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    淺談分類討論思想在中學數(shù)學中的應用

    2016-08-15 02:57:46何昌云甘肅省臨夏回族自治州和政中學
    新課程(下) 2016年5期
    關(guān)鍵詞:排列組合中學數(shù)學正方體

    何昌云(甘肅省臨夏回族自治州和政中學)

    淺談分類討論思想在中學數(shù)學中的應用

    何昌云
    (甘肅省臨夏回族自治州和政中學)

    分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法,也是一種數(shù)學思想,這種思想在簡化研究對象、發(fā)展思維方面起著重要作用,因此,有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學命題在高考試題中占有重要地位.

    分類討論思想;中學數(shù)學;應用

    所謂分類討論,就是在研究和解決數(shù)學問題時,當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究,我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點,將對象區(qū)分為不同種類,然后逐類進行研究和解決,最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決,這一思想方法,我們稱之為“分類討論的思想”.下面分析一下分類討論思想在中學數(shù)學中的應用.

    一、分類討論思想在集合中的應用

    解∵A={x-2≤x≤a},

    ∴B={y y=2x+3,x∈A}

    ={y-1≤y≤2a+3}.

    與-2≤a≤0矛盾.

    解得-1≤a≤3,

    故2<a≤3.

    二、分類討論思想在函數(shù)中的應用

    例2.已知函數(shù)f(x)=2x2-2ax+3在區(qū)間[-1,1]上有最小值,記作g(a),求g(a)的函數(shù)表達式.

    在x=-1時,g(a)=2a+5;

    (2)當-1<a<1時,即-2<a<2時,2

    在x=1時,g(a)=5-2a;

    三、分類討論思想在不等式中的應用

    例3.解關(guān)于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0.

    四、分類討論思想在排列組合中的應用

    例4.在正方體的頂點中,12條棱的中點,6個面的中心及正方體的中心共27個點中,共線的三點組的個數(shù)是多少?

    解:依題意,共線的三點組可以分為三類:

    所以總共有28+3+18=49(個)。

    五、分類討論思想在數(shù)列中的應用

    例5.已知數(shù)列1,2x,3x2,4x2,……,求它的前n項和.

    分析:本題未指明數(shù)列為等比數(shù)列,所以分類討論時還要考慮x=0這一情況.

    解:設(shè)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1,

    (1)當x=0時,Sn=1;

    (3)當x≠0且x≠1時,

    由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1,

    得xSn=x+2x2+3x3+…+(n-1)xn-1+nxn,

    兩式相減:

    綜上所述:

    通過探討分類討論思想在中學數(shù)學中集合、函數(shù)、不等式,排列組合等中的應用,我們應用正確的分類討論思想,對不同情況進行分類研究,使問題化整為零,各個擊破,再積零為整,從而使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.所以,在教學中教師應該滲透分類討論的思想,讓學生充分感受并掌握這種思想.

    [1]郭可銀.談分類討論思想方法在解題中的應用:高中版[M].高等教育出版社,2005-04.

    [2]劉文武.中學數(shù)學中重要的數(shù)學思想:分類討論思想[M].科學出版社,2003-11.

    ·編輯 薄躍華

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