深挖教材核心例題　充分揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)*
——以人教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》“橢圓”為例

●步一雋

(杭州第四中學(xué)下沙校區(qū)　浙江杭州　310018)

●徐　劍

(杭州第十四中學(xué)鳳起校區(qū)　浙江杭州　310006)

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深挖教材核心例題充分揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)*
——以人教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》“橢圓”為例

●步一雋

(杭州第四中學(xué)下沙校區(qū)浙江杭州310018)

●徐劍

(杭州第十四中學(xué)鳳起校區(qū)浙江杭州310006)

摘要：課堂教學(xué)中“如何增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解”，其中一個(gè)有效途徑是做好課堂中的例題教學(xué)和習(xí)題練習(xí).為此，文章提出一個(gè)“核心例題”的概念，通過對(duì)核心例題的開發(fā)與設(shè)計(jì)，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)本質(zhì)；核心例題；橢圓定義

張奠宙教授指出：“數(shù)學(xué)教育的核心是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì).”何為數(shù)學(xué)本質(zhì)？站在教育者的角度看，數(shù)學(xué)本質(zhì)應(yīng)該包括數(shù)與形的客觀規(guī)律、知識(shí)所處的背景、地位、作用、聯(lián)系、區(qū)別及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、思維過程[1].強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是本次高中課改的一個(gè)重要理念.課堂教學(xué)中，在堅(jiān)持適度形式化的前提下，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，能夠讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，使他們自覺地將個(gè)體思維融入數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，不斷體會(huì)蘊(yùn)含其中的思想方法[2].

如何增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解？在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者認(rèn)為其中一個(gè)有效途徑是做好課堂中的例題教學(xué)和習(xí)題練習(xí).例題教學(xué)階段往往是整堂課中學(xué)生思維最活躍、參與度最高、自主性最強(qiáng)的階段.它不但能使學(xué)生積極掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，還能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)一步的理解與掌握，同時(shí)也提供了進(jìn)行思維訓(xùn)練的環(huán)境——培養(yǎng)學(xué)生思維的深度、廣度和靈活性.

教師在一堂課中都會(huì)圍繞教學(xué)目標(biāo)安排一系列的例題與練習(xí)來達(dá)成目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，但往往更多關(guān)注知識(shí)的記憶、解答過程的規(guī)范與類型方法的掌握，忽視對(duì)概念與知識(shí)產(chǎn)生過程的揭示和蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法的挖掘.教師的思維水平很大程度上決定著學(xué)生的思維水平.在此，筆者提出一個(gè)“核心例題”的概念.一組例題中應(yīng)有一個(gè)或若干個(gè)核心例題，通過對(duì)核心例題的開發(fā)與設(shè)計(jì)，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，理解數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵與本質(zhì)，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法.

作為學(xué)生接觸最多的一本數(shù)學(xué)資料，高中數(shù)學(xué)教材的編寫符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和探究課題的創(chuàng)新性方面有較強(qiáng)的功能.教材上的例題是平日教學(xué)中核心例題的一個(gè)重要且豐富的來源.下面筆者結(jié)合人教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》“橢圓”一節(jié)[3]，談?wù)勗诮虒W(xué)中對(duì)核心例題的設(shè)計(jì)與實(shí)踐，借此拋磚引玉，引起同行的討論.

1用核心例題揭示數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系與本質(zhì)

案例1人教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第47頁例6的教學(xué)設(shè)計(jì).

設(shè)計(jì)意圖一方面鞏固“直接法”求動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及示范規(guī)范的解題過程；另一方面為橢圓第二定義的引入作鋪墊.

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手，對(duì)問題作一般化推廣.歸納橢圓的第二定義，并向?qū)W生介紹橢圓準(zhǔn)線和焦半徑概念與公式，為今后的應(yīng)用作準(zhǔn)備.

問題2你能發(fā)現(xiàn)2個(gè)定義的聯(lián)系嗎？可以先回顧一下橢圓第一定義方程的推導(dǎo).

設(shè)計(jì)意圖從一個(gè)例題形式突然引出橢圓的第二定義，就像“魔術(shù)師帽子里跑出一只兔子”，學(xué)生難以理解這第二定義怎么來的？與第一定義有什么聯(lián)系呢？設(shè)計(jì)這一開放式問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)探究，同時(shí)考慮到課堂節(jié)奏，因此給出了方向性的提示.

課堂的實(shí)際效果很好.有的學(xué)生翻開了課本，重溫書上的推導(dǎo)過程；有的學(xué)生拿出了紙筆，開始演算.學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了2種方法：

方法1(根據(jù)教材)

回到橢圓方程的初始形式

將左邊一個(gè)根式移項(xiàng)，平方，整理得

2邊同除以a，得

即

或

方法2(新的突破)

回到橢圓方程的初始形式

(1)

有理化分子，得

整理得

(2)

由式(1)和式(2)解得

即

或

同樣的推導(dǎo)，當(dāng)帶著特定的目標(biāo)和不同的意識(shí)回視，產(chǎn)生了截然不同的效果.學(xué)生親歷這樣的探究過程，不難發(fā)現(xiàn)橢圓第一定義的初始方程、第二定義的初始方程、焦半徑公式雖形式不同，本質(zhì)上卻是等價(jià)的，即橢圓的第一定義與第二定義是統(tǒng)一的.

2用核心例題揭示數(shù)學(xué)思想方法與思維的形成

案例2人教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第41頁例2與例3的教學(xué)設(shè)計(jì).

例2在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？

設(shè)計(jì)意圖一方面促進(jìn)學(xué)生掌握求軌跡方程中的“相關(guān)點(diǎn)法”和“直接法”；另一方面對(duì)圓和橢圓的伸縮變換呈現(xiàn)幾何直觀，為后續(xù)探究作鋪墊.

設(shè)計(jì)意圖對(duì)2個(gè)例題作一般化推廣和逆向探究，推動(dòng)學(xué)生從具體形象思維向抽象邏輯思維邁進(jìn).對(duì)圓方程和橢圓方程作形式化的變換研究，為學(xué)生探究圓與橢圓之間性質(zhì)遷移作鋪墊.

問題5對(duì)照圖1和圖2，你能從橢圓與圓的關(guān)系角度解釋2者性質(zhì)之間的聯(lián)系嗎？

圖1 圖2

設(shè)計(jì)意圖跳出問題處理的常規(guī)思路，向?qū)W生引入橢圓問題圓化處理的策略，揭示2者的內(nèi)在聯(lián)系，滲透轉(zhuǎn)化化歸的思想.

問題的起點(diǎn)是圓，結(jié)論指向是橢圓，這種合情推理的問題情境，讓學(xué)生感到自然而親切.問題以探究形式呈現(xiàn)，更容易激發(fā)學(xué)生的興趣與主動(dòng)性.同時(shí)有了前面的逐層鋪墊，這種思路的產(chǎn)生自然而流暢.

同理可得

于是

問題6如圖3與圖4，類比平面幾何中圓的“垂徑定理”，圓心與弦中點(diǎn)的連線垂直，在斜率存在的情況下，2條直線的斜率之積為-1，探究：在橢圓中直線AB與直線OM的斜率之積(其中M為弦AB的中點(diǎn)).

圖3 圖4

設(shè)計(jì)意圖本題是留給學(xué)生的課后探究作業(yè)，強(qiáng)化應(yīng)用圓化策略的意識(shí).

圖5

設(shè)計(jì)意圖本題是2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考第18題的第3)小題.高考中不變的是知識(shí)，變化的是情景的呈現(xiàn)形式、問題的組合結(jié)構(gòu)，而且眾多高考題來自于對(duì)教材例題的二次開發(fā).

kPA·kPB=-1，

只需證

kPA=2kAB,

即證

kPA=2kAC.

核心例題教學(xué)的本質(zhì)是從教學(xué)角度出發(fā)的解題，是對(duì)常規(guī)例題教學(xué)的有效補(bǔ)充.對(duì)于核心例題的教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者認(rèn)為在研讀課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的基礎(chǔ)上，可以考慮以下這些問題：

1)問題的背景是什么？知識(shí)定位和作用在哪里？[4]

2)問題可以作一般化的推廣嗎？

3)問題可以作逆向(條件和結(jié)論順序重組)的推廣嗎？

4)可以改變問題呈現(xiàn)的方式嗎？

5)問題與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些聯(lián)系？

6)問題的設(shè)計(jì)是否為學(xué)生提供有價(jià)值的數(shù)學(xué)理解和思維方式？

7)問題的設(shè)計(jì)是否為學(xué)生的自主活動(dòng)提供空間？

8)問題如何評(píng)價(jià)？

核心例題教學(xué)推動(dòng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律、知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和問題解決的途徑，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的正遷移.用清楚的、自然的數(shù)學(xué)去打動(dòng)學(xué)生，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的熱愛，讓學(xué)生的探究更“深”更“動(dòng)”，讓課堂的數(shù)學(xué)味更濃.

參考文獻(xiàn)

[1]施洪亮.高中生數(shù)學(xué)創(chuàng)新素質(zhì)培育的實(shí)踐與思考[M].上海：上海教育出版社，2011.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2003.

[3]人民教育出版社課程教材研究所.數(shù)學(xué)(選修2-1)[M].北京：人民教育出版社，2007.

[4]胡典順,汪鈺雯，紀(jì)靜萍，等.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題[J].數(shù)學(xué)通訊，2013(11)：1-5.

修訂日期：*收文日期：2016-04-06；2016-05-06

作者簡介：步一雋(1974-)，男，浙江杭州人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

中圖分類號(hào)：O123.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)07-01-03