w-平坦模的一個(gè)注記

邢世奇， 張　勇

(成都大學(xué) 師范學(xué)院， 四川 成都　610106)

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w-平坦模的一個(gè)注記

邢世奇， 張勇

(成都大學(xué) 師范學(xué)院， 四川 成都610106)

摘要：設(shè)M是R-模.如果對(duì)環(huán)R的任何極大w-理想p，Mp是自由模，并且rank(Mp)為一個(gè)固定的常數(shù)k,那么，稱M有w-常秩k.w-常秩的w-有限型的w-平坦模是w-投射模.

關(guān)鍵詞：w-投射模；w-平坦模；w-常秩

0引言

本研究約定所有的環(huán)R都是交換環(huán)，所有的模都是酉模.設(shè)M是R-模.按照文獻(xiàn)[1]，如果對(duì)環(huán)R的任何素理想p，都有Mp是自由Rp-模，并且rank(Mp)是一個(gè)固定的常數(shù)m,那么稱R-模M有常秩.眾所周知，任何投射模是平坦模；反之，如果M是有常秩的平坦模，那么M是投射模[2].本研究證明具有w-常秩的w-有限型的w-平坦模是w-投射模.

下面利用文獻(xiàn)[3]回顧w-模的一些相關(guān)背景.

設(shè)J是環(huán)R的理想.如果自然同態(tài)φ∶R→HomR(J,R)是同構(gòu)，那么，稱J是環(huán)R的Glaz-Vasconcelos理想，簡(jiǎn)稱GV-理想.GV(R)記為環(huán)R的GV-理想的集合.

設(shè)M是R-模.令，

TorGV(M)={x∈M|存在J∈GV(R)使得

Jx=0}.

如果M=TorGV(M),那么稱M是GV-撓模.如果對(duì)任何J∈GV(R)，x∈M且Jx=0總是可以推出x=0,那么稱M是GV-無撓模.對(duì)任何GV-無撓模，其w-包絡(luò)為，

Mw={x∈E(M)|Jx?M,j∈GV(R)}

1主要結(jié)果

設(shè)M是R-模，如果對(duì)環(huán)R的任何極大w-理想p,Mp是自由模，并且rank(Mp)為一個(gè)固定的常數(shù)k,那么，稱M有w-常秩k.若M有常秩，則M顯然有w-常秩.下面的例子表明反之未必成立.

定理1設(shè)M是w-投射的R-模.如果M有w-常秩k，那么M是w-有限現(xiàn)型的.

證明由于M具有w-常秩k,故對(duì)R的任何極大w-理想m,Mm都是秩為k的自由Rm-模.對(duì)于給定R的任何極大w-理想m,可設(shè)，

Mm?Rme1+…+Rmek=F

其中，{ei}是自由模F的基底.

本研究擬用外冪的方法證明本研究的主要結(jié)果.

設(shè)M是R-模.記，

利用文獻(xiàn)[1，7]中外冪的概念：設(shè)M、H是R-模，n是正整數(shù)，f∶xnM→H的交錯(cuò)多重線性映射.如果對(duì)任何R-模X，與任何交錯(cuò)多重線性映射g∶xnM→X都存在唯一的模同態(tài)h∶H→X使得下圖可換，

定理2設(shè)M是w-有限型的R-模.若M具有w-常秩k,則M是w-有限表現(xiàn)型的.

由此，可以獲得w-平坦模與w-投射模的重要關(guān)系.

推論1設(shè)M是w-有限型的w-平坦的R-模.如果M具有w-常秩，那么M是w-投射模.

證明由定理2可知M是有限表現(xiàn)型R-模.由于M具有w-常秩，故對(duì)R的任何極大w-理想m都有Mm是自由的w-模.從而由文獻(xiàn)[4]表明M是w-投射模.

推論2設(shè)R是整環(huán).如果M是有限生成的平坦R-模，則M是投射模.

證明因?yàn)镽是整環(huán)，故M有常秩.從而由定理2可知M是有限表現(xiàn)型的，當(dāng)然是有限型的.因此，由文獻(xiàn)[1，8]表明M是投射模.

參考文獻(xiàn)：

[1]Wang F G.Commutativeringsandthetheoryofstar-operations[M].Beijing:Sicence Press,2006.

[2]Vasconcelos W V.Onfinitelygeneratedflatmodules[J].Trans Amer Math Soc,1969，138(2):505-512.

[3]Yin H Y,Wang X S,Zhu Y H,et al.w-modulesovercommutativerings[J].J Korean Math Soc,2011，48(1):146-151.

[4]Wang F G,Kim H.Twogeneralizationsofprojectivemodulesandtheirapplications[J].J Pure Appl Algebra,2015，219(6):2099-2123.

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[6]Kim H,Wang F G.OnLCM-stablemodules[J].J Algebra Appl,2014，13(4):1350133-1350150.

[7]Glaz S.Commutativecoherentrings[M].Berlin:Spriger-Verlag,1989.

[8]Zafrullah M.Flatnessandivertibilityofanideal[J].Comm Algebra,1990，18(7):2151-2158.

Note onw-Flat Module

XINShiqi，ZHANGYong

(Teachers School, Chengdu University, Chengdu 610106, China)

Abstract：Let M be a R-module.M is said to have w-constant k,if for any maximal w-ideal p of R,Mp is a free module of rank k.In this note,we prove that every w-flat module of w-finite type with w-constant rank is a w-projective module.

Key words:w-flat module;w-projective module;w-constant rank

文章編號(hào)：1004-5422(2016)02-0137-03

收稿日期：2016-05-15.

基金項(xiàng)目：成都大學(xué)人才引進(jìn)計(jì)劃(2081915061)資助項(xiàng)目.

作者簡(jiǎn)介：邢世奇(1983 — )， 男， 博士， 特聘副研究員， 從事交換代數(shù)與同調(diào)代數(shù)研究.

中圖分類號(hào)：O153.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A