非正截面曲率空間中F-雙調(diào)和子流形的若干結(jié)果

潘 虹, 李 靜, 張倩玉

(1. 信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽 464000; 2. 南京理工大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引言

的臨界映射,其中d,δ分別為外微分算子和余外微分算子.當(dāng)k=2時(shí),得到雙調(diào)和映射,它是雙能量泛函的臨界映射.隨后,JIANG[8]介紹了E2的第一、第二變分公式,雙調(diào)和映射也有許多成果[6,8-9].HAN和FENG[10]提出了F-雙調(diào)和映射的概念,研究了F-雙能量泛函：

若u:(Mm,g)→(Nn,h)為F-雙調(diào)和等距浸入,則稱M為N的F-雙調(diào)和子流形.

在雙調(diào)和理論中,CHEN猜想是重要的研究課題:

猜想1[11]En中的任意雙調(diào)和子流形是極小的.

猜想1有許多部分已得到肯定回答.自此,廣義CHEN猜想應(yīng)運(yùn)而生.如:猜想1隨后被推廣為:具有非正截面曲率黎曼流形中的任意雙調(diào)和子流形是極小的[12].也有許多對(duì)此猜想的部分肯定回答.

(a) 具有非正截面曲率黎曼流形中的任意緊致雙調(diào)和子流形是極小的[8].

(b) 具有非正截面曲率黎曼流形中的任意緊致F-雙調(diào)和子流形是極小的[10].

MAETA S[13]提出了下列猜想:

猜想2[13]具有非正截面曲率黎曼流形中的任意完備雙調(diào)和子流形是極小的.

猜想2也有許多部分得到肯定回答[13，14].

HAN[15]提出了下列猜想:

猜想3 具有非正截面曲率黎曼流形中的任意完備p-雙調(diào)和子流形是極小的.

猜想3已有許多部分得到肯定回答[15，16].

(b) 具有非正曲率空間形式中的弱凸p-雙調(diào)和子流形是極小的[16].

對(duì)于本文研究的F-雙調(diào)和子流形,很自然地提出下列猜想:

猜想4 具有非正截面曲率黎曼流形中的F-雙調(diào)和子流形是極小的.

我們得到了定理1-4,這些結(jié)果是對(duì)猜想4的部分肯定回答.

1 預(yù)備知識(shí)

這一部分,主要介紹調(diào)和映射、雙調(diào)和映射、F-雙調(diào)和映射及F-雙調(diào)和子流形的概念.

E(u)的Euler-Lagrange方程為

1983年,EELLS J和LEMAIRE L[7]介紹了雙能量泛函:

1986年,JIANG[8]研究了雙能量泛函E2的第一、第二變分公式.E2的Euler-Lagrange方程為

HAN和FENG[10]提出F-雙能量泛函:

其中F:[0,)→[0,)是滿足F′>0的C2-函數(shù).它的Euler-Lagrange方程為

若τF,2(u)=0,則稱u是F-雙調(diào)和映射.

接下來介紹F-雙調(diào)和子流形.設(shè)u:(Mm,g)→(Nm+p,h=〈·,·〉)是m-維黎曼流形(Mm,g)和(m+p)-維黎曼流形(Nm+p,h)之間的等距浸入.任意點(diǎn)x∈M,〈·,·〉也表示誘導(dǎo)度量u-1h.

第二基本形式B:TM?TM→NM定義為:

B(X,Y)=NXY-XY,

其中X,Y∈Γ(TM),NM表示M的法向量叢.

其中X∈Γ(TM),ξ∈Γ(T⊥M),⊥表示M的法聯(lián)絡(luò).

第二基本形式B和形狀算子Aξ滿足關(guān)系式:

〈B(X,Y),ξ〉=〈AξX,Y〉.

任意點(diǎn)x∈M,設(shè){e1,e2,…,em,em+1,…,em+p}為N的一組局部正交標(biāo)架場(chǎng),且{e1,e2,…,em}為TxM的正交標(biāo)架場(chǎng)，則第二基本形式B在x點(diǎn)可分解為:

由方程(2)得:

(4)

2 結(jié)果及證明

定理1 設(shè)u:(M,g)→(N,h)是由完備黎曼流形(M,g)到具有非正截面曲率黎曼流形(N,h)的F-雙調(diào)和等距浸入,p,q是滿足2≤p<,0

那么u是極小的.

證明由式(3)可得:

其中不等式成立是由于(N,h)具有非正截面曲率.

接下來，證明下列式子:

由式(5)和式(6)可得:

取固定點(diǎn)x0∈M,?r>0,取M上的截?cái)嗪瘮?shù)λ(x)如下:

其中Br(x0)={x∈M:d(x,x0)

其中a是正數(shù),它的取值范圍將在后面給出.另一方面,可得:

由式(9)和式(10)可得:

(11)

則有

(12)

由Young’s不等式可得:

(13)

其中s∈(0,a+2),C(a,s)是依賴于a,s的常數(shù).由式(12)和式(13)可得:

(14)

定理2 設(shè)u:(M,g)→(N,h)是由完備黎曼流形(M,g)到具有非正截面曲率黎曼流形(N,h)的F-雙調(diào)和等距浸入.如果

對(duì)于一些整數(shù)s>0,C0與r無關(guān),p≥2,那么u是極小的.

證明由式(11)可得:

(16)

由Young’s不等式可得:

(17)

其中C(a)是依賴于a的常數(shù).由式(16)和式(17)可得:

(18)

其中令a足夠大,r→.證畢.

證明由方程(3)可得:

由式(19)可得:

(20)

其中a是非負(fù)常數(shù),λ由式(8)給出.另一方面,可得:

由式(20)和式(21)可得:

定義1 設(shè)M是N中具有度量〈·,·〉的子流形,則稱M為ε-超F(xiàn)-雙調(diào)和子流形,如果

(ε-1)|

其中ε∈[0,1].

定理4 設(shè)u:(M,g)→(N,h)是(N,h)中的完備ε-超F(xiàn)-雙調(diào)和子流形,ε>0,如果

(23)

那么u是極小的,其中p≥2.

證明由式(22)可得:

其中λ由式(8)給出,a≥0.由此可得:

由Young’s不等式可得:

則可得:

設(shè)點(diǎn)x∈M且使得選取TxM的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基以及(TxM)⊥的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基則有:

由式(26)可得:

3 結(jié)論

討論了非正截面曲率空間中的F-雙調(diào)和子流形,提出猜想:具有非正截面曲率黎曼流形中的F-雙調(diào)和子流形是極小的.利用分部積分和積分估計(jì)方法證明了當(dāng)它滿足定理1-定理4中的條件時(shí),它是極小的.