拉格朗日中值定理中值點的確定與漸進性*

李治遠

(云南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 昆明 650500)

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拉格朗日中值定理中值點的確定與漸進性*

李治遠

(云南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 昆明 650500)

摘要:文章先對幾類初等函數(shù)的拉格朗日中值定理中值點進行討論，然后又過渡到對一般的連續(xù)可導函數(shù)中值點的漸進性討論.

關鍵詞:拉格朗日中值定理；中值點；漸進性

拉格朗日中值定理的使用非常普遍，但是它只肯定了中值點的存在性，中值點的位置并沒有被具體確定.本文總結了幾類初等函數(shù)的拉格朗日中值定理中值點的確定方法，并在此基礎上探討了從低階可導到高階可導函數(shù)的拉格朗日中值點的漸進性質.這讓我們對拉格朗日中值定理有了更深一步的認識與理解.中值點的確定方法以及漸進性質在實際應用中也是非常重要的.

1初等函數(shù)拉格朗日中值定理中值點確定

定理1對任意的冪函數(shù)f(x)=xn(n>0),x∈[a,b]，其中0

推論1對任意的冪函數(shù)f(x)=xn(n<0),x∈[a,b]，其中0

定理2對任意的指數(shù)函數(shù)f(x)=μx(μ>0,μ≠1)，其中x∈[a,b].若θ滿足

定理4對任意三角函數(shù)f(x)=sinx，x∈[a,b]，若θ滿足

2拉格朗日中值定理中值點的漸進性

證明由泰勒公式，得

f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+

由拉格朗日中值定理，有

f'(ξ)(b-a)

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+

f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+

由拉格朗日中值定理有

證明由泰勒公式和定理條件，得

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+

于是有

f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+

由拉格朗日中值定理，得

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]吳良森.數(shù)學分析習題精解[M].北京:科學出版社,2001.

[3]吉米多維奇.數(shù)學分析習題集題解[M].濟南:山東科學技術出版社,2001.

(責任編輯:陳衍峰)

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.06.010

*收稿日期：2015-10-12

基金項目：國家自然科學基金“復雜數(shù)據(jù)下眾數(shù)回歸模型的變量選擇及統(tǒng)計診斷研究”(11561075)

作者簡介：李治遠,河南信陽人,云南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在讀碩士.

中圖分類號：O171

文獻標志碼：A

文章編號：1008-7974(2016)03-0027-02