半群Rn的主因子的極大正則子半群

韓阿麗，游泰杰

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)　550001)

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半群Rn的主因子的極大正則子半群

韓阿麗，游泰杰

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550001)

摘要：設(shè)Singn是Xn上的奇異變換半群。令(?x∈im(α))}，則Rn是半群Singn的子半群。對(duì)任意的n≥4，研究了半群Rn的主因子的極大正則子半群的完全分類。

關(guān)鍵詞：變換半群；主因子；極大正則子半群

0引言

設(shè)Singn是Xn={1,2,…,n}上的奇異變換半群，令

設(shè)S是半群，a∈S,由元素a生成的主理想S1aS1記為J(a)，即J(a)=S1aS1。用Ja表示包含a的J-類。定義I(a)={b∈J(a):J(a)≠J(b)}。如果I(a)為空集，那么Ja=J(a)。此時(shí)，記K(S)=Ja；如果I(a)非空，那么I(a)是S的理想。我們稱K(S)，J(a)/I(a)(a∈S)為半群S的主因子。

在半群代數(shù)理論的研究中，刻畫一個(gè)半群的極大子半群的結(jié)構(gòu)和分類一直是比較活躍的課題之一[1-8]。自20世紀(jì)70年代以來，許多學(xué)者研究了變換半群的具有某種性質(zhì)的極大子半群。特別地，2002年，游泰杰[3]得到了全變換半群和部分變換半群的理想的極大正則子半群。2011年，Dimitrova與Koppitz[5]得到了保序變換半群On和保序或反保序變換半群ODn的理想的極大正則子半群的完全分類。2012年，Dimitrova等人[6]得到了方向保序變換半群OPn和方向保序或反方向保序變換半群ORn的理想的極大子半群的完全分類。1998年，Umar[8]研究了半群Rn的格林關(guān)系及冪等元深度。本文將考慮半群Rn的主因子，得到了主因子的極大正則子半群的完全分類。

設(shè)U是半群S的任意子集，用E(U)表示U中所有冪等元構(gòu)成的集合。對(duì)任意的a∈S,通常用V(a)表示a在S中的所有逆元構(gòu)成的集合。Ra，La，Ha分別表示a所在的R-類，L-類，H-類。本文未定義的術(shù)語(yǔ)及記法參考文獻(xiàn)[9]。

1主要結(jié)果及證明

注1任取α∈Rn，不妨設(shè)

以下分3種情形討論：β∈I。

δ=

再由β的任意性知，R(n,r)?I。因此，I=R(n,r)。

ⅰ)J(α)=R(n,r)

由引理3可知，若把Rn的主因子記為Pr，則

其中R(n,r)/R(n,r-1)是Rn的Rees商半群。為方便起見，當(dāng)r≥2時(shí)，可將Pr視為Jr∪{0}，即Pr=Jr∪{0}，其乘法定義為：

Pr對(duì)上述乘法作為一個(gè)完全0-單半群。

為了方便起見，引入眾所周知的結(jié)果。

引理4設(shè)x,y是完全0-單半群中兩個(gè)非零元，則xy≠0當(dāng)且僅當(dāng)Lx∩Ry中含有冪等元。此時(shí)，xy∈Ly∩Rx。

引理5設(shè)S是一個(gè)完全0-單半群，x,y是完全0-單半群中兩個(gè)非零元，則

證明不妨設(shè)

證明設(shè)

引理8設(shè)S是正則子半群，a∈S，則R(α)∩E(S)≠φ,且L(α)∩E(S)≠φ。

證明參見文獻(xiàn)[9]中的命題2.3.1和命題2.3.2。

證明首先，證明Mα是Pr的子半群。由引理5知，對(duì)任意β,γ∈Jr，有βγRβ或βγ=0。因此，Mα是Pr的子半群。

其次，證明Mα是正則的。對(duì)任意的β∈JrRα，由引理9可知，存在β1,β2∈V(β)∩Jr，使得(β1,β2)?R。因此β1,β2必有一個(gè)屬于JrRα，即JrRα中必有β的逆元，從而β是正則的。因此，Mα是正則半群。

證明類似于引理10的證明。

證明見文獻(xiàn)[8]中定理2.1。

證明顯然〈E(Pr)〉?Pr。任取α∈Pr=Jr∪{0}，若α=0，則顯然α是冪等元，即α2=α，于是α∈E(Pr)?〈E(Pr)〉；若α∈Jr，則由引理12可知，α∈〈E(Jr)〉?〈E(Pr)〉。由α的任意性可得，Pr?〈E(Pr)〉。因此Pr=〈E(Pr)〉。

本文主要結(jié)論為：

1)Mα={0}∪(JrRα)，其中α∈Jr；

2)Nα={0}∪(JrLα)，其中α∈Jr。

證明引理10,11可知，Mα和Nα是Pr的極大正則子半群。我們用反證法證明Pr的極大正則子半群僅有定理1中的形式。假設(shè)S是Pr的極大正則子半群，但不是定理1中的形式，則對(duì)任意α∈Jr，有S∩Lα≠φ,且S∩Rα≠φ(否則，存在α∈Jr，使得Lα?PrS或Rα?PrS，于是Mα或Nα是Pr的包含S的正則子半群，由S的極大性可得，S=Mα或S=Nα，與S不是定理1中的形式矛盾)。

下面證明E(Jr)?E(S)。假設(shè)E(Jr)E(S)≠φ。任意取e∈E(Jr)E(S)?Jr，則S∩Le≠φ，且S∩Re≠φ。不妨設(shè)β∈S∩Le，γ∈S∩Re，則由S是正則半群及引理8可知，Lβ∩E(S)≠φ，Rγ∩E(S)≠φ。任意取f∈Lβ∩E(S)，g∈Rγ∩E(S)，則由引理5可知，fg∈S∩Rf∩Lg(因?yàn)閑∈Le∩Re=Lβ∩Rγ=Lf∩Rg)。注意到f,g∈E(S)，fg∈S，fRfgLg。又由Miller-Clifford的定理可知，存在δ∈V(fg)，使得δ∈S∩Lf∩Rg=S∩Lβ∩Rγ=S∩Le∩Re，于是δ是群He中元，從而存在k∈N，使e=δk。因此，e=δk∈S，與e∈E(Jr)E(S)矛盾。因此，E(Jr)?E(S)?S。注意到0∈S(否則，S∪{0}是包含S的Pr的極大正則子半群，與S是極大正則子半群矛盾)。由引理13可知，Pr=〈Pr〉=〈E(Jr)∪{0}〉?S，而S?Pr，因此，S=Pr，與假設(shè)S是Pr的極大正則子半群矛盾。

參考文獻(xiàn)：

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[3]YOUTJ.Maximalregularsubsemigroupsofcertainsemigroupsoftransformations[J].SemigroupForum,2002,64(3):391-396.

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[6]DIMITROVAI,FERNANDESVH,KOPPITZJ.Themaximalsubsemigroupsofsemigroupsoftransformationspreservingorreversingtheorientationonafinitechain[J].PublicationsMathematicalDebrecen,2012,81(1):11-30.

[7]ZHAOP,HUHB,YOUTJ.Anoteonmaximalregularsubsemigroupsoftransformationsemigroups[J].SemigroupForum,2014,88(2):324-334.

[8]UMARA.Enumerationofcertainfinitesemigroupsoftransformations[J].DiscreteMathematics,1998,189(1):291-297.

[9]HOWIEJM.Fundamentalsofsemigrouptheory[M].Oxford:OxfordUniversitypress,1995.

文章編號(hào)：1004—5570(2016)03-0067-04

收稿日期：2016-04-10

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)11461014)

作者簡(jiǎn)介：韓阿麗(1991-)，女，碩士研究生，研究方向：半群及編碼理論，E-mail:1547662390@qq.com.

中圖分類號(hào)：O152.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Maximal regular subsemigroups of principal factors of the semigroupRn

HAN Ali,YOU Taijie

(School of Mathematics and Computer Science,Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001, China)

Abstract:Let Singn be the semigroup of all singular selfmaps on Xn, and let (?x∈im(α))}, it is easy to show that Rn is a subsemigroup of Singn. For arbitrary n≥4, we have studied that the classification completely of maximal regular subsemigroups of principal factors of semigroup Rn.

Key words:transformation semigroup; principal factor; maximal regular subsemigroup