傳遞路徑分析中計(jì)算子系統(tǒng)頻響函數(shù)的方法

廖旭暉 李舜酩 孟浩東

摘要： 傳遞路徑分析是在振動(dòng)噪聲控制領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用的一種有效方法。傳遞路徑分析中將振動(dòng)系統(tǒng)分成主動(dòng)部分、被動(dòng)部分以及連接主、被動(dòng)部分的若干傳遞路徑。在傳遞路徑分析中需要對(duì)被動(dòng)部分的頻響函數(shù)進(jìn)行測(cè)量。傳統(tǒng)的傳遞路徑分析需要先拆除子結(jié)構(gòu)然后再測(cè)量頻響函數(shù)，測(cè)試過程十分繁瑣。提出了一種全新的方法來計(jì)算子系統(tǒng)的頻響函數(shù)，直接由整個(gè)系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣推導(dǎo)得到子系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣的計(jì)算公式。該方法不需要對(duì)子系統(tǒng)進(jìn)行物理解耦，大大縮短了測(cè)量子系統(tǒng)頻響函數(shù)所需要的時(shí)間。數(shù)值算例和實(shí)驗(yàn)均驗(yàn)證了該方法的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞： 子系統(tǒng)； 傳遞路徑分析； 頻響函數(shù)； 解耦

中圖分類號(hào)： O321； TB123文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)1004-4523（2018）04-0681-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.016

引言

傳遞路徑分析（Transfer Path Analysis， TPA）在車輛的NVH（Noise， Vibration & Harshness）研究、船舶的減振降噪、隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)等振動(dòng)噪聲控制領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，是一種對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行減振降噪十分有效的工程手段。TPA的一個(gè)關(guān)鍵步驟是測(cè)量子系統(tǒng)的頻響函數(shù)。在傳統(tǒng)的TPA中，需要先將子結(jié)構(gòu)之間的連接拆除然后再對(duì)子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)進(jìn)行測(cè)量。在實(shí)際應(yīng)用中將子系統(tǒng)物理解耦需要耗費(fèi)較長(zhǎng)的時(shí)間，并且物理解耦后子系統(tǒng)的邊界條件通常會(huì)發(fā)生改變，因此使得傳遞路徑分析方法的應(yīng)用受到了較大的限制。為了提高傳遞路徑分析方法的應(yīng)用效率，研究者們提出了許多改進(jìn)的方法，如工況傳遞路徑分析[1-2]、基于直接傳遞率的方法[3-4]、基于組件的傳遞路徑分析[5-6]等。這些方法都規(guī)避了對(duì)子系統(tǒng)頻響函數(shù)的直接測(cè)量，雖然提高了測(cè)試效率，但是由于并不能將響應(yīng)嚴(yán)格地表示成頻響函數(shù)和工況力相乘的形式，因此從本質(zhì)上來說，這些方法都已經(jīng)和傳統(tǒng)的傳遞路徑分析相背離了[7]。傳統(tǒng)的傳遞路徑分析由于有著明確的物理意義和準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)，因此仍然被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐或者用來作為其他改進(jìn)方法的參照標(biāo)準(zhǔn)。

相對(duì)而言，由于不需要解耦，所以獲取整個(gè)系統(tǒng)的頻響函數(shù)更加方便。從哲學(xué)上來說，整體大于部分之和，因此，子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性一定是被包含在整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性之中的。如何從作為整體信息的系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣中“提取出”反應(yīng)局部信息的子系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣是非常有意義的一項(xiàng)課題。

之前的研究者們已經(jīng)做過很多這方面的嘗試，并且取得了許多的研究成果，其中研究較多的是從動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)[8-9]的角度來獲取子系統(tǒng)的頻響函數(shù)。Okubo和Miyazaki[10-11]首先提出了根據(jù)整個(gè)系統(tǒng)和已知子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性來獲取未知子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的方法。Gontier和Bensaibi[12]提出了一種時(shí)域的方法來對(duì)子系統(tǒng)進(jìn)行解耦。Silva等[13-14]研究了子系統(tǒng)之間具有不同連接特性時(shí)的解耦方法以及識(shí)別連接特性的方法。Kalling等[15]采用狀態(tài)空間模型識(shí)別方法來研究子系統(tǒng)解耦的問題。近年來，一種新的基于逆子結(jié)構(gòu)方法的解耦技術(shù)得到了重視，即將子系統(tǒng)看成是整個(gè)系統(tǒng)和一個(gè)虛擬系統(tǒng)相耦合而成[16]，從而實(shí)現(xiàn)解耦。上述這些解耦方法都假設(shè)子系統(tǒng)之間的連接是剛性的。另外，這些子系統(tǒng)解耦方法大多需要已知整個(gè)系統(tǒng)以及剩余部分子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)未知子系統(tǒng)的解耦。

Keersmaekers[17]則另辟蹊徑，提出了所謂的連接保留解耦（Link-Preserving Decoupling， LPD）方法，首先列出整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)剛度矩陣，根據(jù)耦合連接處耦合剛度對(duì)于兩個(gè)子系統(tǒng)完全相同的特性，通過復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出了子系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣的公式。該方法不需要對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行物理解耦，也無需知道相耦合的另一子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，根據(jù)系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣即可得到解耦子系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。

值得注意的是，LPD方法與本文所得出的結(jié)論有相似之處，但是該方法并未將內(nèi)部自由度（非耦合處的自由度）考慮進(jìn)來，而傳遞路徑分析中，所感興趣的響應(yīng)點(diǎn)通常是子系統(tǒng)的內(nèi)部自由度，因此，該方法有一定的局限性。

本文首先給出傳統(tǒng)的TPA模型，在線性假設(shè)和彈性假設(shè)的基礎(chǔ)上，可以將路徑簡(jiǎn)化成線性彈簧和阻尼的組合。然后通過系統(tǒng)的頻響函數(shù)推導(dǎo)出解耦子系統(tǒng)的頻響函數(shù)。最后，通過數(shù)值算例和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文所提出方法的正確性。

1TPA基本理論及耦合系統(tǒng)模型

TPA理論將振動(dòng)系統(tǒng)分成主動(dòng)部分A、傳遞路徑和被動(dòng)部分B。激勵(lì)力作用在主動(dòng)部分上，通過若干條傳遞路徑將振動(dòng)傳遞到被動(dòng)部分上。典型的TPA模型如圖1所示。

被動(dòng)部分上的目標(biāo)點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)可以看成是所有路徑對(duì)該點(diǎn)響應(yīng)的貢獻(xiàn)之和。TPA的基本公式可以表示成yi=∑jHijFj（1）式中yi表示目標(biāo)點(diǎn)i的響應(yīng)，F(xiàn)j表示第j條傳遞路徑上傳遞的力，Hij表示力Fj到響應(yīng)yi的頻響函數(shù)。從式（1）中可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用傳遞路徑分析方法必須測(cè)量被動(dòng)部分的頻響函數(shù)。為了簡(jiǎn)化分析，對(duì)圖1所示系統(tǒng)作如下假設(shè)：（1）系統(tǒng)為線性的；（2）連接子系統(tǒng)A和B的路徑具有足夠大的彈性，確保路徑傳遞力時(shí)有充分的變形量；（3）子系統(tǒng)A和B之間相互耦合的自由度是一一對(duì)應(yīng)的，即子系統(tǒng)之間不存在多個(gè)自由度對(duì)一個(gè)自由度的耦合。

假設(shè)（1）保證了可以通過頻響函數(shù)矩陣來描述系統(tǒng)，本文的結(jié)論是在線性假設(shè)的前提下得到的。在許多情況下，系統(tǒng)可以做近似線性假設(shè)。假設(shè)（2）保證了對(duì)頻響函數(shù)矩陣進(jìn)行求逆運(yùn)算時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)奇異性。假設(shè)（3）使得模型更加簡(jiǎn)化，便于分析，且該假設(shè)在大多數(shù)情況下是能夠滿足的。通過上述幾點(diǎn)假設(shè)，可以將各傳遞路徑簡(jiǎn)化成線性彈簧和阻尼的組合。上述的傳遞路徑模型實(shí)際上就是兩個(gè)子系統(tǒng)通過線性彈簧和阻尼相互耦合起來的振動(dòng)系統(tǒng)。

2子系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣計(jì)算方法

假設(shè)在向量XAC和XBC中各自自由度排列順序是一致的，即XAC的第n個(gè)元素和XBC中第n個(gè)元素正好代表一對(duì)耦合自由度，XAC-XBC則表示由各條路徑上的變形量所構(gòu)成的一組向量。式（8）的物理意義非常清楚，就是將子系統(tǒng)B上的的響應(yīng)表達(dá)成三部分之和。第一部分是作用于子系統(tǒng)B上的外力所產(chǎn)生的對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，第二部分是由于連接子系統(tǒng)A和B的路徑的變形所導(dǎo)致的對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，第三部分則是由于子系統(tǒng)A內(nèi)部自由度上的位移所導(dǎo)致的對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)。

該方法也適用于計(jì)算子系統(tǒng)A的頻響函數(shù)矩陣?？梢钥闯?，公式（10）中存在矩陣求逆運(yùn)算。如果子系統(tǒng)之間的路徑不具有足夠大的彈性，那么HAcAi和HBcAc以及HAcAc和HBcAc將會(huì)十分接近，這樣將導(dǎo)致矩陣求逆時(shí)出現(xiàn)奇異性問題。上一節(jié)中所做出的假設(shè)（2）就是為了保證矩陣求逆時(shí)不會(huì)出現(xiàn)奇異性問題。公式（10）給出了一般情況下計(jì)算子系統(tǒng)頻響函數(shù)的計(jì)算公式，在該公式中包括了所有自由度的信息。實(shí)際上，對(duì)于計(jì)算子系統(tǒng)頻響函數(shù)，所有的耦合自由度信息的確是必不可少的，而內(nèi)部自由度信息則并不是必須知道的。如果不考慮某個(gè)子系統(tǒng)的內(nèi)部自由度，則將式（10）中與該內(nèi)部自由度有關(guān)的部分用空矩陣替代即可。比如，如果子系統(tǒng)A和B上的內(nèi)部自由度均不考慮，即XAi和XBi均為空向量。這種情況下，式（10）中所有下角標(biāo)中含有i的項(xiàng)將消失。式（10）將退化成HB=HBB-HBA（HAA-HBA）-1HAB-HBB（11）這與文獻(xiàn)[17]中的結(jié)論完全一致，說明文獻(xiàn)[17]的結(jié)論是本文結(jié)論的一個(gè)特例，即在不考慮任何內(nèi)部自由度的情況下所得出的結(jié)論。而在實(shí)際情況下，通常是要考慮內(nèi)部自由度的。比如，對(duì)由發(fā)動(dòng)機(jī)傳遞至車身某處的振動(dòng)進(jìn)行傳遞路徑分析，作者所感興趣的這個(gè)響應(yīng)點(diǎn)就是一個(gè)內(nèi)部自由度。因此，本文所提出的方法更具有普適性。

3數(shù)值算例

為驗(yàn)證上一節(jié)所提出的方法的正確性，建立如圖2所示的8自由度振動(dòng)系統(tǒng)模型。該模型中包含兩個(gè)子系統(tǒng)，即主動(dòng)部分子系統(tǒng)A和被動(dòng)部分子系統(tǒng)B。兩個(gè)子系統(tǒng)之間通過3條由線性彈簧和阻尼組成的路徑相連接。子系統(tǒng)A所產(chǎn)生的振動(dòng)通過三條路徑傳遞至子系統(tǒng)B上。模型參數(shù)如表1所示。

自由度類型所包含的自由度主動(dòng)部分內(nèi)部自由度Aim1主動(dòng)部分耦合自由度Acm2， m3， m4被動(dòng)部分耦合自由度Bcm5， m6， m7被動(dòng)部分內(nèi)部自由度Bim8

根據(jù)表2所做的自由度類型劃分，可以將式 （13）所計(jì)算得到的系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣表示成如式（3）的分塊矩陣的形式。然后再根據(jù)所得出的分塊運(yùn)用式（10）進(jìn)行計(jì)算，可以求出子系統(tǒng)B的頻響函數(shù)矩陣。將該計(jì)算結(jié)果與直接計(jì)算子系統(tǒng)B的頻響函數(shù)矩陣所得到的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖3所示，發(fā)現(xiàn)兩種方法計(jì)算結(jié)果完全一致，證明了所提出的方法的正確性。

4實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提出方法的正確性及其在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，通過如圖6（a）所示的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)對(duì)象為由兩塊鋼板通過4個(gè)彈簧相互連接而成的系統(tǒng)。下面的鋼板通過4個(gè)彈簧與臺(tái)面相連接。上面的鋼板為子系統(tǒng)A，下面的鋼板為子系統(tǒng)B?？偣部紤]9個(gè)自由度，分別是兩塊鋼板與彈簧的連接處共8個(gè)點(diǎn)以及位于下面一塊鋼板上的目標(biāo)響應(yīng)點(diǎn)9（如圖6（b）所示）。首先，測(cè)量整個(gè)系統(tǒng)的9×9的頻響函數(shù)矩陣，然后根據(jù)本文所提出的方法求取下面鋼板的在解耦狀態(tài)下的5×5頻響函數(shù)矩陣，從而實(shí)現(xiàn)子系統(tǒng)的解耦。

選取5×5頻響函數(shù)矩陣中與TPA有關(guān)的四個(gè)頻響函數(shù)進(jìn)行分析，將其與直接測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖7所示。

從圖7中可以看出，本文方法所得出的結(jié)果與直接測(cè)量的結(jié)果比較接近，進(jìn)一步證明了本文方法的正確性。測(cè)量誤差主要來自于頻響函數(shù)測(cè)量時(shí)傳感器布置及力錘敲擊時(shí)的位置偏差。

5結(jié)論

（1） 提出了一種計(jì)算子系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣的新方法。該方法不需要拆除子系統(tǒng)，只需要知道整體的頻響函數(shù)矩陣即可推導(dǎo)出子系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，大大縮短了測(cè)量子系統(tǒng)頻響函數(shù)所需要的時(shí)間。

（2） 傳遞路徑分析中被動(dòng)部分子系統(tǒng)的頻響函數(shù)的測(cè)量，可以用本文所提出的解耦方法進(jìn)行計(jì)算。

（3） 用所提出的方法計(jì)算子系統(tǒng)頻響函數(shù)時(shí)，耦合點(diǎn)的信息必須是已知的，即所測(cè)量的整體系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣中必須包括所有的耦合點(diǎn)在內(nèi)。在條件允許的情況下，運(yùn)用非接觸式測(cè)量會(huì)獲得更好的結(jié)果。

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Abstract： Transfer path analysis（TPA） is a widely used and effective method in the field of vibration and noise control. In TPA， vibrational systems are divided into the active part， passive part and some transfer paths through which the active and passive parts are connected. In TPA， it is necessary to measure the frequency response functions（FRFS） of the passive part. In classical TPA， the substructure needs to be disassembled firstly and then the frequency response function is measured. Therefore， the test process is very cumbersome. In this paper， a novel method is proposed to calculate the FRFs of the subsystem. The formulation of the FRF matrix of the subsystem is derived from the FRF matrix of the whole system directly. Obviously， the proposed method does not require the physical decoupling of subsystems. Consequently， the time required to measure the frequency response function of the subsystem is greatly shorten. The correctness and effectiveness of this method are validated by a numerical case and an experimental case.

Key words： subsystem； transfer path analysis； frequency response function； decoupling