數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

榮李 軍（忻州師范學(xué)院，山西 忻州 034000）

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數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

榮李 軍
（忻州師范學(xué)院，山西 忻州 034000）

摘 要：本文闡述了在解析幾何教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的重要意義，探討了幾種常見的數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何教學(xué)中的滲透與應(yīng)用，旨在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，讓學(xué)生在解答解析幾何題目的過(guò)程中做到學(xué)以致用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；解析幾何；教學(xué)

結(jié)解析幾何的教學(xué)一直以來(lái)都是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)內(nèi)容，它要求學(xué)生在掌握眾多基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，學(xué)會(huì)靈活使用這些基礎(chǔ)知識(shí)，其中，最高層次的無(wú)疑是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握。數(shù)學(xué)思想方法的使用能夠?qū)⑶ё內(nèi)f化的試題化無(wú)形為有形，并能透過(guò)試題中的復(fù)雜信息看到問(wèn)題的本質(zhì)以及解決的思路，但是，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法做到熟練掌握并非易事。為此，如何將數(shù)學(xué)思想方法更好的滲透并應(yīng)用在解析幾何教學(xué)中已成為教育界普遍關(guān)注的重要課題。

1　在解析幾何教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的重要意義

伴隨著數(shù)學(xué)教學(xué)工作的不斷進(jìn)步與發(fā)展，數(shù)學(xué)思想方法不僅是數(shù)學(xué)教育的精髓，還是聯(lián)系各類數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的紐帶這一觀念已深入人心。在解析幾何教學(xué)中，學(xué)生一旦熟練的掌握了數(shù)學(xué)思想方法，將會(huì)在他們的學(xué)習(xí)過(guò)程中如虎添翼，并為日后工作的開展奠定下良好的基礎(chǔ)。

2　常見數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

2.1數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想是解析幾何教學(xué)中的一個(gè)核心思想，它能將解析幾何中涵蓋的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行融會(huì)貫通，并將空間的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行有系統(tǒng)的代數(shù)化和數(shù)量化，從而使幾何問(wèn)題的解答形成一個(gè)完整的鏈條，便于學(xué)生將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，讓學(xué)生在面對(duì)幾何問(wèn)題時(shí)能夠正確無(wú)誤的解答。數(shù)形結(jié)合思想是通過(guò)數(shù)據(jù)與圖形相結(jié)合的一種方法，它能直觀透徹的分析出幾何問(wèn)題的所在，并能將圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量性質(zhì)的問(wèn)題來(lái)解決，或?qū)?shù)量性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題來(lái)處理。

例1：方程lg x=sin x的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

這一例題單從題目中來(lái)看是無(wú)法得出最終答案的，但若使用數(shù)形結(jié)合思想，在同一坐標(biāo)系中畫出y=lg x以及y=sin x的圖象，就能清晰的得出這個(gè)方程的實(shí)根有3個(gè)。（如圖1所示）

圖1　lg x=sin x

2.2化歸思想在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

所謂的化歸思想是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)思想的簡(jiǎn)稱，它能將復(fù)雜的、有待處理的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化方式，歸結(jié)到簡(jiǎn)單的、易處理的或者已經(jīng)能解決的問(wèn)題中去，最終達(dá)到解決原有問(wèn)題的效果。［2］化歸的基本思想也可用流程圖來(lái)表示（如圖2所示），即以A作為有待解決的問(wèn)題，B作為簡(jiǎn)單易處理的問(wèn)題，我們可以通過(guò)某種數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)的轉(zhuǎn)化方法，將有待解決的問(wèn)題A歸結(jié)為簡(jiǎn)單易處理的問(wèn)題 B，并通過(guò)問(wèn)題B的解答與分析，從而解答出問(wèn)題A的結(jié)果。

圖2　化歸思想方法示意圖

例2：一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的截面面積為π，則球的表面積為（）

A.8√2π B.8π C.4√2π D.4π

解：如圖3所示，首先作出球的大圓截面圖，由截面小圓的面積為π

即πr2= π，得r = 1

R = √12+ r2 =√2

則S球= 4πR2= 8π

因此，這道題應(yīng)選B。

圖3　

2.3分類討論思想在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

分類討論思想的使用常在不能對(duì)問(wèn)題所給的對(duì)象進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，需要我們將探討的對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類分析，并結(jié)合每一類探討所得出的結(jié)果，將其進(jìn)行有效匯總，最后匯總出來(lái)的結(jié)果就是該問(wèn)題的解答。簡(jiǎn)而言之，分類討論思想主張“首先化整為零，然后各個(gè)擊破，最后集零為整?！边@樣就可以將一個(gè)捉摸不定的問(wèn)題分解成若干個(gè)小問(wèn)題，從而清晰明了的解答出最后的結(jié)果。

例3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形AB CD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖4所示），將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上。

（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為 k，試寫出折痕所在直線的方程；

（Ⅱ）求折痕的長(zhǎng)的最大值。解（Ⅰ）（1）當(dāng)k＝0時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合， 折痕所在的直線方程y＝1/2。

（2）當(dāng)k ≠0時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為G（a，1） 所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有kOG·k＝-1，1/a·k＝-1→a＝-k，故 G點(diǎn)坐標(biāo)為 G（-k，1），從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段OG的中點(diǎn)）為M（-k/2，1 /2），折痕所在的直線方程y-1/2＝k（x+k/2），即y＝kx+k2/2+k/2。

由（1）（2）得折痕所在的直線方程為：k=0時(shí)，y=1/2；k≠0時(shí)y＝kx+k2/2+k/2

（II）（1）當(dāng)k≠0時(shí)，折痕的長(zhǎng)為2；

（1） 當(dāng) k≠0時(shí)， 折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為N （0，k2/2+1/2），P（-k2/2k+1/2k，0）

∴PNmax＝27/16＜2

所以折痕的長(zhǎng)度的最大值2。

圖4　

3　結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用，不僅有助于數(shù)學(xué)教師教學(xué)工作的開展，還有利于學(xué)生解答幾何問(wèn)題，并對(duì)學(xué)生的知識(shí)素養(yǎng)以及思維能力的培養(yǎng)產(chǎn)生著重要影響。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法在教學(xué)內(nèi)容中的滲透，幫助學(xué)生熟練的掌握數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在處理問(wèn)題時(shí)將數(shù)學(xué)知識(shí)貫徹到解題過(guò)程中，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂質(zhì)量以及學(xué)生解題能力的有效提高。

參考文獻(xiàn)：

［1］馬淑云，王陽(yáng).解析幾何教學(xué)中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法芻議［J］.南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào).2011（03）:87-91.

［2］李菲.談解析幾何中幾種常見的數(shù)學(xué)思想方法［J］.數(shù)理化解題研究（高中版）.2012（12）:40.

（責(zé)任編輯：張時(shí)瑋）

中圖分類號(hào)：G633.65

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.3969/j.issn.1672-7304.2016.01. 147

文章編號(hào)：1672–7304（2016）01–0313–02

作者簡(jiǎn)介：李軍（1981-），男，山西忻州人，研究方向：解析幾何教學(xué)。

Application of mathematical methods in the teaching of analytic geometry

LI Jun
（Xinzhou Teachers College， Xinzhou Shanxi 034000）

Abstract:This paper described the in analytic geometry teaching in the use of the significance of mathematical thought and method， and discusses the several common mathematical thought and method in analytic geometry teaching penetration And application to enhance the students understanding of mathematics thinking method， let the students in solving analytic geometry problem in the process of make use of the knowledge.

Keywords:Mathematical thinking； Analytic geometry； Teaching