一類孿生素數(shù)橢圓曲線整數(shù)點

官春梅, 席小忠

(1. 喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 喀什　844006; 2. 宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 江西 宜春　336000)

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一類孿生素數(shù)橢圓曲線整數(shù)點

官春梅1, 席小忠2

(1. 喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 喀什844006; 2. 宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 江西 宜春336000)

摘要:運用初等的方法證明了孿生素數(shù)橢圓曲線E1:y2=x(x-11)(x-13)只有整數(shù)點(0,0),(11,0),(13,0)的結(jié)論.

關(guān)鍵詞:孿生素數(shù); 橢圓曲線; 整數(shù)點

不定方程整數(shù)解的討論是數(shù)論研究中一項重要的內(nèi)容,許多學(xué)者對這一內(nèi)容都進行過研究,如文獻[1-2]就討論了兩個不定方程的解.同樣,確定橢圓曲線E1:y2=x(x-p)(x-q)與E2:y2=x(x+p)(x+q)在孿生素數(shù)p,q=p+2時的整數(shù)點的問題是一個有趣的數(shù)論問題,對其有著極其豐富的研究內(nèi)容[3-8].文獻[9]中,作者討論了橢圓曲線E1:y2=x(x-3)(x-5)與E2:y2=x(x+3)(x+5)的整數(shù)點的問題.文獻[10]中,作者討論了橢圓曲線E1:y2=x(x-5)(x-7)與E2:y2=x(x+5)(x+7)的整數(shù)點的問題. 本文將探討橢圓曲線E1:y2=x(x-p)(x-q)在孿生素數(shù)p=11,q=13時整數(shù)點的問題,并給出了相應(yīng)的結(jié)論.

1主要結(jié)論及其證明

定理1孿生素數(shù)橢圓曲線方程E1:

(1)

只有整數(shù)點(0,0),(11,0),(13,0).

證明當y=0時,顯然(0,0),(11,0),(13,0)是滿足式(1)的3個整數(shù)點.下面討論y≠0的情況. 設(shè)(x,y)是滿足式(1)的1個整數(shù)點.由于y≠0,則y2>0,有013.

若0

下面討論x>13的情況. 設(shè)d1=(x,x-11),d2=(x,x-13),d3=(x-11,x-13),則有

對d1,d2,d3的取值進行分類組合,可分為8種情況,對這8種情況分別討論. 說明:以下所提到的a,b,c是兩兩互素的整數(shù).

情形1(d1,d2,d3)=(1,1,1).

令x=a2,x-11=b2,x-13=c2,則y=±abc. 由此可得

2=(x-11)-(x-13)=a2-b2=(a+b)(a-b).

由上式可知,此時無整數(shù)解.

情形2(d1,d2,d3)=(11,1,1).

令x=11a2,x-11=11b2,x-13=c2,則y=±11abc. 由此可得x-(x-11)=11,即11a2-11b2=11. 進一步有(a+b)(a-b)=1.此時雖可得x=11,但-2=c2這在有理數(shù)集中是無解的,所以此時無整數(shù)點.

情形3(d1,d2,d3)=(1,13,1).

令x=13a2,x-11=b2,x-13=13c2,則y=±13abc. 由此可得

13=x-(x-13)=13a2-13c2,進一步有(a+c)(a-c)=1.此時雖可得x=13,但2=b2這在有理數(shù)集中是無解的,所以此時無整數(shù)點.

情形4(d1,d2,d3)=(1,1,2).

令x=a2,x-11=2b2,x-13=2c2,則y=±2abc. 由此可得2=(x-11)-(x-13)=2b2-2c2,進一步有(b+c)(b-c)=1.此時雖可得x=13,但13=x2這在有理數(shù)集中是無解的,所以此時無整數(shù)點.

情形5(d1,d2,d3)=(11,13,1).

令x=11×13a2,x-11=11b2,x-13=13c2,則y=±11×13abc. 由此可得13=x-(x-13)=11×13a2-13c2,進一步有11a2-c2=1.由于c?0(mod11),則c2+1≡2,4,5,6,10(mod11),而此時11a2≡0(mod11),所以此時無整數(shù)點.

情形6(d1,d2,d3)=(1,13,2).

令x=13a2,x-11=2b2,x-13=26c2,則y=±26abc. 由此可得a2-2c2=1,b2-13c2=1.由x=13a2,x-11=2b2可得a≡1(mod2),再由a2-2c2=1,b2-13c2=1可得b≡1(mod2),c≡0(mod2),(b+a)(b-a)=11c2.那么,有

情形7(d1,d2,d3)=(11,1,2).

情形8(d1,d2,d3)=(11,13,2).

綜合以上的討論可得,式(1)只有整數(shù)點(0,0),(11,0),(13,0). 定理證畢.

2結(jié)語

對于橢圓曲線E1:y2=x(x-p)(x-q)與E2:y2=x(x+p)(x+q)在孿生素數(shù)p,q=p+2時的整數(shù)點的問題,本文就E1當p=11、q=13的情況進行了討論,給出了此時所確定孿生素數(shù)橢圓曲線只有整數(shù)點(0,0),(11,0),(13,0)的結(jié)論.而對于其他的孿生素數(shù)p,q=p+2,E1與E2的整數(shù)點問題也是值得研究的問題.

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【責任編輯: 肖景魁】

IntegralPointsofATwinPrimesEllipticCurve

Guan Chunmei1, Xi Xiaozhong2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,KashgarUniversity,Kashgar844006,China; 2.InstituteofMathematicsandComputerScience,YichunCollege,Yichun336000,China)

Abstract:Conclusion that twin primes elliptic curvey E1:y2=x(x-11)(x-13)has only three integral points(0,0),(11,0),(13,0)was proved by using elementary methods.

Key words:Twin primes; elliptic curve; integral points

文章編號:2095-5456(2016)03-0256-03

收稿日期:2015-01-21

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(11201411).

作者簡介:官春梅(1976-),女,湖北竹山人,喀什大學(xué)講師.

中圖分類號:O 156

文獻標志碼:A