低維約當(dāng)D-雙代數(shù)的性質(zhì)*

杜麗華，王　紅

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連116029)

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低維約當(dāng)D-雙代數(shù)的性質(zhì)*

杜麗華，王紅

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連116029)

摘要:主要研究低維約當(dāng)D-雙代數(shù)及其基本性質(zhì),它們是在約當(dāng)代數(shù)的基礎(chǔ)上得到的.首先找到上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的構(gòu)造方法以及低維約當(dāng)代數(shù)的分類,計(jì)算了這類約當(dāng)代數(shù)上Yang-Baxter方程的張量形式的解.然后利用約當(dāng)代數(shù)的配對(duì)可以得到每一類約當(dāng)代數(shù)上對(duì)應(yīng)的上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,從而得到了低維上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的分類.

關(guān)鍵詞:約當(dāng)代數(shù)；約當(dāng)D-雙代數(shù)；約當(dāng)Yang-Baxter方程

上世紀(jì)30年代,物理學(xué)家P.Jordan在研究量子力學(xué)時(shí)給出了約當(dāng)代數(shù)的概念,從此約當(dāng)代數(shù)走上了歷史舞臺(tái).隨著科技的發(fā)展,約當(dāng)代數(shù)很快成為一個(gè)獨(dú)立的代數(shù)體系并滲透到其他領(lǐng)域,除了在數(shù)學(xué)中有許多應(yīng)用,在其他方面的應(yīng)用也有很多,例如量子力學(xué)、量子群等等.本文主要討論它的基本問(wèn)題,例如約當(dāng)D-雙代數(shù).本文利用約當(dāng)Yang-Baxter方程,在經(jīng)典Yang-Baxter方程的基礎(chǔ)上,對(duì)于每一類約當(dāng)代數(shù)找到約當(dāng)Yang-Baxter方程的一個(gè)反對(duì)稱解,在約當(dāng)D-雙代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,得到2、4、6維上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的分類.

1基礎(chǔ)知識(shí)

定義1設(shè)J是域F上的線性空間,J中定義乘法運(yùn)算:(x,y)→x?y,若滿足下面的等式

x?y=y?x

(1)

((x?x)?y)?x=(x?x)?(y?x)

(2)

(?x,y∈J)，則稱J是域F上的一個(gè)約當(dāng)代數(shù).

定義2(J,?)是一個(gè)約當(dāng)代數(shù),V是域F上的線性空間,如果線性映射ρ:J→gl(V)滿足下面的方程

[ρ(x),ρ(y?z)]+[ρ(y),ρ(z?x)]+

[ρ(z),ρ(x?y)]=0

ρ(x)ρ(y)ρ(z)+ρ(z)ρ(y)ρ(x)+ρ((x?z)?y)=

ρ(x)ρ(y?z)+ρ(y)ρ(z?x)+ρ(z)ρ(x?y)

其中，x,y,z,u∈J,[ρ(x),ρ(y)]=ρ(x)ρ(y)-ρ(y)ρ(x).則ρ是J的一個(gè)表示或一個(gè)模,記為(ρ,V)或ρ.

定義4設(shè)(J,?)是一個(gè)約當(dāng)代數(shù),如果線性映射Δ:J→J?J滿足下面三個(gè)條件:

(1)Δ是對(duì)稱的(或交換的),即Δ(x)=σ(Δ(x)),?x∈J;

(2)Δ*:J*?J*→J*定義了線性空間J*上的一個(gè)約當(dāng)代數(shù)結(jié)構(gòu);

(3)Δ滿足,

Δ((x?y)?z)+(y?1)?((z?1)?Δ(x))+

(1?y)?((1?z)?Δ(x))+

(x?1)?((z?1)?Δ(y))+

(1?x)?((1?z)?Δ(y))+

(x?y+y?x)?Δ(z)=

(x?1)?Δ(y?z)+(y?1)?Δ(z?x)+

(z?1)?Δ(x?y)+(1?(y?z))?Δ(x)+

(1?(z?x))?Δ(y)+(1?(x?y)?Δ(z));

(3)

(Δ?id)((x?1)?Δ(y))+

(id?Δ)((1?x)?Δ(y))+

(σ?id)((id?Δ)((1?x)?(y)))+

(Δ?id)((1?y)?Δ(x))+

(id?Δ)((y?1)?Δ(x))+

(σ?id)((id?Δ)((y?1)?Δ(x)))=

(Δ?id)Δ(x?y)+

(1?x?1)?((id?Δ)Δ(y))+

(1?y?1)?((id?Δ)Δ(x))+

(x?1?1)?((id?σ)((Δ?id)Δ(y)))+

(y?1?1)?((id?σ)((Δ?id)Δ(x)))+

(1?Δ(x))?((id?σ)((Δ(y)?1)))+

(1?Δ(y))?((id?σ)((Δ(x)?1))).

(4)

則稱該線性映射是一個(gè)約當(dāng)D-雙代數(shù)結(jié)構(gòu),記為(J,Δ)或(J,J*).

Δ(x)=(rg?(x)?id-id?rg?(x))r=

(5)

則約當(dāng)D-雙代數(shù)(J,Δ)稱為上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù).

定義6設(shè)(J,?)是一個(gè)約當(dāng)代數(shù),r∈J?J,方程(6)稱為J上的約當(dāng)Yang-Baxter方程,簡(jiǎn)記為JYBE.它也稱為經(jīng)典的Yang-Baxter方程在約當(dāng)代數(shù)上的“約當(dāng)代數(shù)類似”.

定理1設(shè)(J,?)是一個(gè)約當(dāng)代數(shù),r∈J?J.若r是反對(duì)稱的,且[[r,r]]=0，其中,

[[r,r]]=r12?r13-r12?r23+r13?r23

(6)

則Δ:J→J?J可以誘導(dǎo)出J*上的一個(gè)約當(dāng)D-雙代數(shù)結(jié)構(gòu)(J,Δ).

命題1設(shè)(J,?)是一個(gè)約當(dāng)代數(shù),r∈J?J是J上的約當(dāng)Yang-Baxter方程的一個(gè)反對(duì)稱解,則約當(dāng)雙代數(shù)D(J)上的約當(dāng)代數(shù)結(jié)構(gòu)“*”由如下關(guān)系給出.

a**b*=rg?*(r(a*))b*+rg?*(r(b*))a*,

?a*,b*∈J*

(7)

x*a*=x?r(a*)-r(rg?*(x)a*)+rg?*(x)a*,

?x∈J,a*∈J*

(8)

2低維約當(dāng)D-雙代數(shù)

(9)

同理可得:

(10)

設(shè)r是J上的約當(dāng)Yang-Baxter方程的一個(gè)反對(duì)稱解,則rij=-rji,于是

(11)

命題21維約當(dāng)代數(shù)有兩類R1,R2,其中,R1:e*e=e;R2:e*e=0.

3所得結(jié)果

定理22維上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的分類如下:

證明由(9)式和(10)式即可得出結(jié)論.

命題32維約當(dāng)代數(shù)的分類如下:

定理34維上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的分類如下:

(1)對(duì)于B1:r矩陣為r=0.對(duì)應(yīng)約當(dāng)雙D-代數(shù)中代數(shù)運(yùn)算如下:

命題43維約當(dāng)代數(shù)的分類如下,

e1e2=e2,e1e3=e3,e2e3=0;

e1e2=e2,e1e3=e3,e2e3=0;

e1e2=e3,e1e3=0,e2e3=0;

e1e2=0,e1e3=e2,e2e3=0;

定理46維上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)分類如下

(1)對(duì)于J1:r矩陣r=0,對(duì)應(yīng)約當(dāng)D-雙代數(shù)中代數(shù)運(yùn)算如下:

(5)對(duì)于J5:r矩陣r=0,對(duì)應(yīng)約當(dāng)D-雙代數(shù)中代數(shù)運(yùn)算如下:

(8)對(duì)于J8:r矩陣r=0,對(duì)應(yīng)約當(dāng)D-雙代數(shù)中代數(shù)運(yùn)算如下:

(9)對(duì)于J9:r矩陣r=0對(duì)應(yīng)約當(dāng)D-雙代數(shù)中代數(shù)運(yùn)算如下:

同理可算得其余9種情況.

參考文獻(xiàn)：

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(責(zé)任編輯:陳衍峰)

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.06.012

*收稿日期：2015-11-20

基金項(xiàng)目：遼寧省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20140428)

作者簡(jiǎn)介：杜麗華,山東濟(jì)寧人,遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院在讀碩士．

中圖分類號(hào)：O151.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-7974(2016)03-0032-04