論APOS視角下的概念性變式教學(xué)

艾爾肯·吾買爾，王守哲

(喀什大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，新疆 喀什 844008)

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論APOS視角下的概念性變式教學(xué)

艾爾肯·吾買爾，王守哲

(喀什大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，新疆 喀什 844008)

摘要：APOS理論是個(gè)體進(jìn)行概念學(xué)習(xí)時(shí)的核心學(xué)習(xí)理論。它由活動、過程、對象和圖式四個(gè)連續(xù)的辯證階段構(gòu)成，其本身具有完整性、活動性、發(fā)展性、和特殊性四大特征。概念性變式教學(xué)著眼于概念形成以后的深度學(xué)習(xí)，使學(xué)生通過對概念多角度、全方面、廣層次的理解，從而深層把握概念的本質(zhì)。APOS理論與概念性變式教學(xué)之間的適恰融合，在充分借助其自身理論優(yōu)勢的條件下，則能有效促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念性變式的掌握。

關(guān)鍵詞：APOS理論；數(shù)學(xué)概念；概念性變式；教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是“人腦對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式?！盵1]它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“細(xì)胞”，借助于這一“細(xì)胞”，便可將直觀感受與抽象思維有機(jī)結(jié)合?？梢哉f，數(shù)學(xué)概念就是打開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之門的鑰匙。但要掌握這把鑰匙卻也并非易事，它必須要經(jīng)歷一個(gè)由淺入深的深層次的理解與轉(zhuǎn)換的抽象過程，而這也成為了概念學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。APOS理論，作為一種活躍于我國數(shù)學(xué)教學(xué)中的國外理論，盡管在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)應(yīng)用，而對于概念性變式教學(xué)中教學(xué)運(yùn)用的探討相對較少。基于此，筆者以期通過本文的研究，能為當(dāng)前數(shù)學(xué)概念的深入教學(xué)梳理出一條適恰的路徑。

1APOS理論

APOS理論是20世紀(jì)80年代美國學(xué)者杜賓斯基(Dubinsky)等人在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中發(fā)展的一種建構(gòu)主義理論。[2]它是他們試圖對皮亞杰(J.Piaget)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“反省抽象(Reflective Abstraction)”理論進(jìn)行拓展的一種嘗試。[3]這種理論是一種以構(gòu)建主義為背景、集中于特定學(xué)習(xí)內(nèi)容——數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程的學(xué)習(xí)理論。這一理論的提出，為數(shù)學(xué)概念的有效并深入學(xué)習(xí)提供了一種“范例”。

1.1APOS理論建構(gòu)的四階段

杜賓斯基等人認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念要進(jìn)行心理構(gòu)建，而且這一心理構(gòu)建過程要經(jīng)歷如下四個(gè)階段：第一個(gè)階段是活動(Action)階段。通過教師精心安排的“教學(xué)活動”，讓學(xué)生親身體驗(yàn)并直觀感受規(guī)則與概念之間的關(guān)系。其中“教學(xué)活動”，既涉及動手操作的活動，也包括思維活動。在學(xué)生理解概念的過程中，活動階段雖是一個(gè)鋪墊的階段，但卻是一個(gè)必要條件。第二個(gè)階段是過程(Process)階段。此階段中，學(xué)生對所經(jīng)歷的活動進(jìn)行思考，并通過自身的思維概括生成某種經(jīng)驗(yàn)，也即是經(jīng)驗(yàn)的心理建構(gòu)過程。第三個(gè)階段是對象(Objecet)階段。這一階段是通過之前的鋪墊，個(gè)體已然可以認(rèn)識到了概念的本質(zhì)，并把自己所把握到的經(jīng)驗(yàn)實(shí)體化，賦予這些經(jīng)驗(yàn)具象化的定義及符號，使其得以精確。此時(shí)，這些實(shí)體化的符號則成為了思維中的具體的對象，在以后的學(xué)習(xí)中便可以此為學(xué)習(xí)對象進(jìn)行新的活動。第四個(gè)階段是圖式(Scheme)階段。這一階段中將反映概念的特征、定義、符號以及獲得知識的過程一并容納其中，并在不斷地學(xué)習(xí)完善和長期的積累后，會與其它已經(jīng)習(xí)得的概念圖式進(jìn)聯(lián)系、融合，最終形成一個(gè)具有整體意義的知識結(jié)構(gòu)，即綜合性的心理圖式。

1.2APOS理論的特征

如上四階段，杜賓斯基曾指出它們是有層次、有順序的，但這種層次和順序不是說任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是按由上到下的順序經(jīng)歷著四個(gè)階段，是一種線性關(guān)系。在某些復(fù)雜概念建構(gòu)時(shí)，這四個(gè)階段可能會顛倒其中某個(gè)階段，甚至還會出現(xiàn)反復(fù)的情況。也即是各階段之間存在著一種辯證關(guān)系。從這種辯證關(guān)系出發(fā)，四階段之間存在著較為顯著的四個(gè)特征：①完整性。APOS理論下學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程，不僅表明了概念構(gòu)造的層次性，更顯示出每一個(gè)階段都有其存在的特殊意義，四個(gè)階段缺一不可。②活動性。數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的核心是抽象思維活動，但這一核心的起點(diǎn)確是數(shù)學(xué)的直觀體驗(yàn)活動，在教師的引導(dǎo)啟發(fā)下通過與個(gè)體自身的經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，從而引起學(xué)生的內(nèi)在思維活動。③發(fā)展性。學(xué)生初步習(xí)得概念后，學(xué)習(xí)的過程中便可獲得更多的經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建起與其它概念相連的圖式，從而推進(jìn)整體圖式地不斷地完善和發(fā)展。④特殊性。APOS理論強(qiáng)調(diào)個(gè)體對數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建，個(gè)體所學(xué)的數(shù)學(xué)概念并非是對既定數(shù)學(xué)知識的單純理解和接受，而是對這些知識內(nèi)容過程的再體驗(yàn)和再創(chuàng)造，在這個(gè)過程中，不同的個(gè)體則會構(gòu)建出屬于自己的獨(dú)一無二圖式。這四個(gè)特征一方面突出了概念教學(xué)所具有的動態(tài)生成性，個(gè)體所建構(gòu)的意義就在“活動”與“發(fā)展”的動態(tài)中生成，另一方面也突出了概念教學(xué)中自身完整的體系性，而有別于一般意義的過程教學(xué)。

2APOS理論下的概念性變式教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)的基本特點(diǎn)表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)概念和原理理解的多角度性以及推進(jìn)數(shù)學(xué)活動的廣層次性。這一特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)變式中表現(xiàn)為兩種形態(tài)：過程性變式和概念性變式[4]。過程性變式，雖注重過程，但其目標(biāo)指向依舊是問題解決，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中逐漸衍生出多種變式；概念性變式教學(xué)，在個(gè)體進(jìn)行概念建構(gòu)以后，并不直接進(jìn)行問題解決，而是從理解的范疇出發(fā)，通過學(xué)生多角度、多方面、廣層次的概念理解，從而把握概念的本質(zhì)。兩種變式學(xué)習(xí)過程相較而言，后一種學(xué)習(xí)過程更具基礎(chǔ)性和本質(zhì)性。

2.1APOS理論對概念性變式教學(xué)的解析

(1)活動階段與情景創(chuàng)設(shè)。變式教學(xué)，并不意味著，在教學(xué)階段之初就進(jìn)行抽象的概念轉(zhuǎn)換活動，而是首先要借助于直觀的情景活動進(jìn)行直覺體驗(yàn)并思考，因?yàn)椤皩W(xué)生對知識真正意義的理解與建構(gòu)是建立在親歷操作的基礎(chǔ)上的”[5]。例如，在對y=kx+b(k ≠ 0，b∈R)這個(gè)一次函數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)，可以先從簡單函數(shù)y = 2x開始學(xué)起，通過具體的賦值，讓學(xué)生直觀感受并思考規(guī)則與概念的關(guān)系，并為接下來的概念學(xué)習(xí)做好鋪墊。如圖1，就通過具體賦值的學(xué)習(xí)形式，讓學(xué)生由直觀的具體數(shù)字計(jì)算逐步過渡到對抽象函數(shù)關(guān)系的有效把握?？梢哉f，借助于直觀的活動以創(chuàng)設(shè)適恰的概念學(xué)習(xí)的背景，則能為個(gè)體后續(xù)的有效學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

圖1一次函數(shù)賦值學(xué)習(xí)過程剖析圖

(2)過程階段與主動建構(gòu)。學(xué)生通過對數(shù)字組的直觀觀察、反復(fù)思考，以找出這些看似雜亂數(shù)字之間的對應(yīng)關(guān)系，經(jīng)過若干項(xiàng)對應(yīng)關(guān)系的“試誤”活動，便可使學(xué)生在頭腦中逐漸抽象和概括出這些數(shù)組間必然的對應(yīng)關(guān)系，從而把握住這些數(shù)組之間的本質(zhì)。面對諸如圖一中的具體的一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到在這個(gè)函數(shù)表達(dá)式中，每取一個(gè)不同的數(shù)就會對應(yīng)出不同的數(shù)值，通過對函數(shù)本身及其運(yùn)算規(guī)則的把握就可以實(shí)現(xiàn)這種對應(yīng)，而不再需要具體數(shù)值運(yùn)算加以支撐時(shí)，個(gè)體也就實(shí)現(xiàn)了這種對過程階段的主動構(gòu)建。

(3)對象與圖式階段的顯性化理解。在對象階段中，由于有了前兩個(gè)階段對一次函數(shù)理解學(xué)習(xí)的所獲取的經(jīng)驗(yàn)，所以此階段就可以自然而然地將y=kx+b一次函數(shù)看作一個(gè)整體的存在形式，并賦予其具體且形象的定義和符號，從而就使得我們?nèi)菀自谡w上把握此函數(shù)概念的本質(zhì)。例如算式y(tǒng)1=2x+1、y2=3x+2。在要求兩個(gè)函數(shù)做加減乘除運(yùn)算時(shí)，都是將函數(shù)一、函數(shù)二分別作為兩個(gè)獨(dú)立且完整的對象來處理的。進(jìn)入圖式階段后，作為學(xué)習(xí)對象的一次函數(shù)的概念，會在學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中以節(jié)點(diǎn)的形式存在，并在與其它的節(jié)點(diǎn)相互聯(lián)系后，形成一種綜合的心理圖式，從而建立起一種內(nèi)在的穩(wěn)定的聯(lián)系。可以說，這一圖式實(shí)際上融合了一次函數(shù)中抽象的過程、實(shí)例性質(zhì)、完整的定義等內(nèi)容，圖式的形成也意味著知識已經(jīng)組合成了一個(gè)完整的體系，它在數(shù)學(xué)認(rèn)知體系中占有重要的地位。

2.2APOS理論指導(dǎo)下的概念性變式教學(xué)

數(shù)學(xué)概念具有抽象性的特點(diǎn)，但在概念教學(xué)中，卻離不開將“直接或具體的變式引入概念”[6]的做法，即對活動階段和過程階段的引入與過渡。在采用這一教學(xué)策略時(shí)，應(yīng)將注意力由集中于相應(yīng)的計(jì)算過程而轉(zhuǎn)向?qū)瘮?shù)本身的關(guān)注。要允許依靠學(xué)生直觀的經(jīng)驗(yàn)學(xué)作為橋梁，搭建起理性概念和概念性概念的通路。在APOS理論中，其初始活動階段強(qiáng)調(diào)的親身試驗(yàn)和經(jīng)歷，以及后續(xù)階段所依靠的抽象思維形式，都完整地蘊(yùn)藏于概念學(xué)習(xí)的整個(gè)過程之中，同時(shí)，也唯有如此完整的學(xué)習(xí)，也才是完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)概念的過程。

由上述APOS的理論可知，學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷構(gòu)建的過程，這個(gè)過程由具體而抽象，升華和反思一并融于其中。而其中產(chǎn)生這一疑惑的主要原因則源于他們對一次函數(shù)的理解還停留在視覺化的前兩個(gè)階段。為此，在學(xué)習(xí)中，學(xué)生只有不斷地構(gòu)建對一次函數(shù)的理解，并與自己頭腦中原有的相關(guān)概念的圖式進(jìn)行整合、精致，才能形成完整的一次函數(shù)的概念。同時(shí)，這也是一個(gè)循序漸進(jìn)的對一次函數(shù)概念的不斷完善的過程，而這也充分體現(xiàn)了APOS理論的效用。

另外，為了使學(xué)生能多角度地理解數(shù)學(xué)概念，我們還需從另一個(gè)角度來對非概念性變式的概念的外延予以深入理解。如學(xué)生在判斷y2=2x+1；y=1/(2x)+1 ；y+4x=4x+1時(shí)，會對不是一次函數(shù)的試子感到困惑，而這其中的原因固然有他們對于一次函數(shù)的理解依舊處于視覺化的階段，在抽象思維層次沒有質(zhì)性飛越的限制。但對函數(shù)外延的有效理解也是其中很重要的內(nèi)容之一?？梢哉f，以APOS理論理解與解析概念性變式的方式，不但涉及到了對其內(nèi)在知識體系的完整理解，更涉及到了對概念的外延的清晰把握，最終使學(xué)生可以在更深層次上理解和把握數(shù)學(xué)概念及其邊界。

3APOS理論有效應(yīng)用于概念性變式教學(xué)的條件

3.1教學(xué)四階段需連續(xù)并活用

“活動”“過程”“對象”“圖式”這四個(gè)階段在概念學(xué)習(xí)中是一個(gè)連續(xù)的過程，學(xué)生跳過其中任何一個(gè)階段而進(jìn)入下一個(gè)階段的學(xué)習(xí)，都難以達(dá)成對概念有效學(xué)習(xí)的目的。要么過于抽象難懂，要么缺乏學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的參與，又或者是難以將所學(xué)運(yùn)用于生活實(shí)際。而當(dāng)經(jīng)歷了“活動”、“過程”、“對象”、“圖式”四個(gè)階段后，學(xué)生就會在頭腦中逐步形成完整的概念的過程。可以說，四個(gè)階段具有極強(qiáng)的邏輯關(guān)聯(lián)性，是一個(gè)完整的有機(jī)整體。但也需要注意的是，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，一方面需要與各階段的設(shè)計(jì)協(xié)調(diào)統(tǒng)一。另一方面，也需要在協(xié)調(diào)統(tǒng)一的過程中明確：四階段流程并不是每節(jié)課堂都要必然要完成的任務(wù)，它們也可以分散到幾節(jié)課中共同完成。

APOS是一個(gè)基于學(xué)生主動探究以逐步形成概念過程的理論，除了需要重視四階段的連續(xù)性外，還要緊密關(guān)注其“活用”。而這也對教師提出了更高要求?？此茖W(xué)生是探究的主體，一切活動在圍繞教師展開，但畢竟教師是整個(gè)活動的引導(dǎo)者，缺乏了教師這一引導(dǎo)要素，整個(gè)教學(xué)活動可能就不復(fù)存在了。而這也意味著教師要在課前要付出更多的時(shí)間和精力。一方面，要求教師在課前教學(xué)設(shè)計(jì)中盡可能地預(yù)演課堂上的種種可能、預(yù)想學(xué)生在概念形成的各個(gè)階段可能出現(xiàn)的情況，以便在課堂上順利指導(dǎo)學(xué)生完成探究過程。另一方面，教師還要聯(lián)系教學(xué)實(shí)際，對概念形成的各個(gè)階段的銜接進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，以幫助學(xué)生用最短的時(shí)間、最易理解的方式完成新概念的構(gòu)建過程，形成概念的優(yōu)化認(rèn)知。

3.2教師在引導(dǎo)活動情景中把握“度”

在學(xué)生概念性變式的掌握進(jìn)程中，情景活動固然為圖式的形成提供了認(rèn)識基礎(chǔ)，但是這種認(rèn)識基礎(chǔ)只是一種表面認(rèn)識，它還需要進(jìn)一步深化，即在教師的引導(dǎo)下讓學(xué)生可以從雜亂的情境中抽象出概念的本質(zhì)，從而引起學(xué)生的積極思考。這就牽涉到了概念學(xué)習(xí)“度”的問題。一方面，要充分重視教師引導(dǎo)的重要作用。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的詳盡掌握，是從看似無意義的教學(xué)活動情景向意義世界的建構(gòu)，而這種建構(gòu)活動則極大地依賴于教師的引導(dǎo)作用，如果忽略了教師引導(dǎo)這一因素，學(xué)生很可能依舊在無意義的情景世界中徘徊，而無所收獲。另一方面，教師要對活動階段有一個(gè)整體“度”的把握。情景活動引入的目的恰是為了能夠讓學(xué)生運(yùn)用抽象思維以把握概念的本質(zhì)而做的鋪墊。所以情境活動的創(chuàng)設(shè)不能有太多的停留，造成活動階段過長，偏離了概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)，也不可蜻蜓點(diǎn)水一般，思維、活動沒有很好地結(jié)合就結(jié)束了這一階段。這就要求教師有較高的駕馭課堂的能力。

3.3認(rèn)識過程中蘊(yùn)含著豐富的價(jià)值意義

在活動階段，學(xué)生的認(rèn)識依舊還停留在具體、直觀、視覺化的初始階段，而從過程階段開始，觀察、分析和比較等內(nèi)外的心智活動則一同開啟，并對活動和操作中的共有成分進(jìn)行思考，從而生發(fā)出意義，隨后通過對這種過程的意義性內(nèi)容進(jìn)行擴(kuò)充、調(diào)整并納入自己原有的概念體系中。通常而言，在現(xiàn)實(shí)的問題情景中要抽離出概念的本質(zhì)是需要一個(gè)過程的，這就要求學(xué)生對新概念的理解由感性而上升至抽象思維層面，即經(jīng)過自身的思維概括及內(nèi)化以達(dá)至對過程意義的理解。

3.4后兩個(gè)階段具有循環(huán)促生性

在對象階段，通過對前兩個(gè)階段的鋪墊讓學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)中能夠逐步抽象概括出概念的本質(zhì)，并賦予這些經(jīng)驗(yàn)性內(nèi)容以具象化的定義和符號，使之成為思維中具體的對象。而到了圖式階段，它則是對前三個(gè)階段在總體上的把握和升華，個(gè)體對概念本質(zhì)的理解有了更為深層的認(rèn)識。但這并不意味著個(gè)體對概念圖式的理解已經(jīng)固定。它還會處于不斷地變化和發(fā)展之中的。在構(gòu)建過程中，對象和圖式這兩個(gè)階段還會以循環(huán)上升的形式交替進(jìn)行，最終促使概念圖式的不斷豐富與創(chuàng)新。

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責(zé)任編輯：劉琳

On Conceptual Change Teaching from the Perspective of APOS

AIEr-ken·WU Mai-er, WANG Shouzhe

(College of Educational Science, Kashgar University, Kashgar 844008, China)

Abstract：APOS Theory is a core learning theory in individual’s concept learning, which consists of four continuous phases such as action, process, object and schema, having four characteristics of integrity, activity, development and particularity. The conceptual change teaching focuses on deep learning after the formation of the concept, making students grasp the essence of the concept through understanding from multiple perspectives, all aspects and levels. The proper integration between APOS Theory and the conceptual change teaching can effectively promote students to master the conceptual change of mathematics with the aid of the advantages of its own theory.

Keywords：APOS Theory; mathematical concept; conceptual change; teaching

收稿日期：2016-01-06

基金項(xiàng)目：教育部人文社會科學(xué)研究新疆項(xiàng)目(13XJJC880003)

作者簡介：艾爾肯·吾買爾(1959-)，男，維吾爾族，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)與教學(xué)論研究。

中圖分類號：G642

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1009-3907(2016)06-0094-04