一維向列相液晶模型方程孤立波解的存在性

張真真,　章國慶

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海　200093)

?

一維向列相液晶模型方程孤立波解的存在性

張真真,章國慶

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海200093)

摘要：在證明W1,2(-∞,+∞)空間中向列相液晶模型方程孤立波解的存在性的過程中,關(guān)鍵是要證明相關(guān)的泛函是緊性的.因此,首先可根據(jù)臨界點(diǎn)理論中的集中緊性原理的方法,證明二分性以及消失性不成立,即在W1,2(-∞, +∞)空間中泛函的極小化序列的緊性是成立的,進(jìn)一步利用極值原理的方法,得到一維向列相液晶模型方程孤立波解的存在性.

關(guān)鍵詞：向列相液晶模型方程組; 能量極小孤立波解; 存在性

1問題的提出

本文研究如下一維向列相液晶模型方程組

(1)

其中,m>0為常數(shù).令E(x,z)=eiλzu(x),z>0,λ∈,代入問題(1),則問題(1)的孤立波解滿足

(2)

近年來,由于向列相液晶的非線性與非局部的特性產(chǎn)生了許多有意義的物理現(xiàn)象,因此,問題(2)深受許多學(xué)者的關(guān)注.2003年,Assanto等[1]發(fā)現(xiàn)空間向列相液晶的孤立波是穩(wěn)定的; 在文獻(xiàn)[2-5]中,實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算都表明空間孤立波都能在非局部向列相液晶中穩(wěn)定地傳播;Peccianti等[6]綜述了在向列相液晶中孤立波解的最新進(jìn)展;Panayotaros等[7]研究了二維向列相液晶中孤立波解的存在性及其對(duì)稱性;Bellazzini等[8]和Georgiev等[9]也研究了m=0時(shí)問題(2)在三維空間上基態(tài)解的存在性以及對(duì)稱性.

對(duì)于問題(2),當(dāng)m=0時(shí),文獻(xiàn)[10]研究了基態(tài)解的存在性和唯一性,但問題(2)的第二個(gè)方程對(duì)應(yīng)為Coulomb位勢;當(dāng)m≠0時(shí),問題(2)的第二個(gè)方程對(duì)應(yīng)為Yukawa位勢[11].本文主要利用臨界點(diǎn)理論中集中緊性原理和極值問題來證明問題(1)能量極小孤立波解的存在性.

2預(yù)備知識(shí)和主要結(jié)論

以及相應(yīng)的范數(shù)為

由問題(2)的第二個(gè)方程可得

(3)

將式(3)代入問題(2)中的第一個(gè)方程可得如下非線性非局部問題

(4)

因此,求解方程(4)等價(jià)于求解問題(2).現(xiàn)考慮如下泛函

引理1泛函V(u),I(u)在W1,2(-∞,+∞)上是一階連續(xù)可微的.

證明令{un}?W1,2(-∞,+∞)且un→u,其中,u∈W1,2(-∞,+∞),則序列{un}是有界的且

其中,C>0是常數(shù).因此,當(dāng)n→∞時(shí),有V(un)→V(u).對(duì)于?u,v∈W1,2(-∞,+∞),可得

其中

其中,C0,C,C1>0為常數(shù).顯然

令

其中,C0,C,C1,C2>0為常數(shù).因此,泛函V(u)是一階連續(xù)可微的,且

其中,?u,v∈W1,2(-∞,+∞).因此,泛函I(u)的臨界點(diǎn)即為問題(4)的弱解.

現(xiàn)考慮如下極小值問題

其中

以及

本文的主要結(jié)果為:

定理1對(duì)于任意m>0,問題(2)存在能量極小孤立波解u,且u是正的、徑向?qū)ΨQ以及嚴(yán)格遞減的.

3主要結(jié)果的證明

其中,C為常數(shù).據(jù)u∈Σω,可得

引理3對(duì)任意的m>0,存在ω0>0,使得

以及

因此,可得

從而引理3得證.

斷言1現(xiàn)用反證法,假設(shè)消失性成立,則

由引理2可得,序列{un}在W1,2(-∞,+∞)上是有界的.因此,由Lions引理可得,在Ls(-∞,+∞)(s>2)中,un→0,則由H?lder不等式有

從而可得,Iω≥0.由引理3知,當(dāng)ω充分大時(shí),在Σω上Iω<0,故得出矛盾,即消失性不成立.

選取序列Rn→∞,且當(dāng)n充分大時(shí),Rn≥R且滿足

定義

以及

其中,當(dāng)ε→0時(shí),δ(ε)→0.因此,當(dāng)n→∞時(shí),成立

(7)

因?yàn)?/p>

因此,

故可得Iω

綜合斷言1以及斷言2可知,I0(u)在Σω中的極小化序列{un}在Σω上是相對(duì)緊的.

即u為問題(4)的弱解.

類似于文獻(xiàn)[7]中引理4.8以及引理4.9的證明,可得u>0,且是徑向?qū)ΨQ以及嚴(yán)格遞減的,即問題(2)存在能量極小孤立波解.

參考文獻(xiàn)：

[1]ASSANTO G,PECCIANTI M,CONTI C.Nematicons:optical spatial solitons in nematic liquid crystals[J].Optics and Photonics News,2003,14(2):44-48.

[2]HENNINOT J F,BLACH J F,WARENGHEM M.Experimental study of the nonlocality of spatial optical solitons excited in nematic liquid crystal[J].Journal of Optics A:Pure and Applied Optics,2007,9(1):20-25.

[3]ASSANTO G,MINZONI A A,PECCIANTI M,et al.Optical solitary waves escaping a wide trapping potential in nematic liquid crystals:modulation theory[J].Physical Review A,2009,79(3):033837.

[4]ALBERUCCI A,PICCARDI A,PECCIANTI M,et al.Propagation of spatial optical solitons in a dielectric with adjustable nonlinearity[J].Physical Review A,2010,82(2):023806.

[5]CONTI C,PECCIANTI M,ASSANTO G.Route to nonlocality and observation of accessible solitons[J].Physical Review Letters,2003,91(7):073901.

[6]PECCIANTI M,ASSANTO G.Nematicons[J].Physics Reports,2012,516(4/5):147-208.

[7]PANAYOTAROS P,MARCHANT T R.Solitary waves in nematic liquid crystals[J].Physica D:Nonlinear Phenomena,2014,268:106-117.

[8]BELLAZZINI J,SICILIANO G.Stable standing waves for a class of nonlinear Schr?dinger-Poisson equations[J].Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik,2011,62(2):267-280.

[9]GEORGIEV V,PRINARI F,VISCIGLIA N.On the radiality of constrained minimizers to the Schr?dinger-Poisson-Slater energy[J].Annales de L’Institut Henri Poincare(C)Non Linear Analysis,2012,29(3):369-376.

[10]CHOQUARD P,STUBBE J.The one-dimensional Schr?dinger-Newton equations[J].Letters in Mathematical Physics,2007,81(2):177-184.

[11]LIED E H,LOSS M.分析學(xué)[M].王斯蕾,譯.2版.北京:高等教育出版社,2007.

[12]LIONS P L.The concentration-compactness principle in the calculus of variations,the locally compact case,part I[J].Annales de L’Institut Henri Poincaré-Aanalyse Non Linéaire,1984,1(2):109-145.

(編輯:丁紅藝)

Existence of Solitary Wave Solutions for One-dimensional Nematic Liquid Crystals Model Equations

ZHANG Zhenzhen,ZHANG Guoqing

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Abstract：In the process of proving the existence of solitary wave solutions for one-dimensional nematic liquid crystal model equations in W1,2(-∞,+∞), the key point is to prove that the relevant functional is compact.Therefore,firstly,using the method of concentrated-compactness principle in the critical points theory,two bad cases:dichotomy and vanishing were eliminated,and prove the compactness of the minimizing sequences was proved.Then,the existence of solitary wave solutions for one-dimensional nematic liquid crystal model equations was obtained by using the extremum principle.

Keywords：nematic liquid crystals model equations; energy minimizing solitary wave solution; existence

文章編號(hào)：1007-6735(2016)03-0218-05

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2016.03.003

收稿日期：2015-07-20

基金項(xiàng)目：上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(15ZR1429500);滬江基金資助項(xiàng)目(B14005)

通信作者：章國慶(1973-),男,副教授.研究方向:非線性泛函分析.E-mail:745826192@qq.com

中圖分類號(hào)：O 175.25

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

第一作者： 張真真(1989-),女,碩士研究生.研究方向:非線性泛函分析.E-mail:1215934987@qq.com