基于無網(wǎng)格法梁結構多裂紋定量識別

羅志鋼， 蔣占四， 王衍學， 向家偉

(1. 桂林電子科技大學 機電工程學院，廣西 桂林　541004; 2.溫州大學 機電工程學院，浙江 溫州　325035)

基于無網(wǎng)格法梁結構多裂紋定量識別

羅志鋼1， 蔣占四1， 王衍學1， 向家偉2

(1. 桂林電子科技大學 機電工程學院，廣西 桂林541004; 2.溫州大學 機電工程學院，浙江 溫州325035)

研究基于無網(wǎng)格法的懸臂梁結構多裂紋定量識別方法。通過局部加權殘量法將裂紋以虛擬邊界融入離散系統(tǒng)方程，建立多裂紋梁結構動力學模型,獲得定量識別正問題數(shù)據(jù)庫。結合曲率模態(tài)法先找到裂紋位置，再以實測頻率作為反問題輸入利用粒子群法反演尋優(yōu)從而定量預測出裂紋的損傷程度。數(shù)值仿真表明，該方法前處理簡單，適合用來模擬非連續(xù)裂紋問題，為結構多裂紋識別提供了新途徑。

無網(wǎng)格法；多裂紋；識別

結構的裂紋是一種常見的損傷形式,在長期交變應力和沖擊載荷的作用下,容易引起裂紋擴展從而導致結構破壞,引起安全事故。因而對結構是否產(chǎn)生裂紋并對其位置和損傷程度進行及時診斷和評估[1]在工程實踐中具有重要意義。

近年來國內外對含裂紋的結構進行了大量分析研究,比如基于小波包與倒頻譜分析的裂紋診斷方法[2], 基于網(wǎng)格式支持向量機算法的轉軸裂紋故障診斷[3]。這些方法在診斷裂紋故障上取得了較好的效果,但準確性有待提高，尤其多裂紋問題存在困難。在用基于模型的方法分析裂紋方面以有限元法最為普遍。陳雪峰等[4-6]將小波有限元引入到裂紋故障診斷。利用小波多尺度多分辨的特性，針對求解問題的精度要求，可采用不同類型和尺度的小波基函數(shù)，因而在處理結構裂紋奇異性問題具有一定的優(yōu)越性。文獻[5]在懸臂梁裂紋識別中利用6階Daubechies小波基單元，取得了良好的計算結果。但是Daubechies小波無顯式表達式，用于構造小波單元時必須計算聯(lián)系系數(shù)，計算復雜。

用有限元法模擬裂紋問題時，由于裂紋尖端的應力奇異性和裂紋的動態(tài)擴展往往需要對網(wǎng)格細化或網(wǎng)格的重新劃分，特別在多裂紋問題求解中，網(wǎng)格的大量重構不僅降低了模型的計算精度，而且增加了計算成本。

無網(wǎng)格法解決了傳統(tǒng)基于網(wǎng)格的數(shù)值方法缺點，它不存在類似有限元中單元邊界要始終和結構內部不連續(xù)邊界(裂紋)保持一致的問題，避免了網(wǎng)格重構帶來的數(shù)值困難。本文通過無網(wǎng)格PETROV-GALERKIN法[7]對多裂紋懸臂梁結構進行研究。從加權殘量法出發(fā)將裂紋以虛擬邊界引入，建立多裂紋結構的正問題動力學模型；結合前人研究的曲率模態(tài)法[8-11]確定裂紋位置的基礎之上,將反問題實測系統(tǒng)的前三階固有頻率作為輸入，利用粒子群優(yōu)化(PSO)方法反演尋優(yōu)定量預示該位置的損傷程度。通過懸臂梁雙裂紋診斷試驗，驗證該方法的有效性。

1　MLS形函數(shù)

根據(jù)移動最小二乘法,在域Ω中任一點的近似表達式為：

(1)

式中：φi為對應于點x的支持域中n個節(jié)點的MLS形函數(shù)；節(jié)點i的形函數(shù)φi(x)為：

(2)

A(x)為加權力矩矩陣，定義為：

(3)

矩陣B(x)為：

(4)

2　多裂紋懸臂梁的無網(wǎng)格分析

圖1，2分別多裂紋懸臂梁及其無網(wǎng)格模型。其中L是梁的長,L1,L2…Li；a1,a2…ai分別為相應裂紋對應的位置和深度。假定均勻截面的梁的自由振動方程為:

0

(5)

式中：u(x,t)是梁的軸向橫位移，ρ是梁的密度，A是梁的截面面積，EI是梁的彎曲剛度，將u(x,t)空間坐標進行離散化:

u(x,t)=u(x)eiwt=ueiwt

(6)

將式(6)代入等式(5)化簡為：

EIu″″=ω2ρAu0

(7)

這樣u=u(x)變成只是空間坐標的函數(shù)，ω是自然頻率。

圖1　多裂紋懸臂梁模型Fig.1 Multiple cracks cantilever model

圖2　多裂紋懸臂梁無網(wǎng)格模型Fig.2 Multiple cracks cantilever meshless model

邊界條件為：

u(x)=u0在Γu上,

(8)

M=M0在ΓM上,

V=V0在ΓV上

(9)

Γu∩ΓV=?,Γθ∩ΓM=?

(10)

其中：M是彎力矩,V是剪切力,Γu,Γθ,ΓM,ΓV,是邊界上的位移,轉角,彎力矩,剪切力。在裂紋處，連續(xù)條件為：

(11)

(12)

(13)

不連續(xù)條件為轉角[12]：

(14)

式中：xc為裂紋處的坐標，λ表示裂紋所在部位梁等效為無質量扭轉彈簧的影響系數(shù)，λ能被表示成裂紋深度a和梁高h的函數(shù)[13-14]：

λ=5.346hg(ξ)

(15)

其中:

g(ξ)=1.862 4ξ2-3.95ξ3+16.375ξ4-

37.226ξ5+76.81ξ6-126.9ξ7+

172ξ8-143.97ξ9+66.56ξ10

(16)

(17)

采用局部加權殘量法[7,15]：

(18)

(19)

(20)

(21)

由力矩M和剪力V的關系為：

M=EIu″;V=-EIu?

(22)

將式(22)和邊界條件式(9)代入式(21)得：

(23)

(24)

由式(11)～(14)可知在裂紋處懸臂梁的位移和它的二階，三階導數(shù)是連續(xù)的，而一階導數(shù)不連續(xù)，即：

由式(24)可得：

(25)

將形函數(shù)式(1)和權函數(shù)代入式(25)，由此可得到系統(tǒng)模態(tài)方程：

(K+Kc-ω2M)U=F

(26)

式中：K是懸臂梁系統(tǒng)不含裂紋時的剛度矩陣，Kc是對應裂紋處的等效剛度矩陣，M是系統(tǒng)的質量矩陣，F(xiàn)是外界所施加的載荷。因此，系統(tǒng)節(jié)點的剛度矩陣為：

〗(27)

裂紋處的等效剛度矩陣為:

(28)

系統(tǒng)節(jié)點的質量矩陣為:

(29)

系統(tǒng)節(jié)點載荷為：

(30)

若為任意數(shù)量的裂紋(28)可寫為:

(31)

3　多裂紋診斷方法

基于無網(wǎng)格法的裂紋識別流程如下(見圖3)：首先利用曲率模態(tài)法確定裂紋的相對位置(β1，β2，…βi, βn)；然后正反問題結合并利用粒子群優(yōu)化(PSO)算法來估算該位置的損傷程度(α1，α2，…αi，αn)。該方法結合了曲率模態(tài)法[8-11]在奇異性分析方面的優(yōu)勢，同時降低了多裂紋參數(shù)反演尋優(yōu)的維度，簡化了計算。

3.1裂紋損傷位置識別

首先用實驗模態(tài)分析(EMA)測量獲得裂紋梁的第m階模態(tài)Ym,并計算得到其模態(tài)曲率Vm。通過中心差分法近似得到該點的模態(tài)曲率[16]如下：

(32)

式中：hc為相鄰兩點的距離，j表示空間不同位置的點，Ym,j-1,Ym,j,Ym,j+1,是Ym上三個連續(xù)的點。裂紋位置可以從模態(tài)曲率的外觀上確定，如果有突變或峰值出現(xiàn)，則該位置有損傷存在,從而確定損傷位置β1，β2，…βi，βn。

3.2裂紋損傷程度求解

從圖3可知，在正問題分析中，利用無網(wǎng)格局部PETROV-GALERKIN法，求得振動特征方程得到了裂紋梁自由振動的固有頻率ωm(m=1, 2, 3, …), 即對于給定的裂紋相對位置β，求解不同α相關的各階總體振動頻率ωm=ω(α1,α2,…αj,αn)可得到裂紋梁定量識別數(shù)據(jù)庫。

在反問題分析中，通過實測的ω*反演優(yōu)化求解出裂紋的相對深度?，F(xiàn)在構造如下目標函數(shù)(33)。

(33)

式中：ωj為數(shù)值計算的不同裂紋相對深度組合的數(shù)據(jù)庫，ωj*表示實測頻率。利用粒子群優(yōu)化方法(有關粒子群優(yōu)化方法詳見文獻[18])從數(shù)據(jù)庫中尋求最優(yōu)解以獲得真實裂紋的參數(shù)(α1,α2，…αi，αn)。

曲率模態(tài)差定位懸臂梁裂紋位置(β1，β2，…βi,βn)

圖3　裂紋診斷流程圖Fig.3 Crack diagnosis flow chart

4　數(shù)值仿真

4.1裂紋梁固有頻率計算

為了驗證該算法的有效性，以文獻[17]中的雙裂紋懸臂梁進行驗證，參數(shù)如下：彈性模量E=210 GPa，密度ρ=7 860 kg/m3，懸臂梁有效長度L=0.5 m，橫截面高度H=0.02 m，寬度B=0.012 m。

用本文無網(wǎng)格法計算雙裂紋梁的前三階固有頻率并與文獻[17]中的頻率對比，列于表1。其中α表示裂紋相對深度，β表示裂紋相對位置，ω表示固有頻率，括號內數(shù)據(jù)是來自文獻[17]中的頻率。可以看出該方法求得固有頻率誤差小于1%，滿足精度要求。為裂紋識別打下了基礎。

4.2裂紋識別仿真

利用曲率模態(tài)法先找到雙裂紋懸臂梁的裂紋位置β1，β2，然后以該裂紋位置實測頻率ω*作為輸入，利用PSO[18]算法尋優(yōu)求解出與輸入值相差最小的樣本點，從而獲得該裂紋位置相應的損傷程度α1,α2。

為了模擬實測頻率中含有噪聲信號的影響，現(xiàn)加入±2%高斯白噪聲[19](WGN)后的固有頻率為：

(34)

由表2可知,在不同的裂紋工況下,定量診斷的兩個裂紋的相對深度α誤差在8%以內。表明此無網(wǎng)格法在低水平的噪聲環(huán)境下，可以可靠地進行裂紋梁的定量診斷。

圖4　雙裂紋位置模態(tài)曲率形狀圖Fig.4 Two crack locations detection using the mode shape curvature

圖5　粒子群優(yōu)化(PSO)的收斂進程和對應識別兩個裂紋的相對深度Fig.5 Convergence process of PSO and identify the two corresponding relative crack depths

5　實驗研究

圖6　實驗裝置圖Fig.6 Experimental setup

表1　雙裂紋懸臂梁前三階固有頻率

表2　四組裂紋工況的識別結果

圖7 二階模態(tài)形狀與曲率Fig.7Thesecondmodeshapeandcurvemodeshape圖8 PSO識別對應位置裂紋相對深度Fig.8PSOidentifycorrespondingrelativecrackdepths

6　結　論

(1) 提出一種用于梁結構多裂紋定量識別的無網(wǎng)格法。通過局部加權殘量法將裂紋以虛擬邊界引入，從而將裂紋融入系統(tǒng)振動特征方程中，構造懸臂梁裂紋參數(shù)定量識別正問題模型以獲得裂紋診斷數(shù)據(jù)庫；并通過實測的裂紋系統(tǒng)固有頻率，結合曲率模態(tài)法先定位再利用粒子群優(yōu)化(PSO)算法反演數(shù)據(jù)庫以尋最優(yōu)解從而定量識別出懸臂梁系統(tǒng)裂紋的相對深度。

(2) 數(shù)值仿真研究表明:基于無網(wǎng)格法對梁結構多裂紋定量識別方法切實可行，且只需要節(jié)點信息，前處理簡單，因而非常適合用來模擬非連續(xù)(裂紋)問題，為結構多裂紋識別提供了新途徑。

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Multi-crack detection of beam structures based on meshless method

LUO Zhi-gang1, JIANG Zhan-si1, WANG Yan-xue1, XIANG Jia-wei2

(1. College of Mechanical and Electronic Engineering, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China;2. College of Mechanical and Electronic Engineering, Wenzhou University, Wenzhou 325035, China)

Multi-crack of a cantilever beam structure were detected based on the meshless method. With the local weighted residual method, cracks were taken as virtual boundaries to be integrated into a discrete system’s equations to build a multi-crack beam dynamic model and acquire a data base for identifying quantitatively a positive problem. Combined with the curvature modal analysis method, the crack positions were found. The measured frequencies were taken as inputs, the particle swarm optimization method was used for the optimization of an inverse problem to predict quantitatively the damage level of cracks. Namerical simulations showed that the proposed method is simple and suitable for simulating non-continuous crack problems, and it provides a new way for detecting multi-crack of structures.

meshless method; mult-crack; identification

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.033

國家自然科學基金(51565008;51575400)；廣西制造系統(tǒng)與先進制造技術重點實驗室開放課題(14-045-15-009Z)；桂林電子科技大學研究生創(chuàng)新項目(YJCXS201506)

2015-05-20修改稿收到日期：2015-07-01

羅志鋼 男，碩士生，1987年生

蔣占四 男，博士，副教授，1977年生

E-mail:jiangzhansi@gmail.com

TU223；O346.1

A