直角三角形臺球系統(tǒng)的符號動力學(xué)分析

黃俊翔, 路俊哲， 趙 鴻*

（1.廈門大學(xué) 物理系，福建 廈門 361005；2.新疆師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054）

直角三角形臺球系統(tǒng)的符號動力學(xué)分析

黃俊翔1, 路俊哲2， 趙 鴻1*

（1.廈門大學(xué) 物理系，福建 廈門 361005；2.新疆師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054）

文章建立直角三角形臺球系統(tǒng)的符號動力學(xué)描述。通過把直角三角形臺球桌內(nèi)臺球運(yùn)動的方程化簡成二維分片映射，得到了相平面上的分割線，從而正、逆映射的分葉線分別被賦予了正、逆向單邊無窮符號序列，建立了相空間軌道和符號序列空間的對應(yīng)。引入度規(guī)后，符號空間轉(zhuǎn)化為符號平面，并在符號平面上定義了基本禁止區(qū)，初步分析了系統(tǒng)的動力學(xué)行為。

三角形臺球系統(tǒng)；符號動力學(xué)；遍歷性

遍歷性是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本假設(shè)，這一假設(shè)對什么樣的具體系統(tǒng)能夠被滿足至今依然沒有很好地理解。臺球系統(tǒng)（billiard）雖然簡單但卻非平庸，一直以來作為研究遍歷性問題的理想模型而受到廣泛的關(guān)注［1-8］。一般認(rèn)為，臺球系統(tǒng)具有很好的遍歷性，這一點(diǎn)在一般的多邊形臺球系統(tǒng)模型情況下已經(jīng)被嚴(yán)格證明。然而當(dāng)退化到簡單的直角三角形臺球后，意外地發(fā)現(xiàn)這個特例下遍歷性可能不能被滿足，這一點(diǎn)首先由G.Casati和T. Prosen在研究一般三角形臺球時被意識到［1］，后來被直接的數(shù)值計(jì)算所證實(shí)［2］，并被解析分析初步證明［3］。不僅如此，直角三角臺球系統(tǒng)的動力學(xué)與一維盒子中兩個不等質(zhì)量的剛性小球系統(tǒng)的碰撞動力學(xué)等價(jià)，而后者對理解一維硬球氣體系統(tǒng)有重要的啟示作用。因此直角三角形臺球系統(tǒng)值得進(jìn)一步的深入研究。

直角三角形臺球系統(tǒng)具體指一個彈球在直角三角形的臺球桌內(nèi)的無摩擦無能量損耗的無限時間運(yùn)動，其動力學(xué)可以表示成一個二維分片映射［3］，以下簡稱臺球映射。依靠數(shù)值方法或解析分析，直角三角形臺球研究已經(jīng)積累了豐富的成果［1-8］.然而，其對稱性特征還沒有被系統(tǒng)地研究和描述，而這些對稱性特征對于理解系統(tǒng)動力學(xué)行為，特別是非遍歷性質(zhì)，具有非常關(guān)鍵的作用。將建立臺球映射的符號動力學(xué)描述［9］，通過構(gòu)造符號平面及其基本禁止區(qū)（basic forbidden zone），利用允字條件初步分析系統(tǒng)的動力學(xué)行為，討論如何在給定參數(shù)下應(yīng)用符號動力學(xué)求解該系統(tǒng)可能的周期軌道。

圖1 直角三角形臺球映射像平面分區(qū)

1 直角三角形臺球映射

直角三角形臺球映射是定義在R×［0，1］上的二維映射，可表示為:

當(dāng)軌道點(diǎn)屬于L區(qū)（xi<0，yi>1+xi）時

當(dāng)軌道點(diǎn)屬于M區(qū)（-1≤xi≤1，xi≤yi≤1+xi）時；

當(dāng)軌道點(diǎn)屬于R區(qū)（xi>0，yi

其中b∈(-2,2)為控制參數(shù)。與之對應(yīng)的逆映射為:

當(dāng)軌道點(diǎn)屬于L-1區(qū)（xi+1>b，yi+1>1+b-xi+1）時:

當(dāng)軌道點(diǎn)屬于M-1區(qū)（b-1≤xi+1≤b+1，b-xi+1≤yi≤1+b-yi+1）時:

當(dāng)軌道點(diǎn)屬于R-1區(qū)（xi+1

圖1給出x-y平面上正、逆映射所對應(yīng)的分區(qū)。正映射分區(qū)邊界由實(shí)線表示，逆映射分區(qū)邊界由虛線表示?？梢钥闯?，正、逆映射所對應(yīng)的分區(qū)關(guān)于x=b/2對稱。給定任一初值點(diǎn)，可以由正、逆映射計(jì)算出其將來的和以前的相空間軌道，進(jìn)而根據(jù)軌道點(diǎn)所屬分區(qū)，可以得到所對應(yīng)的符號序列，…siˉ…s2ˉs1ˉ?s1s2…si…，其中?表示當(dāng)前位置。如果定義移位操作σ：則在符號序列組成的空間上定義了動力學(xué)，從而建立了相空間動力學(xué)的符號動力學(xué)對應(yīng)。

2 相空間的分葉線的符號序列以及排序規(guī)則

從正映射的表達(dá)式可以看到，如果一段直線落在某個片區(qū)內(nèi)部，那么這段直線的像一定也是直線，這樣一來，一個特定的正向符號序列?s1s2…sn…,對應(yīng)相空間的一條線段，整個相空間可以由這些被賦予特定符號序列的線段取代，這些線段叫作相空間的分頁線（foliation）。圖2給出了部分M區(qū)正向符號序列分葉線的分布和形態(tài)。同樣地，逆映射亦有此性質(zhì)，也可以將相空間分割成一系列的分葉線，并給每個分葉線賦予一個逆向的符號序列。

圖2 M區(qū)中的部分正映射分葉線

對相空間重新分割以后，相空間中每個軌道點(diǎn)被賦予了一個雙邊無窮符號序列，所有相空間點(diǎn)的符號序列組成了一個符號空間。為了建立符號動力學(xué)，首先要對這些符號序列排序，規(guī)定大小、排序的基本原則是保持與相空間軌道點(diǎn)的拓?fù)潢P(guān)系一致。注意到正逆映射對于x分量的迭代只依賴于x坐標(biāo)的值，不依賴于y的值（y坐標(biāo)的值參與決定當(dāng)前的軌道點(diǎn)屬于哪一分區(qū)）。這一特性提示可以按照x值的大小給相空間上的分葉線排序，即固定y的值，要求x值大的點(diǎn)對應(yīng)的分葉線的符號序列也大。據(jù)此，首先要求?L?PR。按照這一原則，得到正序列的排序規(guī)則：

其中EM表示具有偶數(shù)個M的公共字頭，OM表示具有奇數(shù)個M的公共字頭。同樣可以推出逆序列的排序規(guī)則：

其中EM表示具有偶數(shù)個M-1的公共字頭，OM表示具有奇數(shù)個M-1的公共字頭。按此規(guī)則，相空間中（-∞，1）和（∞，0）分別對應(yīng)最小和最大的正向符號序列，（-∞，0）和（∞，1）分別對應(yīng)最小和最大的逆向符號序列。

分葉線的排列規(guī)則對符號序列給出了基本的限定，只有當(dāng)正映射分葉線?Q和逆映射分葉線P?相交，符號序列P?Q才是允許的序列，對應(yīng)相空間中真實(shí)的軌道點(diǎn)。如果正映射分葉線?Q和逆映射分葉線P?不相交，那么符號序列P?Q不是允許的序列，由它生成的所有正向和逆向的移位序列也都是禁止的。

3 符號平面和允字條件

為了可視化討論符號序列空間，通常為符號序列定義度規(guī)，從而在坐標(biāo)平面上描述符號平面。為此我們定義?s1s2…si…=?Γi-1si…的“坐標(biāo)”α為：

其中

同樣定義…siˉ…s2ˉs1ˉ?=…siˉΓi-1?的“坐標(biāo)”β為

其中

據(jù)此定義規(guī)定后，當(dāng)前點(diǎn)的雙邊無限序列對應(yīng)平面上單位正方形［0，1］×［0，1］內(nèi)的一個點(diǎn)。例如R∞?L∞對應(yīng)（0，1）點(diǎn)，M∞R?M∞對應(yīng)（1/6，1/2）點(diǎn)。這個單位正方形稱為符號平面，其上垂直線和水平線分別對應(yīng)正、逆分葉線。

確定符號平面上的基本禁止區(qū)（BBZ）是建立符號動力學(xué)的關(guān)鍵步驟。基本禁止區(qū)定義為分割線在符號平面上的像，選定分割線M1（x=y）上的一點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)的符號序列是P?m1Q，其中m1可以取M或R，則正映射分葉線?m1Q被分解成兩條，?MQ和?RQ，分別對應(yīng)于所選定的點(diǎn)向左和向右無窮小擾動所對應(yīng)的正映射分頁線，那么所有介于?MQ和?RQ之間的正向分頁線將不能和小于等于P?的逆向分頁線相交。對應(yīng)到符號平面，這表示一個由一條β(P?)和兩條α(?MQ)和α(?RQ)圍成的一個矩形區(qū)域，這個區(qū)域構(gòu)成一個禁止區(qū)，由所有M1上的點(diǎn)生成一片禁止字區(qū)。同樣由所有M2上的點(diǎn)可以生成另一片禁止字區(qū)，兩片禁止字區(qū)構(gòu)成了映射的基本禁止區(qū)。不過這樣構(gòu)造的禁止區(qū)討論起了略顯麻煩，可以進(jìn)一步用更簡單的方式給出等價(jià)的基本禁止區(qū)。注意到基本禁止區(qū)的定義是相對的，基本禁止區(qū)在正、逆映射下的任何一個像也都可以做為基本禁止區(qū)。換句話說，任何一條分割線的正、逆映射像也同樣是分割線，可以等價(jià)地構(gòu)造基本禁止區(qū)。在文章討論的特殊系統(tǒng)中，可以簡單算出M1一次正映射的像恰好是圖1上邊界（y=1）上的線段(-∞,b)，M2一次正映射的像則恰好是圖1下邊界（y=0）上的線段(∞,b)，這樣可以利用這兩條邊界作為分割線構(gòu)造基本禁止區(qū)：取(∞,b)上的一點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)的符號序列為P?Q，則從分葉線的示意圖和正、逆映射對稱性可以發(fā)現(xiàn)，正映射分葉線具有正斜率，而逆映射分葉線具有負(fù)斜率，因此所有小于P?的逆映射分葉線，都不可能和大于等于?Q的正映射分葉線相交，從而在符號平面右下角定義了一個［αQ，1］×［0，βP］的矩形禁止區(qū)，所有(∞,b)上的點(diǎn)定義了符號平面右邊的一片基本禁止區(qū)。同樣地，所有(-∞,b)上的點(diǎn)定義了符號平面左邊的一片基本禁止區(qū)。構(gòu)造出基本禁止區(qū)后，允字條件表述為：在任意移位操作下都不落入基本禁止區(qū)的符號序列是允許的。

圖3 臺球映射的符號平面

圖3給出了參數(shù)b=π/5時的符號平面及基本禁止區(qū)，同時還給出了一條60000個點(diǎn)的真實(shí)軌道對應(yīng)的符號序列在符號平面上的軌跡，可以看到這些點(diǎn)都落在基本禁止區(qū)外部。一個明顯的特征是這些軌跡大部分基本重合在一起，表明該參數(shù)下臺球映射只有數(shù)量非常少的允許符號序列或允許運(yùn)動軌道，這遠(yuǎn)少于一般的二維映射如Henon映射情況下符號平面上的允許軌道，這一現(xiàn)象是此系統(tǒng)不具有遍歷性的一個證據(jù)。

符號動力學(xué)分析方法的一個重要的優(yōu)點(diǎn)是可以進(jìn)行定性分析。下面舉一個簡單的例子，以符號動力學(xué)分析判斷系統(tǒng)在參數(shù)b=0下的可能允許或一定禁止的周期軌道。通過計(jì)算，可以得出此參數(shù)下符號空間最小和最大的正向符號序列，也就是相空間中（-∞，1）和（∞，0）分別對應(yīng)的正向符號序列，分別為?LM∞和?RM∞，所以一個允許的符號序列?Q必須滿足

顯然LL和RR的字符串都不滿足此條件，因此周期一軌道L∞和R∞都不是允許的軌道，而M∞滿足以上限制條件，因此是一條可能的周期軌道。對于周期二的軌道，由于?(ML)∞?RM∞，所以這兩個周期軌道都被禁止。這樣只有(RL)∞滿足限制條件，是可能存在的周期軌道。同樣的方法用于周期三軌道，發(fā)現(xiàn)只有(MRL)∞和(MLR)∞是可能存在的周期軌道，繼續(xù)分析更高周期的軌道?？梢园l(fā)現(xiàn)只有形如(M(RL)k)∞的周期軌道是可能存在的?？赡艽嬖诘能壍朗欠駥?shí)際存在還需要進(jìn)一步利用允字條件針對完整的基本禁止區(qū)分析確定，不過這些初步結(jié)果已經(jīng)可以幫助我們理解該系統(tǒng)的一些動力學(xué)行為，例如(M(RL)k)∞表明系統(tǒng)存在一系列的回溯運(yùn)動，它可以任意多次地重復(fù)(RL)的二周期運(yùn)動，這是在數(shù)值模擬過程中最普遍的一種運(yùn)動，是系統(tǒng)非遍歷性的關(guān)鍵機(jī)制。

4 總結(jié)

文章成功構(gòu)建了直角三角形臺球映射的符號動力學(xué)描述，建立了符號序列和相空間中正、逆向映射的分葉線的對應(yīng)，并推導(dǎo)出其各自的排序規(guī)則。為了對符號空間的運(yùn)動給出直觀描述，引入了符號序列的度規(guī)表示，把符號序列空間映射成為符號平面，并建立了符號平面上的基本禁止區(qū)。利用這一符號動力學(xué)框架，可以分析禁止符號序列和可能允許的符號序列，從而定性理解系統(tǒng)的動力學(xué)行為。

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Symbolic Dynamic Analysis of Right Triangular Billiard

HUANG Jun-xiang1,Lu Jun-zhe2,ZHAO Hong1
（1.DepartmentofPhysics，Xiamen University,Xiamen,Fujian，361005,China；2.College ofPhysicsand Electronic Engineering,Xinjiang Normal University,Urumqi，Xinjiang，830054，China）

The symbolic dynamics or the right triangular billiard is studied in this paper.A two-dimensional piecewisemap is constructed to describe the billiard dynamics.Themap has two partition lines which appear as straight lines.The phase space is thus foliated flowing the forward and backwardmaps in a simplemanner.With the help of thebasic forbidden zoneon the symbolic plane,the dynamicsof the system isstudied primarily.

Triangular Billiard;Symbolic dynamics;Ergodicity

O192

A

1008-9659（2016）02-0051-05

2016-02-25

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11335006）；新疆師范大學(xué)本科教學(xué)質(zhì)量工程建設(shè)教學(xué)研究與改革項(xiàng)目（SDJG2016-10）。

黃俊翔（1990-），男，福建漳州人，碩士研究生，主要從事非線性動力學(xué)研究。

*［通訊作者］ 趙 鴻（1964-），男，甘肅永昌人，教授，主要從事非平衡統(tǒng)計(jì)物理研究。