基于改進PSO算法的跨流域水庫群聯(lián)合調(diào)度圖優(yōu)化

彭 安 幫，　彭 　 勇，　許 　 欽，　劉 宏 偉，　周 惠 成

( 1.水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室, 江蘇 南京　210029；2.南京水利科學研究院 水文水資源研究所, 江蘇 南京　210029；3.大連理工大學 水利工程學院, 遼寧 大連　116024 )

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基于改進PSO算法的跨流域水庫群聯(lián)合調(diào)度圖優(yōu)化

彭 安 幫1,2,3，彭 勇*3，許 欽1,2，劉 宏 偉1,2，周 惠 成3

( 1.水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室, 江蘇 南京210029；2.南京水利科學研究院 水文水資源研究所, 江蘇 南京210029；3.大連理工大學 水利工程學院, 遼寧 大連116024 )

摘要：針對跨流域水庫群優(yōu)化調(diào)度具有高維非線性和動態(tài)性的特點，提出一種改進粒子群優(yōu)化算法用于跨流域水庫群引(調(diào))水與供水聯(lián)合調(diào)度圖的求解．該算法針對基本粒子群優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)且進化后期收斂速度慢的缺陷，引入交叉和變異策略、模擬退火策略和反射邊界策略，以增加種群的多樣性并提高算法的進化速度和全局搜索能力．數(shù)值測試證明了該算法用于求解高維復(fù)雜優(yōu)化問題的有效性，實例研究也表明該算法提高了整個系統(tǒng)的供水與引水效益，是一種優(yōu)化復(fù)雜水庫群聯(lián)合調(diào)度高效實用的方法．

關(guān)鍵詞：跨流域調(diào)水；水庫群優(yōu)化調(diào)度；引水；供水；改進PSO算法

0引言

我國水資源時空分布不均，與社會經(jīng)濟發(fā)展水平及戰(zhàn)略布局不相匹配，僅靠挖掘本流域的水資源潛力無法完全解決當?shù)氐乃Y源短缺問題．因此，跨流域調(diào)水已成為水資源重新分配和緩解缺水地區(qū)供需矛盾的重要途徑．跨流域水庫群聯(lián)合調(diào)度具有以下特點：①涉及范圍廣，研究對象涉及多個流域和多個地區(qū)；②多目標性，涉及防洪、興利、發(fā)電和生態(tài)等多個目標；③連通方式復(fù)雜，不僅有河庫的自然連通，還有河庫之間的人工連通；④調(diào)度復(fù)雜，在結(jié)構(gòu)上水庫間有串聯(lián)、并聯(lián)或串并混聯(lián)關(guān)系，在功能上除需要滿足自身、聯(lián)合供水目標外，還需要考慮引調(diào)水的補償調(diào)節(jié)與反調(diào)節(jié)作用．因此，構(gòu)建科學合理的跨流域水庫群聯(lián)合調(diào)度圖模型和尋求高效的求解算法是關(guān)鍵．

鑒于跨流域水庫群聯(lián)合優(yōu)化調(diào)度是一個非線性、多峰、非凸函數(shù)的復(fù)雜優(yōu)化問題，通常采用模擬-優(yōu)化方法直接優(yōu)化預(yù)設(shè)的聯(lián)合調(diào)度圖．然而，隨著水庫群規(guī)模的增大，各水庫調(diào)度線形成高維解空間使求解過程不可避免地存在“維數(shù)災(zāi)”問題．傳統(tǒng)優(yōu)化算法如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等，在一定程度上存在求解困難、算法復(fù)雜等缺點，往往不能獲得滿意的優(yōu)化解．與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，啟發(fā)式算法如免疫算法、遺傳算法和粒子群優(yōu)化(PSO)算法等，具有魯棒性強、編碼方式簡單和隱含并行機制等特點，能有效避免復(fù)雜非線性優(yōu)化問題的“維數(shù)災(zāi)”，提高模型的求解效率[1-3]．

PSO算法是一種新型進化技術(shù)，源于模擬鳥群社會行為[4]．由于基本PSO算法存在易陷入局部最優(yōu)的缺點，許多學者從慣性系數(shù)、算法融合、種群拓撲結(jié)構(gòu)等方面進行改進，并在水庫(群)優(yōu)化調(diào)度中取得了較好的應(yīng)用效果[5-8]．已有的研究成果表明，粒子交叉、變異的遺傳更新策略可以提高種群多樣性[5]；模擬退火(SA)策略可以很好地平衡粒子的“開發(fā)”和“探測”能力[6]；反射邊界策略使粒子更容易接近最優(yōu)解[9]．所以，本文將上述3種策略同時引入粒子群算法，用于求解跨流域水庫群引(調(diào))水與供水聯(lián)合調(diào)度圖模型，并驗證模型及算法的有效性．

1調(diào)度圖模型

本文跨流域水庫群聯(lián)合調(diào)度圖以各成員水庫引(調(diào))水與供水調(diào)度圖的聯(lián)合形式來表示．采用模擬-優(yōu)化方法循環(huán)迭代求解相應(yīng)的聯(lián)合優(yōu)化調(diào)度圖，其中，模擬模塊嵌入優(yōu)化模塊以尋求水庫調(diào)度線的位置(調(diào)度參數(shù))．

1.1聯(lián)合調(diào)度圖

以工業(yè)和農(nóng)業(yè)兩個用水戶供水目標為例，說明跨流域水庫群聯(lián)合調(diào)度圖的基本形式(見圖1)及其使用規(guī)則(見表1)．其包括兩類調(diào)度圖：①供水調(diào)度圖(圖1(a))，由用水戶供水限制線組成，并按優(yōu)先級順序依次排列(用水戶優(yōu)先級越低，其供水限制線的位置越高)，其將興利庫容劃分為不同的供水調(diào)度區(qū)[10-11]，使用調(diào)度圖時根據(jù)時段初蓄水量所處的調(diào)度區(qū)進行供水決策．②引(調(diào))水調(diào)度圖(圖1(b))，由引(調(diào))水控制線組成(引水是針對受水水庫而言，調(diào)水是針對調(diào)水水庫而言)，與供水調(diào)度圖使用相似，引(調(diào))水決策是根據(jù)時段初蓄水量所處的引(調(diào))水調(diào)度區(qū)來進行，如處于限制引(調(diào))水區(qū)(即Ⅴ區(qū))，則按需水或線性插值引水．需要注意的是受水水庫的實際引水決策是調(diào)水水庫調(diào)水決策和受水水庫引水決策的一個組合決策過程[12]．

(a) 供水調(diào)度圖

(b) 引(調(diào))水調(diào)度圖

圖1　水庫聯(lián)合調(diào)度圖

表1　水庫引(調(diào))水與供水調(diào)度圖的調(diào)度區(qū)及調(diào)度規(guī)則

由于涉及多個水庫和供水區(qū)間，只用調(diào)度圖還不能完整地描述整個系統(tǒng)的調(diào)度規(guī)則，還需要相應(yīng)的輔助規(guī)則來配合使用，即引水與供水分配規(guī)則和下游區(qū)間供水規(guī)則．其中，引水與供水分配規(guī)則主要解決多庫同時引水和多庫同時為聯(lián)合供水目標供水時的水量分配問題[13]．下游區(qū)間供水規(guī)則解決水庫下游區(qū)間用水戶的供水問題，由區(qū)間用水、來水和水庫供水調(diào)度圖共同決定：模擬決策時先利用區(qū)間來水，再根據(jù)時段初蓄水量所處的調(diào)度區(qū)進行供水決策．

1.2數(shù)學模型

目標函數(shù)為系統(tǒng)供水量最大和受水水庫棄水量最小，采用權(quán)重法和罰函數(shù)形式構(gòu)建數(shù)學模型，具體建模過程參見文獻[13-14]，最終確定目標函數(shù)為

(1)

2基于改進PSO算法求解調(diào)度圖模型

2.1基本PSO算法

PSO算法以種群作為迭代進化的基本單位，搜索空間中每個粒子都是優(yōu)化問題的一個潛在解，各粒子具有自身的速度和位置，以及用于衡量粒子優(yōu)劣的適應(yīng)度．在搜索過程中，粒子通過歷代搜索過程中粒子的個體極值pbest和整個群體的全局極值gbest來動態(tài)更新速度和位置，直到找到最優(yōu)解．粒子i采用一維數(shù)組的實數(shù)編碼方式，表示為xi=(xi,1xi,2…xi,d…xi,D·L)，飛行速度為vi=(vi,1vi,2…vi,d…vi,D·L)．其中，基因位xi,d代表調(diào)度線的位置，d=(p-1)·L+l；p=1,2,…,D，l=1,2,…,L；D為調(diào)度線的總條數(shù)．粒子和速度更新計算公式如下：

(2)

(3)

2.2PSO算法改進

2.2.1交叉和變異策略

(1)交叉策略．依概率Pc在種群中選出Pc·M個粒子，采用算術(shù)交叉進行兩兩交叉操作．設(shè)xi和xj為兩個父代粒子，則對其進行交叉操作的計算公式如下：

(4)

其中r∈(0,1)，為隨機數(shù)．由于參與交叉的粒子i和j中同類型調(diào)度線的位置滿足xi,(p-1)·L+l>xi,p·L+l，xj,(p-1)·L+l>xj,p·L+l，而經(jīng)過交叉操作后新位置x′i,(p-1)·L+l和x′i,p·L+l分別為

(5)

且x′i,(p-1)·L+l-x′i,p·L+l=r·(xi,(p-1)·L+l-xi,p·L+l)+

(1-r)·(xj,(p-1)·L+l-

xj,p·L+l)>0

(6)可見，通過算術(shù)交叉操作后，仍然可以保證同類型的調(diào)度線不發(fā)生交叉．

(2)變異策略．依概率Ps對粒子xi的每個基因位xi,d進行非均勻變異操作[15]．新位置的確定如下：

(7)

Δ(k,y)=y·(1-r(1-k/K)b)

(8)

2.2.2模擬退火策略本文在PSO算法中加入模擬退火機制[6]，用溫度控制函數(shù)T0=σ·T0(σ∈(0.8,1.0)為退火系數(shù))調(diào)整粒子的冷卻溫度，以Meteopolis規(guī)則接受由式(2)、(3)更新的粒子經(jīng)過交叉和變異后的子代．Meteopolis規(guī)則公式為

(9)

其中x′i為交叉或變異后的新粒子．當新粒子適應(yīng)度增加時，先由式(9)計算出接受概率P，如果P>r，則接受新粒子，否則接受原來的粒子．隨著進化過程，退火溫度T0逐漸減小，接受惡劣解的概率P逐漸趨向于0，進行局部精細搜索，提高算法的收斂性能．

2.2.3反射邊界策略當更新粒子位置時，為了保證新粒子的每個參數(shù)都在相應(yīng)的取值范圍內(nèi)，將參數(shù)的最大和最小邊界作為反射邊界考慮在算法中，這種反射邊界策略使粒子更容易接近全局最優(yōu)解[9]．粒子位置修正公式如下：

(10)

以上兩種情況下，相應(yīng)的粒子速度修正為

v′i,d=-vi,d

(11)

2.3數(shù)值測試

為了分析各個策略的貢獻和驗證改進PSO(MPSO)算法的有效性，在PSO算法中逐步加入不同策略形成不同算法，然后對Rosenbrock函數(shù)和Rastrigin函數(shù)[15]進行仿真計算．其中，PSO_R算法加入反射邊界策略；PSO_GA算法加入反射邊界和交叉變異策略．以平均函數(shù)值和變差系數(shù)作為評價指標，計算結(jié)果見表2(進化2 500代，運行50次)．

表2　非線性函數(shù)優(yōu)化性能測試

由表2可知，MPSO算法的穩(wěn)定性較好；交叉、變異策略對收斂性能改進作用最大，其次為模擬退火策略，再次為反射邊界策略．對Rosenbrock函數(shù)，在低維時收斂精度相對較差，但在高維時顯著提高；對Rastrigin函數(shù)，在低、高維時收斂精度都顯著提高．可見，MPSO算法用于求解高維復(fù)雜優(yōu)化問題的有效性．

2.4模型求解

采用模擬-優(yōu)化方法求解模型，其中優(yōu)化模塊采用MPSO算法，粒子的適應(yīng)度采用式(1)，優(yōu)化變量為聯(lián)合調(diào)度圖的調(diào)度線，決策變量為水庫時段引水量和供水量．調(diào)度圖模型的具體求解步驟見文獻[13-14]．

3實例應(yīng)用

以我國北方某跨流域調(diào)水工程開展實例研究，工程背景、數(shù)據(jù)資料、供水任務(wù)等情況參見文獻[13-14]，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)概化圖見圖2．

3.1模型參數(shù)設(shè)置

設(shè)置迭代次數(shù)K=2 500；學習因子c1=c2=2；慣性系數(shù)w采用線性遞減模型w=wmax-k(wmax-wmin)/K，取wmax=0.9，wmin=0.4；最大速度vmax=0.4；采用文獻[6]推薦的方法設(shè)置初始溫度T0=106，溫度冷卻系數(shù)σ=0.9．通過參數(shù)優(yōu)選來確定種群大小、交叉概率和變異概率等參數(shù)．3.1.1種群大小優(yōu)選在Pc=0、Ps=0時，種群大小設(shè)置6種情景：M=50，90，120，150，180，210．不同種群大小的適應(yīng)值進化過程均值(50次，以下相同)如圖3所示．

圖2　跨流域水庫群供水系統(tǒng)結(jié)構(gòu)概化圖

圖3　不同種群大小平均進化過程

由圖3可見，從進化速度上，種群越大達到相同的精度時所需的代數(shù)越少；從收斂精度上，種群越大收斂精度越高，但當種群增大到一定程度時，收斂精度差別不大；最優(yōu)種群大小范圍為M≥120．由于模擬運行時間隨種群大小近似呈線性增長，綜合考慮選取種群大小M=120．

3.1.2交叉和變異概率優(yōu)選在Ps=0時，不同交叉概率下最小和平均適應(yīng)度的變化曲線如圖4所示，隨著交叉概率的增大，適應(yīng)度呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，最佳取值范圍為0.10～0.25，選取Pc=0.20．在Pc=0.20時，不同變異概率下最小和平均適應(yīng)度的變化曲線如圖5所示，變異概率較小時取值較優(yōu)，選取Ps=0.01．

圖4　不同交叉概率下的適應(yīng)度

圖5　不同變異概率下的適應(yīng)度

3.1.3有效性分析由于MPSO算法是以增加計算過程(環(huán)節(jié))來減少“進化”代數(shù)并提高求解精度，而本文主要考慮調(diào)度問題的求解精度，所以將實例應(yīng)用的適應(yīng)度最大、最小、平均值和標準差以及進化過程作為度量指標，在固定迭代次數(shù)下與PSO算法對比進行MPSO算法的有效性分析．MPSO與PSO算法的對比分析如表3和圖6所示，可以看出MPSO算法的收斂性更好；適應(yīng)度進化過程也反映了MPSO算法的收斂速度快且精度較高．

表3　MPSO和PSO算法適應(yīng)度特征值對比

(a) MPSO

(b) PSO

圖6最大、最小和平均適應(yīng)度進化過程對比

Fig.6Comparisonofevolutionaryprocessesonthemaximum,minimumandaveragefitnessvalues

3.2結(jié)果及分析

3.2.1調(diào)度圖及其合理性分析聯(lián)合調(diào)度圖如圖7所示，可以看出：

(1)供水限制線的變化趨勢符合一般的調(diào)度規(guī)律

①汛前供水限制線壓低，為汛期騰空庫容和減少汛期的棄水；②汛期來水較豐，供水限制線較低，限制供水次數(shù)減少；③汛后供水限制線抬高，以保證汛后水庫的蓄滿率和枯水期的供水．

(2)引(調(diào))水控制線的變化趨勢符合調(diào)度規(guī)律

①H水庫主要任務(wù)是調(diào)水，11月～次年2月其調(diào)水控制線較高，避免受水水庫過度引水；其他時段為發(fā)揮調(diào)水的龍頭作用，調(diào)水控制線都較低．而受水水庫的供水壓力較大(尤其是Q水庫)，盡量抬高引水控制線的位置以增加引水機會．

②汛期(7～9月上)，如圖7中區(qū)域Ⅱ所示，H水庫的調(diào)水控制線較低，而Q和C水庫的引水控制線較高，這種調(diào)水與引水組合使Q和C水庫在汛期來水不足時盡量引水，以保證Q和C水庫的蓄滿率；而B水庫來水量較豐且供水壓力相對較小(見表4)，其引水控制線相對較低，以降低“引水且棄水”情況．

③由9月中旬～10月和1～3月的變化趨勢可知，Q、B和C水庫之間呈現(xiàn)“競爭”的趨勢，三者按一定比例同時引水的機會較大．

④由圖7中區(qū)域Ⅲ(11～12月)和區(qū)域Ⅰ(4～6月)的變化趨勢可知，Q水庫的引水表現(xiàn)出與B、C水庫“互補”的趨勢，水庫單獨引水的機會較大．Q水庫在11～12月減少引水，利用自身來水和庫存的水量供水，保證B、C水庫的引水．在4～6月Q水庫需要大量引水以滿足增加的供水需求，而B、C水庫相應(yīng)地減少引水；同時，H水庫為滿足受水水庫的引水需求和騰空自身庫容降低汛期的棄水，壓低調(diào)水控制線．

綜上，調(diào)水水庫與受水水庫之間的引水與調(diào)水具有相互制約與協(xié)同關(guān)系，受水水庫之間的引水具有很好的“互補”關(guān)系．

3.2.2調(diào)度結(jié)果對比分析將MPSO與PSO算法的調(diào)度方案進行對比分析，進一步說明MPSO 算法調(diào)度結(jié)果的合理性．如表4和5所示，水庫群調(diào)度方案比較理想，各用水戶均滿足規(guī)劃保證率要求．

(1)成員水庫供水和棄水對比：H水庫調(diào)出水量增多同時棄水減少；Q水庫在引水量增加的同時棄水量減少，說明MPSO算法獲得的聯(lián)合優(yōu)化調(diào)度圖更加合理；C水庫在引水量相差不大的情況下，提高了棄水的利用率；B水庫由于引水量增加，則供水增加但棄水也增加，引水效率有待進一步提高．

(2)系統(tǒng)供水和棄水對比：受水水庫的實際引水增加118×106m3，供水增加134×106m3，棄水減少27×106m3；整個系統(tǒng)供水增加140×106m3，來源于增加的引水和其他用水戶減少的供水，主要用于葦田和河口環(huán)境供水．

(3)用水戶供水保證率對比：MPSO算法中，用水戶供水保證率都滿足規(guī)劃要求，但PSO算法中葦田供水保證率沒有滿足要求，表明MPSO算法的收斂性更好．此外，由于H水庫調(diào)水增加，其直供工業(yè)保證率降低；為增加葦田供水，Q水庫的直供工業(yè)、高效農(nóng)業(yè)保證率降低．

從以上分析可知，MPSO算法獲得的聯(lián)合優(yōu)化調(diào)度圖更加合理，調(diào)水水庫調(diào)出水量增多，受水水庫供水相應(yīng)地增加，供水分配更加平衡，提高了供水和引水效益．

(a) H水庫調(diào)水與供水調(diào)度圖

(b) Q水庫引水與供水調(diào)度圖

(c) B水庫引水與供水調(diào)度圖

(d) C水庫引水與供水調(diào)度圖

圖7　跨流域水庫群聯(lián)合優(yōu)化調(diào)度圖

表4　水庫和系統(tǒng)調(diào)節(jié)成果對比

表5　水庫用水戶保證率統(tǒng)計結(jié)果對比

4結(jié)語

本文重點針對跨流域水庫群聯(lián)合調(diào)度圖模型構(gòu)建和求解算法進行了研究．調(diào)度圖模型中考慮系統(tǒng)供水量最大和受水水庫棄水量最小兩個目標函數(shù)，可以很好地反映整個系統(tǒng)的供水與引水效益．引(調(diào))水與供水調(diào)度線的變化趨勢符合一般調(diào)度規(guī)律：供水限制線呈現(xiàn)兩頭高中間低的變化趨勢；引水與調(diào)水之間存在制約與協(xié)同關(guān)系，以及受水水庫之間引水具有一定的“互補”關(guān)系，說明調(diào)度規(guī)則能充分發(fā)揮流域之間的“水文補償”和水庫之間的“庫容補償”作用．數(shù)值實驗表明交叉、變異策略對算法的改進作用較大，且適用于求解高維復(fù)雜優(yōu)化問題；改進算法可以增加系統(tǒng)供水134×106m3，減少棄水27×106m3，提高了系統(tǒng)的水資源利用效率．

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文章編號：1000-8608(2016)04-0406-08

收稿日期：2015-09-06；修回日期: 2016-03-15．

基金項目:國家自然科學基金重大國際(地區(qū))合作研究項目(51320105010)；國家自然科學基金資助項目(51379027，51579148，51209139)；遼寧省自然科學基金資助項目(2015020608)；國家自然科學基金重大研究計劃培育項目(91547111).

作者簡介:彭安幫(1985-)，男，工程師，E-mail:pengfei110ab@126.com；彭 勇*(1979-)，男，副教授，E-mail:pengyong@dlut.edu.cn.

中圖分類號：TV697.12

文獻標識碼：A

doi:10.7511/dllgxb201604012

Optimization of joint operating rule curves for inter-basin multi-reservoir system based on modified PSO algorithm

PENGAn-bang1,2,3,PENGYong*3,XUQin1,2,LIUHong-wei1,2,ZHOUHui-cheng3

( 1.State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering, Nanjing 210029, China；2.Hydrology and Water Resources Department, Nanjing Hydraulic Research Institute, Nanjing 210029, China；3.School of Hydraulic Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

Abstract：Aiming at the inter-basin multi-reservoir optimal operation with high-dimensional nonlinearity and dynamic characteristics, a modified particle swarm optimization (MPSO) algorithm is proposed for deriving the water supply-transfer operating rule curves. Several strategies, such as crossover and mutation, simulated annealing and reflective boundary, are introduced in the basic PSO algorithm. These strategies can keep the diversity of population, improve the convergence speed and enhance the global searching ability, so that it can avoid the prematurity and slow convergence in later evolution. Numerical tests results manifest the effectiveness of the proposed algorithm for solving high-dimensional complex optimization problems. A case study indicates that the benefit of water transfer and supply has been improved considerably by the proposed algorithm. The proposed algorithm can be an effective method for optimizing the joint operation of such complex multi-reservoir system.

Key words：inter-basin water transfer; multi-reservoir optimal operation; water transfer; water supply; modified PSO algorithm