Grünwald插值算子基于一重積分Wiener空間下的平均誤差逼近

盛盼

（安徽三聯(lián)學(xué)院 安徽合肥 230000）

Grünwald插值算子基于一重積分Wiener空間下的平均誤差逼近

盛盼

（安徽三聯(lián)學(xué)院 安徽合肥 230000）

本文基于一重積分Wiener空間下，以第一類Chebyshev多項式的結(jié)點組構(gòu)成的Grünwald插值算子，求得了在范數(shù)為加權(quán)的L2意義下的平均誤差，證明了其的收斂性。

Grünwald；一重積分 Wiener空間；Chebyshev 多項式；平均誤差

引言：

設(shè)F是一個Banach空間且實可分的，定義在F的Borel子集上的μ是概率測度。設(shè)X是一個線性的且范數(shù)為‖·‖的賦范空間，F(xiàn)連續(xù)嵌入X，任意使得 f→T（f），則算子 T：F→X 稱逼近算子，且可測映照，算子 T 的2-平均誤差為：

一重積分Wiener測度w在F1上是一個高斯測度[1～2]，且均值為零。設(shè)權(quán)函數(shù)對 f∈C[-1，1]，定義 f的加權(quán) L2-范數(shù)為：

設(shè)f∈C[-1，1]，則以n階第一類Chebyshev多項式Tn（x）=cosnθ的零點為插值結(jié)點組的f的Lagrange插值、Grünwald插值和Hermite插值的多項式分別為：

由于插值算子是一類僅依賴于函數(shù)f在有限個點的值的重要逼近工具，許多文章研究了這種算子的逼近性，尤其是基于正交多項式的結(jié)點的插值多項式。近年來，許貴橋研究了插值多項式在一重積分wiener空間下同時逼近的平均誤差[2]。由文章[2]激發(fā)，我們研究了Grünwald插值多項式，并得到了相應(yīng)的結(jié)果如下：

定理：設(shè)F1和定義如（1）和（3），，則：

定理證明：

為了證明，首先我們給出如下引理：

引理 2[2]若 s≥t，則：

由Lagrange插值多項式和Hermite插值多項式性質(zhì)，我們有：引理3若pn（x）為一次數(shù)不超過n-1的代數(shù)多項式，則：

若qn（x）為一次數(shù)不超過2n-1的代數(shù)多項式，則有：

我們得出定理證明，且由此知在上述意義下具有收斂性。

[1]P.Billingsley，Convergence of probability measure.Wiley，New York，1968.

[2]Xu Guiqiao，The simultaneous approximation average errors for interpolation polynomials on the 1-fold integrated Wiener space（in Chinese），Sci Sin Math，2011，41（5）：407～426.

[3]P.Erdōs，E.Feldheim，Sur le mode de convergence pour interpolation de Lagrange，C R Acad Sci Paris Sèr I Math，1936，203：913～915.

[4]G.Grünwald，On the theory of interpolation，Acta Mathematica，1943，75：219～245.

[5]Ch.Hermite，Sur la formule d'interpolation de Lagrange，J.Reine Angew.Math.1878，84：84～89.

[6]A.K.Varma，J.Prasad，An analogue of a problem of P.Erdōs and E.Feldheim on Lpconnergence of interpolatory processes J Approx Theory，1989，56：225～240.

O174.41

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1004-7344（2016）06-0290-02

2016-2-10