （山東卷）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x-4）= -f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間 [-8，8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=________.

解析：本題綜合了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性，以及由函數(shù)圖像解答方程問題，但因?yàn)楹瘮?shù)是抽象函數(shù)，故運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答。

因?yàn)閒（x）為定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（x-4）=-f（x），所以 f（x-4）=f（-x），由f（x）為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于直線x=2對稱且f（0）=0，由f（x-4）=-f（x）知f（x-8）=f（x），所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)。又因?yàn)閒（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，所以f（x）在區(qū)間[-2，0]上也是增函數(shù)。如圖所示，那么方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間[-8，8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1

答案：-8

抽象函數(shù)問題是高考中的?？碱}型，其考查的核心是函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性，有時(shí)還有函數(shù)圖像的變換等，更由于是用抽象函數(shù)來考查學(xué)生對這些性質(zhì)的掌握，所以常常難度較大，學(xué)生往往感覺無從入手，這類問題具有一定的綜合性，對學(xué)生思維能力要求極高，具有較高的區(qū)分度，不經(jīng)過一定的訓(xùn)練學(xué)生是很難解決這類問題的。