輔助線在幾何題中的重要性

趙利俠

摘 要： 幾何是初中教學的一門重要學科，然而學生在幾何證題的證明與計算時總是受到阻礙，此時若是解題思路順暢就需要科學合理地添加必要的輔助線.輔助線在幾何題的解答中起到了至關重要的作用，其主要表現(xiàn)在三個方面：第一，它作為解決問題的橋梁可以將已知與未知巧妙地聯(lián)系在一起；第二，為了利用圖形性質解題它將分散的條件集中化從而構成簡單基本的圖形；第三，它可以為幾何體的解證創(chuàng)造條件使其隱藏著的條件明朗化從而促進解題順利進行.

關鍵詞： 初中幾何教學 輔助線 幾何題 重要性

如何作輔助線，在初中數(shù)學課程講解中，是解證幾何題中的一個非常重要的知識點.而在解證幾何題時所作輔助線的優(yōu)劣則影響了證明過程的難易程度.輔助線在平面幾何圖形中的添加，不僅要求學生熟練掌握各個圖形的特征及性質，還要求學生有一定的思維創(chuàng)造性.因此科學正確地在幾何證題中作出輔助線有一定的難度.

一、作輔助線的思路

在幾何教學中，輔助線的添設對幾何題的解答起著至關重要的作用，而如何巧設輔助線是解題中必不可少的一個條件.由于綜合法和分析法是證明幾何題時用到的兩種基本方法.因此，在作輔助線時便有了兩條思路可供選擇，第一條是從綜合法的方面考慮作輔助線.在使用綜合法證題時，由于通過已知條件推證結論而思路受到阻斷，此時便可以根據(jù)圖形的特征巧妙地添加輔助線，從而利用圖形特有的性質為后續(xù)推證提供便利.第二條是從分析法的方面考慮來作輔助線.而使用分析法的證題，則是從結論逆推條件，當形成結論的條件在推理中受到阻礙時可添設恰當?shù)妮o助線，從而使這一過程繼續(xù)進行下去.無論是從命題給出的已知條件還是結論作分析時都應該結合圖形的特點完成，不同的圖形特點所要添設的輔助線位置也是不一樣的，而正確位置的輔助線有利于我們快速簡便地完成解題.

二、例題分析輔助線的重要性

（一）構建橋梁

例1：如圖1所示，∠EOA=∠EOB=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若CE=1，則EF=？

在解答這一試題時我們先要對題目進行分析：從已知的條件可以得出∠AOB=30°，那么此題的考點將與30度角的直角三角形的性質有關，∠EOA=∠EOB=15°那么就涉及了角平分線相關的問題，EF∥OB則涉及了平行的性質.要想求出EF=？，根據(jù)已知的條件不足以求解，那么此時就需要考慮巧設輔助線解答了.

解：過點E作EG⊥OA交于AF，

因為EF∥OB，所以∠OEF=∠COE=15°，

又因為∠EOA=15°，所以∠EFG=15°+15°=30°.

因為OE平分∠AOB，EC⊥OB，所以EG=EC=1，

所以EF=2EG=2×1=2

答：EF的長為2.

（二）簡化圖形

例2：如圖2所示，已知在四邊形ABCD中，AB=CD，點F和E分別為AD、BC邊上的中點，延長BA、CD，分別交EF的延長線于P、Q，求證：∠APF=∠DQF

此題為求證性試題，已知結論的存在，對結論通過給出的條件做證明.而本題中與證明結論存在有關的條件較分散.因此需考慮到作輔助線的方法使已知條件做集中化處理，以此方便證題.

證明：如上圖所示，過點F分別作FG∥AB，F(xiàn)H∥DC，過點B作BG∥AD交FG于點G，過點C作CH∥AD交FH于點H，連接GE與HE.

已知：FG∥AB，BG∥AD，得出四邊形FGBA為平行四邊形，

所以：FG=AB，F(xiàn)A=GB.

又因：FH∥DC，CH∥AD，得出四邊形CDFH也為平行四邊形，

所以：DF=CH，DC=FH.

因為：點F和E分別為AD、BC邊上的中點且AB=CD

所以：FA=FD，EB=EC，F(xiàn)G=FH，則：GB=HC.

因為：BG∥AD，CH∥AD，則：BG∥CH.

所以：∠GBE=∠HCE，得出△BGE≌△CHE.

所以：GE=HE，則：△FGE≌△FHE（SSS）.

所以：∠EFG=∠EFH.

因為：FG∥AB，得出：∠GFE=∠APF

又因：FH∥DC，得出：∠Q=∠EFH

所以：∠APF=∠DQF.

（三）明朗化隱含條件

例3：如圖3所示，在△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，M、N分別是DE、BC的中點，求證：MN⊥DE.

在分析這一證明題時我們可以得出其中隱含了中線在直角三角形斜邊上的性質，為了將隱含的條件轉化為直接條件，那么此時就必須考慮使用添設輔助線進行解證.

證明：連接NE與ND

已知：點N是BC的中點，BD、CE分別是AC、AB邊上的高

所以：NE是Rt△BCE斜邊上的中線

ND是Rt△BCD斜邊上的中線

所以：根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質得出NE=1/2BC，ND=1/2BC

所以：根據(jù)等量代換得出NE=ND

又因：點M是ED的中點

所以：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出MN⊥DE

三、結語

在幾何證題中輔助線的添加沒有法則能夠遵循，其添設方法因題而定.學生要通過作好輔助線提高解證幾何題的能力就必須在平時練習中仔細分析，反復探究，不斷地積累解題經(jīng)驗并做好總結.

參考文獻：

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