幾種最優(yōu)投資組合在有效邊界上相對(duì)位置

周 伊 佳，　于 　 波

( 大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連　116024 )

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幾種最優(yōu)投資組合在有效邊界上相對(duì)位置

周 伊 佳，于 波*

( 大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連116024 )

摘要：討論了均值-VaR、均值-AVaR、方差-均值比等風(fēng)險(xiǎn)-收益投資組合優(yōu)化模型的最優(yōu)解的有效性．基于Markowitz均值-方差模型和有效邊界理論，證明了如果各模型的最優(yōu)投資組合存在，則一定位于均值-方差有效邊界上．計(jì)算了各投資組合模型最優(yōu)解處的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，根據(jù)計(jì)算結(jié)果討論了各模型的最優(yōu)投資組合在有效邊界上的位置．特別地，均值-VaR模型的最優(yōu)投資組合在有效邊界上的位置與置信水平有關(guān)．

關(guān)鍵詞：投資組合優(yōu)化模型；最優(yōu)投資組合；有效邊界

0引言

20世紀(jì)50年代，Markowitz首創(chuàng)了經(jīng)典的投資組合理論：均值-方差(mean-variance，M-V)投資組合優(yōu)化模型[1]，它奠定了現(xiàn)代投資組合的理論基礎(chǔ)．在M-V模型中方差被視為風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)．20世紀(jì)80年代以來(lái)，隨著金融市場(chǎng)的飛速發(fā)展及信息技術(shù)的創(chuàng)新，在Markowitz投資理論框架下產(chǎn)生了均值-VaR(Value-at-Risk)投資組合模型．VaR，是指在市場(chǎng)正常波動(dòng)下以及在一定的概率水平下，于給定的置信區(qū)間內(nèi)，金融資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)可能受到的最大損失[2]．人們對(duì)VaR約束下的投資組合策略的選擇問(wèn)題進(jìn)行了研究[3-5]．根據(jù)VaR風(fēng)險(xiǎn)度量，張紅兵等[6]提出多階段資產(chǎn)組合選擇均值-VaR模型．王尚戶等[2]利用均值-VaR方法，提出了均值-AVaR(average Value-at-Risk)模型，并在一定的置信水平下得到了投資組合的均衡理論．

投資者想要獲得更高的收益，就要承受更大的風(fēng)險(xiǎn)；反之要降低風(fēng)險(xiǎn)，則獲得的收益也隨之減少．由于風(fēng)險(xiǎn)與收益存在著這樣的聯(lián)系，那么只分別考慮最小風(fēng)險(xiǎn)和最大收益的投資組合決策方法往往不能較好地全面權(quán)衡收益與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系．因此本文基于均值-方差模型的有效邊界理論，研究一系列關(guān)于收益-風(fēng)險(xiǎn)的優(yōu)化模型的最優(yōu)投資組合，這些優(yōu)化模型在某種程度上能夠均衡均值與方差，即收益與風(fēng)險(xiǎn)，在一定程度上為投資者對(duì)資源做出最優(yōu)的投資組合規(guī)劃提供參考．

1投資組合模型

首先介紹一些收益-風(fēng)險(xiǎn)投資組合優(yōu)化模型及它們的最優(yōu)解處的收益和標(biāo)準(zhǔn)差．

1.1均值-方差模型

Markowitz的均值-方差(M-V)模型是經(jīng)典的投資組合優(yōu)化模型．設(shè)在投資組合問(wèn)題中，投資者選擇n種風(fēng)險(xiǎn)證券，證券的收益率向量r=(r1

r2…rn)T，其中ri表示第i種證券的期望收益率；投資比例向量x=(x1x2…xn)T，xi是投資第i種證券的比例；投資組合的協(xié)方差矩陣V=(vij)n×n，其中vij表示第i種證券和第j種證券的協(xié)方差．投資組合的期望收益與方差分別為μ=rTx，σ2=xTVx．則M-V投資組合模型[2]為

(1)

假定協(xié)方差矩陣V=(vij)n×n是正定的，根據(jù)Lagrange乘子法求得式(1)的最優(yōu)解為[2]

(2)

式中：A=rTV-1r，B=eTV-1e，C=eTV-1r，D=AB-C2，根據(jù)定義可知，A、B、C、D均大于零．將式(2)代入σ2=xTVx，整理得到M-V投資組合的有效邊界[2]

(3)

即

σ2=D-1(Bμ2-2Cμ+A)

(4)

1.2最小化風(fēng)險(xiǎn)-收益比投資組合模型

定義方差-均值比(variance-mean ratio，VMR)模型為

(5)

其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是投資者在投資一定數(shù)額的資產(chǎn)后，平均每一單位收益所承受的風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)．模型意在使得單位收益率下所承受的風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)越小越好．

1.3均值-VaR與均值-AVaR投資組合模型

VaR在概率統(tǒng)計(jì)中的表達(dá)式[7]為

Prob(r

(6)

其中r表示投資組合X的收益率，α(0．5<α<1.0)為置信水平，且VaRα[r]>0．假設(shè)不存在賣空行為，資產(chǎn)收益率與投資組合收益率r均服從正態(tài)分布，即r～N(μ，σ2)，于是式(6)可變形為

VaRα[r]=zασ-μ

(7)

其中zα表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位點(diǎn)，則有zα=φ-1(α)，φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)[8]．

用VaR代替式(1)中的方差作為目標(biāo)函數(shù)，得到均值-VaR模型[2]：

(8)

另外，模型(8)的邊界有如下形式：

根據(jù)模型(8)，文獻(xiàn)[2]中給出的均值-AVaR投資組合模型為

(9)

顯然，此模型表示投資者在投資一定數(shù)額的資產(chǎn)后，在給定的置信水平下，平均每一單位收益所承受的損失額，使得在單位收益率下所承受的損失額越小越好[2]．

2投資組合模型解的有效性分析

定理1 若全局最小VMR投資組合存在，那么它一定是均值-方差有效的．

□

根據(jù)M-V的有效邊界理論，VMR模型的解是有效解，則可以將式(4)代入模型(5)的目標(biāo)得到

在上式中對(duì)μ求導(dǎo)，令

類似地，可以得到下面的結(jié)論：

定理2 若全局最小均值-AVaR投資組合存在，那么它一定是均值-方差有效的．

證明 略．

根據(jù)最小均值-AVaR模型的有效性，可以將式(4)代入模型(9)得到

1972年Merton[10]指出：在某一投資組合中若存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為rf，當(dāng)且僅當(dāng)此資本市場(chǎng)線為

定理3 設(shè)與有效邊界相切的資本市場(chǎng)線斜率為k，則有

且任取置信水平α滿足α>φ(k)，全局最小均值-VaR投資組合存在，且是均值-方差有效的．

由于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率一定滿足rf<μ=C/B，否則問(wèn)題將沒(méi)有意義，從而有

再根據(jù)C-Brf>0，有B2rf2-2CBrf+C2>0，且已知D=AB-C2，B、D均大于零，因此有

B2rf2-2CBrf+AB>D

綜上所述，對(duì)與有效邊界相切的資本市場(chǎng)線斜率k，有

□

3投資組合在有效邊界上的相對(duì)位置

前文中給出了各投資組合模型最優(yōu)解的有效性，接下來(lái)研究各模型的最優(yōu)解在有效邊界上的相對(duì)位置．

定理4 在有效邊界上，從下到上對(duì)應(yīng)的投資組合為最優(yōu)M-V投資組合、最優(yōu)VMR投資組合與最優(yōu)均值-AVaR投資組合和切點(diǎn)M．

其次，均值-AVaR投資組合的期望收益率為A/C，與VMR投資組合的期望收益率作比較得到

已知D=AB-C2>0，因此μM/μAVaR>1，可見(jiàn)最優(yōu)均值-AVaR投資組合位于M點(diǎn)之下．

□

根據(jù)定理4，這4種最優(yōu)投資組合在有效邊界上的相對(duì)位置如圖1所示．

圖1　最優(yōu)投資組合在有效邊界上的相對(duì)位置

定理5 設(shè)與有效邊界相切的資本市場(chǎng)線斜率為k，任取置信水平α滿足

則最優(yōu)均值-VaR投資組合在切點(diǎn)M之上．

由于α<φ(k)，有D/zα2>D/k2，故

□

綜上，根據(jù)定理4和定理5的結(jié)論可知：在某一投資組合中存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí)，取資本市場(chǎng)線的斜率為k，任取置信水平α滿足

則各最優(yōu)投資組合在有效邊界上從下到上的排列依次為最優(yōu)M-V投資組合、VMR投資組合、均值-AVaR投資組合、切點(diǎn)M和均值-VaR投資組合．如圖2所示．

定理6 設(shè)與有效邊界相切的資本市場(chǎng)線斜率為k，任取置信水平α滿足

則最優(yōu)均值-VaR投資組合在有效邊界上位于最優(yōu)均值-AVaR投資組合之上、M點(diǎn)之下．

由于α>φ(k)，即zα>k，有D/zα2B-D/k2．并且已知

□

綜上所述，根據(jù)定理4和定理6的結(jié)論可知：在某一投資組合中存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí)，取資本市場(chǎng)線的斜率為k，任取置信水平α滿足

則最優(yōu)M-V投資組合、VMR投資組合、均值-AVaR投資組合、均值-VaR投資組合和切點(diǎn)M在有效邊界上的排列如圖3所示．

定理7 任取置信水平α滿足

則最優(yōu)均值-VaR投資組合位于最優(yōu)VMR投資組合之上、最優(yōu)均值-AVaR投資組合之下．

證明 由定理3知道對(duì)任意的置信水平α滿足已知條件，全局最小均值-VaR投資組合存在，且在此置信水平下，

由于

整理得到

(10)

從而說(shuō)明了最優(yōu)VaR投資組合位于最優(yōu)VMR投資組合之上．

□

根據(jù)定理4和定理7得到這樣的結(jié)論：在某一投資組合中存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí)，取資本市場(chǎng)線的斜率為k，任取置信水平α滿足

則在有效邊界上從下到上的排列依次為最優(yōu)M-V投資組合、VMR投資組合、均值-VaR投資組合、均值-AVaR投資組合和切點(diǎn)M．如圖4所示．

定理8 任取置信水平α滿足

則最優(yōu)均值-VaR投資組合位于最優(yōu)VMR投資組合之下、最優(yōu)M-V投資組合之上．

類似于定理7的證明，將不等式變形后可以得到

從而說(shuō)明了最優(yōu)VMR投資組合位于最優(yōu)均值-VaR投資組合之上．

□

根據(jù)定理4和定理8的結(jié)論可知：在某一投資組合中存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí)，取資本市場(chǎng)線的斜率為k，任取置信水平α滿足

則最優(yōu)M-V投資組合、均值-VaR投資組合、VMR投資組合、均值-AVaR投資組合和切點(diǎn)M在有效邊界上的排列如圖5所示．

4結(jié)語(yǔ)

本文基于均值-方差模型的有效邊界理論，證明了已有的一些投資組合優(yōu)化模型的最優(yōu)投資組合是均值-方差有效的．通過(guò)計(jì)算各模型最優(yōu)解處的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，分析了這些最優(yōu)投資組合在有效邊界上的相對(duì)位置，并給出了具體圖形．利用給出的圖形，投資者可以對(duì)這些最優(yōu)投資策略的相對(duì)保守程度有更直觀的認(rèn)識(shí)，從而，根據(jù)自己的投資喜好，選擇適合自己的投資策略．

另外，本文也指出，全局最小M-V投資組合、VMR投資組合、均值-AVaR投資組合與切點(diǎn)M在有效邊界上的相對(duì)位置是不變的．但在不同的置信水平下，最優(yōu)均值-VaR模型的投資組合在有效邊界上的相對(duì)位置會(huì)發(fā)生改變．因此在利用均值-VaR模型確定投資決策時(shí)，要將α的影響因素考慮在內(nèi)．

參考文獻(xiàn)：

[1] Markowitz H. Portfolio selection [J]. The Journal of Finance, 1952, 7(1):77-91.

[2]王尚戶,張崇岐. 基于均值-AVaR的投資組合均衡分析[J]. 廣州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2007, 6(6):11-13.

WANG Shang-hu, ZHANG Chong-qi. Mean-AVaR based portfolio balanced analysis [J]. Journal of Guangzhou University (Natural Science Edition), 2007, 6(6):11-13. (in Chinese)

[3]Alexandre G, Baptista A M. Economic implications of using mean-VAR model for portfolio selection:a comparison mean-variance with analysis [J]. Journal of Economic Dynamics & Control, 2002, 26(7-8):1159-1193.

[4]Basak S, Shapiro A. Value-at-risk-based risk management:optimal policies and asset prices [J]. Review of Financial Studies, 2001, 14(2):371-405.

[5]Gencay R, Selcuk F, Ulugulyagci A. High volatility, thick tails and extreme value theory in value-at-risk estimation [J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2003, 33:337-356.

[6]張紅兵,李高明,邸 濤. 多階段資產(chǎn)組合選擇均值-VaR模型的研究[J]. 紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 18(2):158-161.

ZHANG Hong-bing, LI Gao-ming, DI Tao. Study on mean-VaR models for multi-period portfolio selection [J]. Basic Sciences Journal of Textile Universities, 2005, 18(2):158-161. (in Chinese)

[7]屠新曙,王春峰. 最佳均值-VaR投資組合問(wèn)題的研究[J]. 湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2002, 24(2):13-17.

TU Xin-shu, WANG Chun-feng. The mean-VaR optimum portfolio model [J]. Natural Science Journal of Xiangtan University, 2002, 24(2):13-17. (in Chinese)

[8]林旭東,鞏前錦. 正態(tài)條件下均值-CVaR有效前沿的研究[J]. 管理科學(xué), 2004, 17(3):52-55.

LIN Xu-dong, GONG Qian-jin. Research on the efficient frontier of mean-CVaR under normal distribution condition [J]. Management Sciences in China, 2004, 17(3):52-55. (in Chinese)

[9]榮喜民,武丹丹,張奎廷. 基于均值-VaR的投資組合最優(yōu)化[J]. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理, 2005, 25(5):96-103.

RONG Xi-min, WU Dan-dan, ZHANG Kui-ting. Mean-VaR based portfolio optimization [J]. Journal of Applied Statistics and Management, 2005, 25(5):96-103. (in Chinese)

[10]Merton R C. An analytic derivation of the efficient portfolio frontier [J]. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1972, 7(4):1851-1872.

文章編號(hào)：1000-8608(2016)04-0420-07

收稿日期：2015-12-05；修回日期: 2016-03-10．

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171051，重大計(jì)劃91230103)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(DUT15RC(3)037).

作者簡(jiǎn)介:周伊佳(1986-)，女，博士生，E-mail:zhouyijiadlut@gmail.com；于 波*(1963-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:yubo@dlut.edu.cn.

中圖分類號(hào)：O224

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.7511/dllgxb201604014

Relative location of optimal portfolios on efficient frontier

ZHOUYi-jia,YUBo*

( School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

Abstract：The validities of the optimal solutions of reward-risk portfolio optimization models are discussed, such as mean-VaR model, mean-AVaR model, mean-variance ratio model, etc.. It is proved that based on Markowitz mean-variance model and efficient frontier theory, if the optimal portfolios exist, they must be located on the efficient frontier of mean-variance. The mean and standard deviation of these models′ optimal solutions are calculated. According to the calculated results, the relative location of the optimal portfolios on the efficient frontier is discussed. Particularly, the location of mean-VaR model′s optimal portfolio on the efficient frontier varies with confidence levels.

Key words：portfolio optimization model; optimal portfolio; efficient frontier