一種改進的非參數(shù)功率譜估計方法

付 敏，李閏閏（武漢工程大學 理學院，湖北 武漢 430074）

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一種改進的非參數(shù)功率譜估計方法

付 敏，李閏閏
（武漢工程大學 理學院，湖北 武漢 430074）

摘 要：針對功率譜估計方法中的基于離散傅里葉變換的周期圖法，提出了改進的非參數(shù)化方法中的分段平均周期圖法.在信號處理過程中給出宏觀功率譜的分析結(jié)果，并設計實驗進行測試，給出測試情況以及對測試結(jié)果的分析.對比經(jīng)典譜估計方法中的自相關(guān)函數(shù)估計方法和快速傅立葉變化設計的功率譜分析，改進的非參數(shù)化方法更為合理有效.

關(guān)鍵詞：周期圖法；功率譜估計

針對功率譜估計方法中的基于離散傅里葉變換的周期圖法，提出了改進的非參數(shù)化方法中的分段平均周期圖法.在信號處理過程中給出宏觀功率譜的分析結(jié)果，并設計實驗進行測試，給出測試情況以及對測試結(jié)果的分析.對比經(jīng)典譜估計方法中的自相關(guān)函數(shù)估計方法和快速傅立葉變化設計的功率譜分析，改進的非參數(shù)化方法更為合理有效.

快速傅里葉變換算法在信號領(lǐng)域中得到了廣泛的應用，包括譜分析、線性濾波、相關(guān)計算等.針對復序列進行頻譜分析，得到幅值和相位.

在實際的功率譜的研究中，當幅值的改變不大的時，相位譜的變化卻是十分明顯的，但是相位的改變并未有十分重大的改變，利用快速傅里葉變換將功率譜表示出來具有實際的重要作用，可以描繪一個信號的實際幅值與相位譜變化.當然在操作過程中由于采樣頻率的限制會將直接影響信號描述圖像的真實程度，但是還是夠?qū)⑿盘柕淖兓厔菝枥L出來.

1 自相關(guān)函數(shù)估計法

自相關(guān)函數(shù)估計法是一種經(jīng)典的功率譜估計方法，由Blackman和Turkey于1958年提出，故稱BT法.

由于x（n）只有N個觀測值，因此對于每一個固定延遲m,可以利用的數(shù)據(jù)只有（N-|m|-1）個，且在［0,N-1］范圍內(nèi)，所以實際計算?xx（m）為

考慮乘積項的長度，自相關(guān)序列估計為

式中，m取絕對值是因為?xx（m）=?xx（-m），由于信號的功率譜與相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換關(guān)系，因此，信號的功率譜可以先通過對自相關(guān)函數(shù)估計，然后按照公式做傅里葉變化得到功率譜估計值.

2 周期圖法

周期圖法是直接將離散信號x（n）進行傅里葉變換來求取功率譜的估計.設x（n）為有限長隨機信號的序列，其功率譜估計可表示為

式中,

即XN（w）是有限長序列x（n）的傅里葉變化.而且XN（w）是成周期性的.直接用XN（w）的模的平方除以N求得功率譜的估計稱為周期圖，用IN（w）表示為

如果x（n）的N個值為x（0）,x（1）,…x（N-1），則通過快速傅里葉變換可直接求得XN（ejw）,再求得（w）.這種方法的主要優(yōu)點是計算簡便，它可以直接用FFT算法從x（n）得到XN（ejw），從而得到（w）.

利用FFT算法求信號x（t）=sin（2πf1t）+cos（2πf2t）+u（t）的功率譜，其中，f1=40Hz,f2=80Hz,u（t）為白噪聲，采樣頻率fs=1kHz,信號長度去256和1024.

圖2-1 功率譜分析

周期圖當N→∞時是無偏的，但周期圖不滿足于一致估計的條件，因此，周期圖不是對功率譜最好的估計.對于無限能量的隨機序列，其傅里葉變化是不存在的，因此在N→∞的極限情況下是不可能使用的.所以，也就不能期望當N→∞時，IN（w）會等于他的真值（w）而滿足一致估計的條件.

3 改進的非參數(shù)化方法

為了使周期圖滿足一致估計的條件，必須將周期圖進行平滑處理.而其主要的平滑方法有兩種方式，一種是先將數(shù)據(jù)進行分段，然后再求各段周期圖的平均值.這種方法又稱為Bartkett的方法.第二種是要選擇合適的窗函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)進行加權(quán)平均來加快收斂的速度.而 Welch和Bartkett的方法進行可以改進，提出用FFT計算的具體方法.

圖3-1 改進的非參數(shù)方法處理結(jié)果

在實際中，功率譜的密度的真值是未知的，但功率譜的窗函數(shù)和功率譜密度的一些信息往往是預先知道的.可以通過改變M和L以及利用預先已知的條件，可以更好的選擇分段和窗函數(shù).

對信號x（n）進行重疊的分段是平均周期圖法.例如按重疊分段，前一段信號和后一段的信號相互重疊一半，這樣可以對每一小段的信號序列進行功率譜估計，再取平均值作為整個序列x（n）的功率譜估計，重疊分段的估計曲線一般會更平滑.

4 結(jié)論

先用了快速傅立葉變化設計的功率譜的原理進行了理論設計和結(jié)果預測，然后應用實際信號進場處理.周期圖有個缺點就是頻率的分辨率低，周期圖發(fā)在計算中，把觀察到的有限長的N個數(shù)據(jù)以外的數(shù)據(jù)都認為是零.這顯然是與事實不相符的，從而會導致結(jié)果的失真.所以必須要對周期圖進行平滑處理，并在改進的非參數(shù)頻譜估計方法中應用平均周期圖的方法，試驗結(jié)果很理想.

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中圖分類號：TP309.7

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）05-0017-02

收稿日期：2016-03-05