導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的最優(yōu)化應(yīng)用

摘 要：在我們的實(shí)際生活中，數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用無(wú)處不在，許多領(lǐng)域都與數(shù)學(xué)密切相關(guān)，如經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域、醫(yī)學(xué)領(lǐng)域、工業(yè)領(lǐng)域、天文領(lǐng)域、工程領(lǐng)域等。數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識(shí)是在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛的。本文就對(duì)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)最優(yōu)化應(yīng)用的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行分析和探討。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；實(shí)際生活；最優(yōu)化應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2016-03-21

作者簡(jiǎn)介：王建權(quán)（1971—），男，河南鞏義人，講師，本科，河南省鞏義市第三中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校教師，研究方向：中職數(shù)學(xué)教育。

一、引言

將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活進(jìn)行結(jié)合，可以更好地讓人們理解一些較難掌握的知識(shí)點(diǎn)、公式以及定理等，是提高人們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力的關(guān)鍵。導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)知識(shí)的重要內(nèi)容之一，其本身具有強(qiáng)大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，在一些生產(chǎn)和生活領(lǐng)域中，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可以高效地解決對(duì)最大值、最小值以及最優(yōu)化等問(wèn)題。本文對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)加以理解和應(yīng)用，真正將其深入到實(shí)際生活中，就具體最優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行科學(xué)的解決的相關(guān)問(wèn)題。

二、導(dǎo)數(shù)知識(shí)概念的有關(guān)分析

導(dǎo)數(shù)是指一個(gè)函數(shù)的因變量對(duì)于自變量的變化率，即當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增強(qiáng)和自變量的增量之商的極限就是導(dǎo)數(shù)。在高等數(shù)學(xué)微積分中，導(dǎo)數(shù)一直是其中一個(gè)關(guān)鍵且重要的概念，本身具有較強(qiáng)的基礎(chǔ)性特點(diǎn)。早在十七世紀(jì)，導(dǎo)數(shù)是作為一個(gè)新概念由著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬所研究并提出的。在當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)本身主要應(yīng)用于對(duì)函數(shù)極值的求解上（最大值與最小值），其相關(guān)概念還不夠完善和系統(tǒng)。在十七世紀(jì)后期，生產(chǎn)力水平的提高也極大地推動(dòng)了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，很多著名的數(shù)學(xué)家對(duì)微積分進(jìn)行了系統(tǒng)性的研究，并且對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念也重新進(jìn)行了定義。對(duì)于社會(huì)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展來(lái)說(shuō)，導(dǎo)數(shù)本身是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)知識(shí)。對(duì)于實(shí)際生活中的很多問(wèn)題和很多事物之間的數(shù)量關(guān)系，很難利用一個(gè)數(shù)值來(lái)進(jìn)行精確表示，這對(duì)于相關(guān)研究工作來(lái)說(shuō)具有很大的影響。通過(guò)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，可以將導(dǎo)數(shù)其中的變化率，從而解決了很多問(wèn)題，因此導(dǎo)數(shù)在諸多領(lǐng)域中都得到了全面利用。例如，在物理領(lǐng)域瞬時(shí)速度研究、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中變化率問(wèn)題、統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域人口增長(zhǎng)率等多方面內(nèi)容的研究上，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用都獲得了很大的成效。

對(duì)于一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，如果其本身存在導(dǎo)數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)本身就是可微分的，也就是可導(dǎo)的，這是解決一些實(shí)際生活中最優(yōu)化問(wèn)題的前提。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中，很多領(lǐng)域的最優(yōu)化問(wèn)題都可以利用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)來(lái)解決。例如，在工業(yè)生產(chǎn)中，如何最大限度地提高工業(yè)生產(chǎn)效率，節(jié)約生產(chǎn)成本等，這些都可以歸屬于最優(yōu)化問(wèn)題，同時(shí)也都可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決。在具體應(yīng)用的過(guò)程中，利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)要從以下幾個(gè)步驟來(lái)入手：首先，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行全面分析，就其中的關(guān)鍵量重點(diǎn)加以明確，并對(duì)不同關(guān)鍵量之間的關(guān)系進(jìn)行仔細(xì)分析，結(jié)合分析結(jié)果構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，列出不同變量的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合具體情況，對(duì)變量范圍進(jìn)行劃分，制訂出定義域。其次，根據(jù)函數(shù)關(guān)系來(lái)完成求導(dǎo)的過(guò)程，并且對(duì)具體的極值點(diǎn)、實(shí)根以及不可導(dǎo)點(diǎn)進(jìn)行確定。通過(guò)對(duì)不同極值點(diǎn)、實(shí)根以及不可導(dǎo)點(diǎn)中不同函數(shù)值的計(jì)算，再采取相應(yīng)的對(duì)比方式，實(shí)現(xiàn)對(duì)最小值或者最大值的求解。最后，再根據(jù)求解的結(jié)果，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，分析和解決實(shí)際問(wèn)題，這是最優(yōu)化問(wèn)題的求解過(guò)程。在解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解的過(guò)程中，最優(yōu)化問(wèn)題的分析需求也是不盡相同的，分析過(guò)程要確保結(jié)合實(shí)際，要忽略一些與實(shí)際脫節(jié)的值。在定義域的確定上，要結(jié)合函數(shù)關(guān)系，確保自變量處于有效區(qū)間之內(nèi)，進(jìn)而提高函數(shù)值的有效性。另外，一些具體的最優(yōu)化問(wèn)題中，很有可能會(huì)出現(xiàn)有效值只有一個(gè)點(diǎn)的情況，那么就可以對(duì)這一點(diǎn)加以確定，視其為最值。下文就對(duì)一些實(shí)際生活中的最優(yōu)化案例中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行分析。

三、應(yīng)用案例分析

案例1：某服裝工廠在生產(chǎn)服裝的過(guò)程中，為了滿足不同的市場(chǎng)需求，將所生產(chǎn)服裝按照相關(guān)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為12個(gè)檔次標(biāo)準(zhǔn)。例如，質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)最低的服裝產(chǎn)品的生產(chǎn)時(shí)間最短，每一件服裝產(chǎn)品本身可以獲得5元的利潤(rùn)。而高一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的服裝產(chǎn)品，在生產(chǎn)中每件的利潤(rùn)則可以達(dá)到15元，但是在相同時(shí)間內(nèi)的生產(chǎn)量相比低檔次服裝來(lái)說(shuō)會(huì)減少5件。結(jié)合實(shí)際環(huán)境條件，假設(shè)在一定時(shí)間內(nèi)，最低標(biāo)準(zhǔn)服裝的生產(chǎn)數(shù)量為100件，則結(jié)合實(shí)際情況回答什么情況下總利潤(rùn)可以實(shí)現(xiàn)最大化？其中可以獲得多少利潤(rùn)？

解答：對(duì)于這些最大化問(wèn)題的求解上，我們可以利用求導(dǎo)發(fā)來(lái)對(duì)函數(shù)的最值進(jìn)行分析，從而解決問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中要關(guān)注對(duì)定義域的嚴(yán)格限制。假設(shè)生產(chǎn)到第n種標(biāo)準(zhǔn)襯衫時(shí)可以獲得最大的利潤(rùn)為m。根據(jù)題目給的條件進(jìn)行分析，可以得出函數(shù)m=[10+5（n-1）][100-5（n-1）]=25（n+1）（21-n）。對(duì)于這一函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可以得出m=25（21-n）-25（n+1）=50（10-n），m=50（10-n）=0。通過(guò)求解，可以得到n=10，在1～12的區(qū)間內(nèi)，極值點(diǎn)只有10一個(gè)點(diǎn)，因此可以將其視為最值點(diǎn)，進(jìn)而得出結(jié)果：在生產(chǎn)10標(biāo)準(zhǔn)的衣服可以獲得最大利潤(rùn)3025元。這種針對(duì)實(shí)際問(wèn)題采取優(yōu)化解決方案，可采取函數(shù)、指數(shù)的分析模式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中可以更加有效地分析相關(guān)最大利潤(rùn)方面問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題。

實(shí)例2：某礦廠在日常開(kāi)采和生產(chǎn)的過(guò)程中，每月的產(chǎn)量可以達(dá)到x噸，每噸礦的價(jià)格為n元，二者之間的關(guān)系通過(guò)公式表示可以表示為：n=24200-1/5x2，并且開(kāi)采x噸礦的成本為m=50000+200x。已知上述條件，問(wèn)：為了更好地提高利潤(rùn)，每個(gè)月的產(chǎn)量應(yīng)該定位為多少？其利潤(rùn)最大值為多少？

解答：根據(jù)上述題目中所敘述的條件，可以利用函數(shù)關(guān)系式來(lái)解答，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)最值的方式進(jìn)行求解。f（x）=（24200-1/5x2）×（50000+200x）=-1/5x2+24000x-50000。x為產(chǎn)量，其應(yīng)該具備x≥0的條件。通過(guò)求解可以得出，x=200。在函數(shù)f（x）中，極值點(diǎn)有200和-200兩個(gè)點(diǎn)，由于x≥0，則去掉x=200。在x=200時(shí)，將f（200）代入計(jì)算可得結(jié)果利潤(rùn)為315萬(wàn)元。因此，將月產(chǎn)量定位200噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)315萬(wàn)元。這種解題方式，通過(guò)對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合定義區(qū)間的條件來(lái)進(jìn)行篩選和選擇，進(jìn)而達(dá)到求最值的目的。

實(shí)例3：某包裝廠在制作一種圓柱形的包裝時(shí)，在確定包裝容積的情況下，應(yīng)如何確定半徑、高和底，從而更好地減少包裝中的材料使用量？

解答：根據(jù)上述題目中所敘述的條件，假設(shè)圓柱的底半徑為R，圓柱高為h，根據(jù)表面積計(jì)算公式得出s=2πRh+2πR2。

由V=πR2h，得h=—，則S（R）

=2πR—+2πR2=—+2πR2

令s'（R）=-—+4πR-0

解得，R=3√—，從而h=—=—=3√—=23√—

即h=2R

根據(jù)分析結(jié)果可以得知，其結(jié)果的最小值只有一個(gè)：在圓柱體的高等于地面半徑的二倍時(shí)，可以對(duì)表面積進(jìn)行最小化控制，以減少材料的消耗。

實(shí)例4：某廠房在擴(kuò)建的過(guò)程中，需要建設(shè)一個(gè)矩形庫(kù)房，庫(kù)房的面積設(shè)定為512平方米，現(xiàn)階段庫(kù)房建設(shè)中，可以對(duì)一側(cè)墻壁進(jìn)行利用，為了提高墻壁的利用，減少材料消耗，問(wèn)如何對(duì)其長(zhǎng)寬進(jìn)行規(guī)劃，才能達(dá)到這一目的？

解答：根據(jù)上述題目中所敘述的條件，我們經(jīng)過(guò)分析得知，要想達(dá)到材料最省的目的，就需要對(duì)墻壁的總長(zhǎng)度進(jìn)行控制。假設(shè)場(chǎng)地的邊長(zhǎng)為n米，另一邊的邊長(zhǎng)則為512/n米，因此墻壁的總長(zhǎng)度應(yīng)該為L(zhǎng)=2x+512/n米，其中邊長(zhǎng)n滿足n>0的條件。通過(guò)對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，L'=2-512/n，通過(guò)取L'=0，可以得出結(jié)論n=±16米，由于n>0，則可以得出結(jié)果n=16，512/n=32米。因此，在寬度設(shè)置上應(yīng)該設(shè)置為16米，長(zhǎng)度為32米，這樣可以達(dá)到題目所要求的材料最省的目的。

案例5：小明開(kāi)車(chē)去周邊城市的朋友家找朋友，他駕駛自己新買(mǎi)的小汽車(chē)，以勻速行駛。在行駛過(guò)程中，每小時(shí)的油耗為n升，汽車(chē)的行駛速度為m（km/h），n=1/12800m2-3/80m+8，汽車(chē)行駛速度最高不得超過(guò)120km/h。假如小明家離朋友的距離為100千米，則求小明在行駛過(guò)程中的速度為多少時(shí)，可以達(dá)到對(duì)油耗的有效控制？并且求最低油耗可以達(dá)到多少。

解答：根據(jù)上述題目中所敘述的條件，我們經(jīng)分析得知，小明的汽車(chē)駕駛時(shí)長(zhǎng)為100/m，假設(shè)其油耗量為h（m），根據(jù)題目可以得出函數(shù)：

h（m）=（1/12800m2-3/80m+8）100/m。

H'（m）=m/640-800/m2。

令h'（m）=0，可以得出結(jié)果m=80。通過(guò)分析我們可以推導(dǎo)，在m小于80時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，在m大于80時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)。因此，我們可以得出結(jié)果，小明保持勻速80km/h行駛速度的過(guò)程中，可以獲得更低油耗，通過(guò)代入m=80，h（80）=11.25，最低油耗為11.25L。

四、結(jié)束語(yǔ)

總而言之，在解決實(shí)際生活中一些問(wèn)題時(shí)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意義是毋庸置疑的。在廣泛應(yīng)用的過(guò)程中，我們要重視對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的深入研究。在解決實(shí)際問(wèn)題中，倒數(shù)的應(yīng)用要對(duì)不同變量的關(guān)系進(jìn)行明確，通過(guò)對(duì)函數(shù)關(guān)系式的構(gòu)建，確保求導(dǎo)方式的合理，找到解決最優(yōu)化問(wèn)題的有效途徑。在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的過(guò)程中，解決最優(yōu)化問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)重要的應(yīng)用形式其求解的思路和過(guò)程也是在長(zhǎng)期的實(shí)踐過(guò)程中產(chǎn)生的。本文通過(guò)對(duì)生活中一些最優(yōu)化案例中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的問(wèn)題進(jìn)行了探究，以期更好地為利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活問(wèn)題提供幫助。

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