杜麗華,王 紅
(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連116029)
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低維約當(dāng)D-雙代數(shù)的性質(zhì)*
杜麗華,王紅
(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連116029)
摘要:主要研究低維約當(dāng)D-雙代數(shù)及其基本性質(zhì),它們是在約當(dāng)代數(shù)的基礎(chǔ)上得到的.首先找到上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的構(gòu)造方法以及低維約當(dāng)代數(shù)的分類,計(jì)算了這類約當(dāng)代數(shù)上Yang-Baxter方程的張量形式的解.然后利用約當(dāng)代數(shù)的配對(duì)可以得到每一類約當(dāng)代數(shù)上對(duì)應(yīng)的上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,從而得到了低維上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的分類.
關(guān)鍵詞:約當(dāng)代數(shù);約當(dāng)D-雙代數(shù);約當(dāng)Yang-Baxter方程
上世紀(jì)30年代,物理學(xué)家P.Jordan在研究量子力學(xué)時(shí)給出了約當(dāng)代數(shù)的概念,從此約當(dāng)代數(shù)走上了歷史舞臺(tái).隨著科技的發(fā)展,約當(dāng)代數(shù)很快成為一個(gè)獨(dú)立的代數(shù)體系并滲透到其他領(lǐng)域,除了在數(shù)學(xué)中有許多應(yīng)用,在其他方面的應(yīng)用也有很多,例如量子力學(xué)、量子群等等.本文主要討論它的基本問(wèn)題,例如約當(dāng)D-雙代數(shù).本文利用約當(dāng)Yang-Baxter方程,在經(jīng)典Yang-Baxter方程的基礎(chǔ)上,對(duì)于每一類約當(dāng)代數(shù)找到約當(dāng)Yang-Baxter方程的一個(gè)反對(duì)稱解,在約當(dāng)D-雙代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,得到2、4、6維上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的分類.
1基礎(chǔ)知識(shí)
定義1設(shè)J是域F上的線性空間,J中定義乘法運(yùn)算:(x,y)→x?y,若滿足下面的等式
x?y=y?x
(1)
((x?x)?y)?x=(x?x)?(y?x)
(2)
(?x,y∈J),則稱J是域F上的一個(gè)約當(dāng)代數(shù).
定義2(J,?)是一個(gè)約當(dāng)代數(shù),V是域F上的線性空間,如果線性映射ρ:J→gl(V)滿足下面的方程
[ρ(x),ρ(y?z)]+[ρ(y),ρ(z?x)]+
[ρ(z),ρ(x?y)]=0
ρ(x)ρ(y)ρ(z)+ρ(z)ρ(y)ρ(x)+ρ((x?z)?y)=
ρ(x)ρ(y?z)+ρ(y)ρ(z?x)+ρ(z)ρ(x?y)
其中,x,y,z,u∈J,[ρ(x),ρ(y)]=ρ(x)ρ(y)-ρ(y)ρ(x).則ρ是J的一個(gè)表示或一個(gè)模,記為(ρ,V)或ρ.
定義4設(shè)(J,?)是一個(gè)約當(dāng)代數(shù),如果線性映射Δ:J→J?J滿足下面三個(gè)條件:
(1)Δ是對(duì)稱的(或交換的),即Δ(x)=σ(Δ(x)),?x∈J;
(2)Δ*:J*?J*→J*定義了線性空間J*上的一個(gè)約當(dāng)代數(shù)結(jié)構(gòu);
(3)Δ滿足,
Δ((x?y)?z)+(y?1)?((z?1)?Δ(x))+
(1?y)?((1?z)?Δ(x))+
(x?1)?((z?1)?Δ(y))+
(1?x)?((1?z)?Δ(y))+
(x?y+y?x)?Δ(z)=
(x?1)?Δ(y?z)+(y?1)?Δ(z?x)+
(z?1)?Δ(x?y)+(1?(y?z))?Δ(x)+
(1?(z?x))?Δ(y)+(1?(x?y)?Δ(z));
(3)
(Δ?id)((x?1)?Δ(y))+
(id?Δ)((1?x)?Δ(y))+
(σ?id)((id?Δ)((1?x)?(y)))+
(Δ?id)((1?y)?Δ(x))+
(id?Δ)((y?1)?Δ(x))+
(σ?id)((id?Δ)((y?1)?Δ(x)))=
(Δ?id)Δ(x?y)+
(1?x?1)?((id?Δ)Δ(y))+
(1?y?1)?((id?Δ)Δ(x))+
(x?1?1)?((id?σ)((Δ?id)Δ(y)))+
(y?1?1)?((id?σ)((Δ?id)Δ(x)))+
(1?Δ(x))?((id?σ)((Δ(y)?1)))+
(1?Δ(y))?((id?σ)((Δ(x)?1))).
(4)
則稱該線性映射是一個(gè)約當(dāng)D-雙代數(shù)結(jié)構(gòu),記為(J,Δ)或(J,J*).
Δ(x)=(rg?(x)?id-id?rg?(x))r=
(5)
則約當(dāng)D-雙代數(shù)(J,Δ)稱為上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù).
定義6設(shè)(J,?)是一個(gè)約當(dāng)代數(shù),r∈J?J,方程(6)稱為J上的約當(dāng)Yang-Baxter方程,簡(jiǎn)記為JYBE.它也稱為經(jīng)典的Yang-Baxter方程在約當(dāng)代數(shù)上的“約當(dāng)代數(shù)類似”.
定理1設(shè)(J,?)是一個(gè)約當(dāng)代數(shù),r∈J?J.若r是反對(duì)稱的,且[[r,r]]=0,其中,
[[r,r]]=r12?r13-r12?r23+r13?r23
(6)
則Δ:J→J?J可以誘導(dǎo)出J*上的一個(gè)約當(dāng)D-雙代數(shù)結(jié)構(gòu)(J,Δ).
命題1設(shè)(J,?)是一個(gè)約當(dāng)代數(shù),r∈J?J是J上的約當(dāng)Yang-Baxter方程的一個(gè)反對(duì)稱解,則約當(dāng)雙代數(shù)D(J)上的約當(dāng)代數(shù)結(jié)構(gòu)“*”由如下關(guān)系給出.
a**b*=rg?*(r(a*))b*+rg?*(r(b*))a*,
?a*,b*∈J*
(7)
x*a*=x?r(a*)-r(rg?*(x)a*)+rg?*(x)a*,
?x∈J,a*∈J*
(8)
2低維約當(dāng)D-雙代數(shù)
(9)
同理可得:
(10)
設(shè)r是J上的約當(dāng)Yang-Baxter方程的一個(gè)反對(duì)稱解,則rij=-rji,于是
(11)
命題21維約當(dāng)代數(shù)有兩類R1,R2,其中,R1:e*e=e;R2:e*e=0.
3所得結(jié)果
定理22維上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的分類如下:
證明由(9)式和(10)式即可得出結(jié)論.
命題32維約當(dāng)代數(shù)的分類如下:
定理34維上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)的分類如下:
(1)對(duì)于B1:r矩陣為r=0.對(duì)應(yīng)約當(dāng)雙D-代數(shù)中代數(shù)運(yùn)算如下:
命題43維約當(dāng)代數(shù)的分類如下,
e1e2=e2,e1e3=e3,e2e3=0;
e1e2=e2,e1e3=e3,e2e3=0;
e1e2=e3,e1e3=0,e2e3=0;
e1e2=0,e1e3=e2,e2e3=0;
定理46維上邊界約當(dāng)D-雙代數(shù)分類如下
(1)對(duì)于J1:r矩陣r=0,對(duì)應(yīng)約當(dāng)D-雙代數(shù)中代數(shù)運(yùn)算如下:
(5)對(duì)于J5:r矩陣r=0,對(duì)應(yīng)約當(dāng)D-雙代數(shù)中代數(shù)運(yùn)算如下:
(8)對(duì)于J8:r矩陣r=0,對(duì)應(yīng)約當(dāng)D-雙代數(shù)中代數(shù)運(yùn)算如下:
(9)對(duì)于J9:r矩陣r=0對(duì)應(yīng)約當(dāng)D-雙代數(shù)中代數(shù)運(yùn)算如下:
同理可算得其余9種情況.
參考文獻(xiàn):
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(責(zé)任編輯:陳衍峰)
DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.06.012
*收稿日期:2015-11-20
基金項(xiàng)目:遼寧省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20140428)
作者簡(jiǎn)介:杜麗華,山東濟(jì)寧人,遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院在讀碩士.
中圖分類號(hào):O151.2
文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A
文章編號(hào):1008-7974(2016)03-0032-04
通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)2016年6期