基于三次B樣條模型的油水相對滲透率曲線數(shù)值反演方法

王代剛，張環(huán)環(huán)，侯 健，孫靜靜，羅福全，王 偉

(1.中國石油 勘探開發(fā)研究院，北京 100083; 2.中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院，山東 青島 266580; 3.中國石油 冀東油田分公司，河北 唐山 063000)

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基于三次B樣條模型的油水相對滲透率曲線數(shù)值反演方法

王代剛1，張環(huán)環(huán)2，侯 健2，孫靜靜2，羅福全3，王 偉3

(1.中國石油 勘探開發(fā)研究院，北京 100083; 2.中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院，山東 青島 266580; 3.中國石油 冀東油田分公司，河北 唐山 063000)

摘要：引入三次B樣條相滲表征模型，通過半迭代集合卡爾曼濾波(EnKF)算法對見水前、后的生產(chǎn)動態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行自動歷史擬合，提出了一種新的油水相對滲透率曲線數(shù)值反演方法。以某徑向流數(shù)值巖心模型為例，對比分析了三次B樣條模型與冪律模型的優(yōu)劣。結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)的冪律模型，三次B樣條模型可對油水相對滲透率曲線進(jìn)行局部逼近，靈活性更強(qiáng)，反演精度更高。通過對徑向流巖心驅(qū)替實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行自動歷史擬合，反演估算了油水相對滲透率曲線。對驅(qū)替壓差、累產(chǎn)油及累產(chǎn)水等觀測數(shù)據(jù)擬合效果好，相對誤差均小于5%，說明本文方法可靠性強(qiáng)，計算結(jié)果能夠滿足工程實際的需要。

關(guān)鍵詞：三次B樣條模型；油水相對滲透率；數(shù)值反演；EnKF算法

王代剛,張環(huán)環(huán),侯 健,等.基于三次B樣條模型的油水相對滲透率曲線數(shù)值反演方法[J].西安石油大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,31(1)：85-89,95.

WANG Daigang,ZHANG Huanhuan,HOU Jian,et al.A method to implicitly estimate water-oil relative permeability curve using cubic B-spline model[J].Journal of Xi'an Shiyou University (Natural Science Edition),2016,31(1): 85-89,95.

引言

油水相對滲透率曲線是油藏開發(fā)中的一項重要資料[1-4]。目前，相滲曲線主要通過巖心驅(qū)替實驗獲取，計算方法主要包括：以Johnson-Bossler-Naumann(JBN)為主的解析方法和數(shù)值反演方法。與JBN等解析方法相比，應(yīng)用數(shù)值反演方法處理室內(nèi)驅(qū)替實驗數(shù)據(jù)時，既可綜合利用見水前、后動態(tài)數(shù)據(jù)，又考慮了毛細(xì)管壓力、非均質(zhì)性等因素對反演結(jié)果的影響，計算得到的相滲曲線完整且精度較高[5]，因而成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。Chen、Li以及Eydinov等[6-8]學(xué)者從不同角度考慮，提出了一系列相對滲透率曲線數(shù)值反演方法。在數(shù)值反演方法中，相滲表征模型和優(yōu)化算法的選擇是影響相滲反演效果的關(guān)鍵因素。目前，應(yīng)用最廣泛的相滲表征模型是冪律模型，該模型結(jié)構(gòu)簡單，但靈活性差，不能準(zhǔn)確表征礦場實際中的各種曲線形式。此外，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法[9-12]由于需要計算目標(biāo)函數(shù)的梯度，計算過程繁瑣，而不能很好地適用于非線性油藏中的多相滲流問題。

針對目前研究中存在的問題，本文引入三次B樣條相滲表征模型，通過半迭代集合卡爾曼濾波(EnKF)算法對見水前、后的生產(chǎn)動態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行自動歷史擬合，建立一種新的油水相對滲透率曲線數(shù)值反演方法，并利用數(shù)值算例和徑向流驅(qū)替實驗數(shù)據(jù)驗證方法的有效性。

1基本原理

建立油-水相對滲透率曲線數(shù)值反演方法的基本思路如下：①優(yōu)選壓力、產(chǎn)量等動態(tài)數(shù)據(jù)建立目標(biāo)函數(shù)；②選擇計算效率高、收斂速度快的優(yōu)化算法作為自動歷史擬合方法；③確定油水相對滲透率曲線的表征模型；④結(jié)合油藏數(shù)值模擬器，通過自動歷史擬合方法不斷調(diào)整相滲表征模型的控制參量，使動態(tài)數(shù)據(jù)觀測值與模型預(yù)測值的誤差平方和達(dá)到最小，即通過最小化目標(biāo)函數(shù)，尋找反演參數(shù)向量的最優(yōu)解。最終反演油-水相對滲透率曲線。

1.1三次B樣條相滲表征模型

對于油、水相對滲透率曲線，首先定義無因次含水飽和度

(1)

式中：Sw為含水飽和度；Swc為束縛水飽和度；Sor為殘余油飽和度。

將區(qū)間[0,1]均勻劃分為n段，每段間隔Δu=1/n，則SwD,j=jΔu=j/n，相應(yīng)的三次B樣條模型一般形式為

(2)

(3)

此外，通過對數(shù)變換的方法將控制節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為擬控制節(jié)點(diǎn)，以保證相對滲透率曲線的單調(diào)上凸性。對于水相相對滲透率曲線，有

(4)

對于油相相對滲透率曲線，有

(5)

(6)

迭代計算過程中，利用優(yōu)化算法不斷調(diào)整相滲表征模型的控制參數(shù)向量m，每一次迭代結(jié)束后，反求式(4)和式(5)組成的線性方程組獲取控制節(jié)點(diǎn)向量Cw、Co，從而得到符合單調(diào)上凸性要求的典型油水相對滲透率曲線，如圖2所示。

圖2　典型的三次B樣條模型油水相對滲透率曲線Fig.2　Typical oil-water relative permeability curves based on the cubic B-spline model

1.2集合卡爾曼濾波(EnKF)算法

集合卡爾曼濾波(EnKF)算法是新近興起的一種蒙特卡洛方法，已成功應(yīng)用于油藏生產(chǎn)歷史擬合[13-15]，它通過一定數(shù)量的集合更新協(xié)方差矩陣。相比于其他優(yōu)化算法，EnKF方法不需要計算目標(biāo)函數(shù)的梯度，收斂速度快。此外，由于僅需要模型的輸入和輸出數(shù)據(jù)，EnKF方法就能夠很好地與任意油藏數(shù)值模擬器進(jìn)行對接。

定義n時刻的動態(tài)場

(7)

式中：p為油藏壓力向量；Sw為含水飽和度向量。將油藏動態(tài)數(shù)據(jù)觀測向量dobs定義為

從20世紀(jì)50年代到90年代，礦山的充填經(jīng)歷了干式填充、水力填充、膠結(jié)填充以及膏體填充階段。目前，地下硬巖采礦企業(yè)幾乎都采用膏體填充工藝[31]。截至2012年，美國、俄羅斯和德國等發(fā)達(dá)國家已實現(xiàn)尾礦井下全填充。

(8)

式中：n為tn時刻；pi為注入端壓力；Qw為累積水流量；Qo為累積油流量?；跐B流力學(xué)理論，油藏模型、動態(tài)場與生產(chǎn)數(shù)據(jù)之間滿足

(9)

式中，gn為油藏數(shù)值模型，反映了tn時刻動態(tài)數(shù)據(jù)預(yù)測值與油藏模型的關(guān)系。求解式(9)實際是運(yùn)行油藏數(shù)值模擬程序的過程。

(10)

基于EnKF方法隱式求解徑向流油水相對滲透率曲線是一個反問題的求解過程。EnKF方法通過對目標(biāo)函數(shù)

(11)

(12)

為保證更新靜態(tài)與動態(tài)參數(shù)的一致性，Wang等[16-17]人提出了一種半迭代的EnKF方法，即

(13)

2相滲曲線反演方法的驗證與應(yīng)用

2.1徑向流數(shù)值巖心模型

研究過程中，建立一維徑向流數(shù)值巖心模型，采用徑向網(wǎng)格系統(tǒng)，共劃分12×1×1=12個網(wǎng)格，布井方式為中間注、四周采，生產(chǎn)模式與室內(nèi)實驗常用控制條件保持一致，即定液注入、定壓生產(chǎn)。巖心外徑、內(nèi)徑和長度分別為100mm、5mm、80mm，注入速度為0.001 5m3/d，回壓為2.95MPa，孔隙度為0.3，油相、水相黏度分別為1.5mPa·s、1.0mPa·s。模型滲透率場由中心向四周按等差數(shù)列遞減分布，平均滲透率為1 000×10-3μm2，滲透率級差為3。模型輸入的油水相對滲透率曲線如圖3所示，并考慮毛細(xì)管壓力的影響，如圖4所示。

本文分別以冪律模型[2]、三次B樣條模型作為油水相滲表征模型，通過迭代EnKF方法對壓力、產(chǎn)量數(shù)據(jù)進(jìn)行自動歷史擬合， 反演計算得出徑向流條件下的油水相對滲透率曲線，結(jié)果如圖5所示。

圖3　模型輸入的油水相對滲透率曲線Fig.3　Water-oil relative permeability curve used for input of cubic B-spline model

圖4　模型輸入的毛細(xì)管壓力曲線Fig.4　Capillary pressure curve used for input of cubic B-spline model

由圖5分析可知，冪律模型在擬合油水相對滲透率曲線時是整體擬合，而三次B樣條模型可對相滲曲線進(jìn)行局部逼近，靈活性更強(qiáng)，反演精度更高，驗證了本文方法的高效性。

圖5　兩種模型的擬合結(jié)果比較Fig.5　Comparison of the inversion results of production parameters using different relative permeability representation models

2.2徑向流室內(nèi)巖心驅(qū)替實驗

設(shè)計如圖6所示巖心驅(qū)替實驗裝置的同時，開展了徑向流室內(nèi)巖心驅(qū)替實驗，實驗注采方式為中間注、四周采，控制條件為定液注入、定壓產(chǎn)出。圖7反映了天然水濕砂巖油藏取心圓盤狀巖樣中的徑向滲流特征，模擬巖樣的主要參數(shù)如表1所示。在此基礎(chǔ)上用本文提出的方法反演計算得出徑向流油水相對滲透率曲線，結(jié)果如圖8所示。

由圖8分析可知，驅(qū)替壓差、累產(chǎn)油及累產(chǎn)水等觀測數(shù)據(jù)的擬合效果較好，相對誤差分別為4.3%、3.2%和0.7%，這表明本文提出的油水相對滲透率曲線反演計算方法可靠性強(qiáng)，相滲曲線的反演精度較高，能夠滿足工程實際的需要。

圖6　徑向流巖心驅(qū)替實驗裝置Fig.6　Principle diagram of laboratory radial flow core displacement system

圖7　圓盤狀巖樣中的徑向滲流Fig.7　Radial flow in a disk-shape core sample

巖心外徑/m0.08平均滲透率/10-3μm28000巖心內(nèi)徑/m0.003初始含油飽和度0.876巖心厚度/m0.0294束縛水飽和度0.124注入速度/(m3·d-1)0.0028殘余油飽和度0.1837回壓/MPa0.101水相黏度/(mPa·s)1.0巖心初始壓力/MPa0.101油相黏度/(mPa·s)10.0孔隙體積/m35.89×10-5巖石壓縮系數(shù)/MPa-14.50×10-4

圖8　基于本文方法的油-水相對滲透率曲線反演結(jié)果Fig.8　Inversion results of production parameters using relative permeability representation model in this paper

3結(jié)論

(1)引入三次B樣條相滲表征模型，通過半迭代集合卡爾曼濾波(EnKF)算法對見水前、后的壓力和產(chǎn)量數(shù)據(jù)進(jìn)行自動歷史擬合，提出了一種新的油-水兩相相對滲透率曲線數(shù)值反演方法。數(shù)值算例結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)的冪律模型，三次B樣條模型可對相對滲透率曲線進(jìn)行局部逼近，靈活性更強(qiáng)，反演精度更高。

(2)基于本文建立的油水相對滲透率計算方法對徑向流巖心驅(qū)替實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，反演估算了油水相對滲透率曲線。驅(qū)替壓差、累產(chǎn)油及累產(chǎn)水等觀測數(shù)據(jù)擬合效果好，相對誤差均小于5.0%。表明本文提出方法可靠性強(qiáng)，計算結(jié)果能夠滿足工程實際的需要。

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責(zé)任編輯：賀元旦

DOI：10.3969/j.issn.1673-064X.2016.01.014中圖分類號：TE311

文章編號：1673-064X(2016)01-0085-05

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

收稿日期：2015-10-20

基金項目：國家科技重大專項(編號：2011ZX05011)；新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃(編號：NCET-11-0734)

作者簡介：王代剛(1988-)，男，博士研究生，主要從事油氣田開發(fā)工程方面的研究。E-mail:wwwdg2006@126.com

A Method to Implicitly Estimate Water-oil Relative Permeability Curve Using Cubic B-spline Model

WANG Daigang1,ZHANG Huanhuan2,HOU Jian2,SUN Jingjing2,LUO Fuquan3,WANG Wei3

(1.Research Institute of Petroleum Exploration & Development,CNPC,Beijing 100083;2.Faculty of Petroleum Engineering,China University of Petroleum (East China),Qingdao 266580,Shandong,China;3.Jidong Oilfield Company,CNPC,Tangshan 063000,Hebei,China)

Abstract:With regard to the problems existing in the current water-oil relative permeability curve calculation methods,the cubic B-spline model is introduced to represent the water-oil relative permeability curve,and the optimization of production performance before and after water breakthrough is performed using an iterative ensemble Kalman filter (EnKF)algorithm.Finally,a novel estimation method for water-oil relative permeability curve is established.A test based on the basic data of a radial numerical core experiment is performed to verify the effectness of the proposed method.The results show that,compared with the conventional power law model,the cubic B-spline model is higher flexiblity and inversion accuracy,and it has the advantage of local approximation.In addition,the proposed method is utilized for the history matching of the dynamic data of the radial core displacement experiment to estimate the water-oil relative permeability curve.It is indicated that,the fitting effect of the dynamic data including injection pressure,cumulative oil production and cumulative water production is well,all the relative error is less than 5.0%,which shows that the proposed method is reliable and can meet the engineering requirement.

Key words:cubic B-spline model;water-oil relative permeability;numerical inversion;EnKF algorithm