全空間中橢圓方程組解的存在性

郝悅斌,李鴻翔

(山西大學 數學科學學院,山西 太原　030006)

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全空間中橢圓方程組解的存在性

郝悅斌,李鴻翔

(山西大學 數學科學學院,山西 太原030006)

摘要：研究了下面橢圓方程組解的存在性問題

通過Nehari流形法證明了以上方程組具有非平凡解。

關鍵詞：橢圓方程組;能量泛函;Nehari流形

0引言

在這篇文章中，我們主要研究RN(N≥3)中，以下一類橢圓方程組非平凡解的存在性問題

(1)

20世紀80年代，Mckenna和Walter提出了懸索橋的一維振動模型方程，通過分析，此模型的研究可歸結為研究一類非線性橢圓方程(方程組)的問題。為此，許多學者投入到它的研究當中，而且許多重要的成果已經被證明。當α=β，u=v時，則(1)將簡化為橢圓方程問題，即

(2)

(3)

許多學者也在不同條件假設下進行了研究。對于與(3)類似的研究可以參考文獻[6-13]及其相關文獻。例如，當q=0時，方程組(3)將轉化為下面的形式

(4)

Mitidieri在文獻[7]中在具體了f,g的函數形式時，證明了(4)存在有界的徑向古典解。而Ma和Liu在文獻[8]中通過應用Alexandrov-Serrin的移動平面方法進一步證明了(4)的衰弱正解關于一些點徑向對稱的性質。而當q=1時,方程組(3)將轉化為

(5)

李工寶和王春花在文獻[9]中通過對f,g進行了適當假設并證明了(5)至少存在一個正解。而對于f,g是自治的這一類問題,我們可以在擁有緊性的徑向對稱函數空間中研究，如文獻[10，11]。

進行了討論，作者首先對a(x)，b(x)進行適當的衰退假設，通過臨界點理論，在有界球內找到近似解，通過分析近似解的結構并取極限，證明了方程組(6)有無窮多的正能量解。由于我們是在RN上進行研究，因此我們可能會遇到緊性缺失的問題。在前面相關文獻的啟發(fā)下，我們在本文將給出一個關于q的不同假設來解決緊性缺失這一問題，并證明在這一假設下(1)解的存在性。首先給出q的假設：

(Q):infx∈RNq(x)≥0

我們的主要結果如下：

定理1假設N≥3，α>1，β>1，α+β∈(2,2*)，且q滿足假設Q，則問題(1)存在非平凡解。

1預備知識

定義H1(RN)的子空間X如下：

易知x仍是希爾伯特空間，而且可以在x上定義新的內積為：

(u1,u2)=∫RN▽u1·▽u2+q(x)u1·u2dx

?u1,u2∈X，對應的范數為：

現在考慮空間Y=X×X，則Y也是一個希爾伯特空間，對應的范數為：

?(u,v)∈Y。我們將在空間Y上對問題(1)進行研究。首先其對應的能量泛函為：

(u,v)∈Y。問題(1)的一個弱解就相當于泛函I(u,v)的一個臨界點,也就是說對任意的(φ,ψ)∈Y都有

〈I′(u,v),(φ,ψ)〉=0

成立。即對(u,v)∈Y任意的(φ,ψ)∈H1(RN)×H1(RN)都有

(7)

對于對于泛函I(u,v)來說，容易知道I沒有下界，因此我們將把I限制到Nehari流形上，其定義如下：

如果 (u,v)∈N，則相應的能量泛函為

(8)

定義m=inf(u,v)∈NI(u,v)

2定理1的證明

引理1對于所有的p∈[2,2*)，X到LP(RN)的嵌入是緊嵌入。

證明證明過程可以參考文獻[15]引理3.2.1。

引理2N是非空集。

容易解的

引理2得證。

引理3m>0成立。

(9)

因此,從(9)可知

1≤C‖(u,v)‖α+β-2

所以,對于所有的(u,v)∈N，我們有

(10)

由上可知，當(u,v)∈N，有

成立。因此，引理3得證。

引理4存在(u,v)∈N，使得I(u,v)=m。

已知I(uk,vk)→m且有(8)成立，所以在X中{uk}k，{vk}k有界，即存在子列，不失一般性，仍將其定義為{uk}k，{vk}k使得在X中有uk弱收斂到u，vk弱收斂到v。由于α+β∈(2,2*)，由引理1可知在Lα+β(RN)

uk→u，vk→v

而且當x∈RN時

uk(x)→u(x)a.e.，vk(x)→v(x)a.e.

通過文獻[16]引理A.1，我們還可知存在w1,w2∈Lα+β(RN)使得對于所有的k，在x∈RN有

由上可知x∈RN時，

成立。通過應用H?lder不等式

因為w1,w2∈Lα+β(RN)，則函數

下證(u,v)∈N，且有I(u,v)=m。

首先，由(10)知

(11)

因此當k→∞時，

這表明了u≠0，v≠0。而從(11)我們還可得

否則

(12)

在這種情形下，由引理2知，存在t>0使得 (tu,tv)∈N，這時

由(12)式知，t∈(0,1)。這時，我們有

0≤m≤I(tu,tv)

=t2liminfkI(uk,vk)=t2m

這一矛盾說明了

I(u,v)≤liminfkI(uk,vk)=m

引理4證畢。

引理5假設(u,v)∈Y，u≥0，v≥0是由引理4找到的極小值點，則(u,v)是I的臨界點,即對任意的(φ,ψ)∈Y滿足(7)式。

證明首先因為(u,v)是由引理4找到的極小值點,則(u,v)∈N。然后假定(φ,ψ)∈Y并且ε>0使得對任意的s∈(-ε,ε)，有

u+sφ≠0，v+sψ≠0

由引理2知，存在

使得t(s)(u+sφ,v+sψ)∈N。顯然，函數t(s)是由可微函數構成，因此它是可微的，但t′的具體表達在證明中是無關緊要的。因為(u,v)∈Y，易知t(0)=1。顯然的，映射

s|→t(s)(u+sφ,v+sψ)是定義在N上的一條曲線。接下來在其上估計I,定義γ:(-ε,ε)→R通過

γ(s)=I(t(s)(u+sφ,v+sψ))

由γ(s)的構造知，當s=0時,可以取到γ的最小值。因此

0=γ′(0)=〈I′(t(0)(u,v)),t′(0)(u,v)+t(0)(u+φ,v+ψ)〉

=(t′(0)+1)〈I′(u,v),(u,v)〉+〈I′(u,v),(φ,ψ)〉=〈I′(u,v),(φ,ψ)〉

由 (u,v)∈N得〈I′(u,v),(u,v)〉=0所以最后一行等式成立.因此我們得到了對任意的(φ,ψ)∈Y都有

〈I′(u,v),(φ,ψ)〉=0成立,即(u,v)滿足(7)式.引理5證畢。

引理6如果對任意的(φ,ψ)∈Y，(u,v)滿足(7)式，則對任意的(φ,ψ)∈H1(RN)×H1(RN)，(u,v)滿足(7)式。

證明假定(φ,ψ)∈H1(RN)×H1(RN)且有φ≥0，ψ≥0。令{δk}k是一個C∞函數列且對任意x滿足

0≤δk(x)≤1

易證

(δk(x)φ,δk(x)ψ)∈H1(RN)×H1(RN)且當k→∞時

(δk(x)φ,δk(x)ψ)→(φ,ψ)

上述強收斂在空間

Lα+β(RN)×Lα+β(RN)仍成立。因為q是局部有界的,(δk(x)φ,δk(x)ψ)具有緊支集，則(δk(x)φ,δk(x)ψ)∈Y成立。因此

(13)

通過強收斂可知

limk∫RN▽u▽(δkφ)dx=∫RN▽u▽φdx

limk∫RN▽v▽(δkψ)dx=∫RN▽v▽ψdx

因此由(13)可得

另一方面，對任意的k和幾乎每一個x都有

0≤q(x)(uδkφ+vδkψ)

≤q(x)(uδk+1φ+vδk+1ψ)

利用BeppoLevi's單調收斂定理可知

limk∫RNq(x)(uδkφ+vδkψ)dx

=∫RNq(x)(uφ+vψ)dx

總之，我們可得：當

(φ,ψ)∈H1(RN)×H1(RN)，φ≥0，ψ≥0時，下式成立。

(14)

而對任意(φ,ψ)∈H1(RN)×H1(RN)，因為φ+≥0，φ-≥0，ψ+≥0，ψ-≥0則(φ+,ψ+)，(φ-,ψ-)滿足(14)式,即

(15)

及

(16)

成立。因為有φ=φ+-φ-，ψ=ψ+-ψ-，用(15)-(16)可得，對任意(φ,ψ)∈H1(RN)×H1(RN)有(7)式成立。

由引理5和引理6可得到定理1的證明。

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文章編號：1004—5570(2016)01-0040-05

收稿日期：2015-10-22

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61374089);山西自然科學基金資助項目(2014011005-2)

作者簡介：郝悅斌(1989-),男,碩士研究生,研究方向:非線性泛函分析,E-mail:980223427@qq.com.

中圖分類號：O175.25

文獻標識碼：A

Existence of solutions for elliptic system in the whole space

HAO Yuebin,LI Hongxiang

(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan,Shanxi 030006,China)

Abstract:By using the method of Nehari manifold,we are able to obtain the existence of nontrivial solutions for the following elliptic system.

Key words:elliptic system; energy functional; Nehari manifold