“數(shù)”里有乾坤

洪菲菲

“平均數(shù)”是“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容之一。日常生活中，平均數(shù)經(jīng)常由計(jì)算得到，因此，以往的教學(xué)忽略了其統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，甚至將之納入了解決問(wèn)題的范疇。換言之，學(xué)生會(huì)“算”平均數(shù)，卻不能從“平均數(shù)”入手進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，作出決策。其實(shí)，計(jì)算也好，分析也罷，兩者不可偏廢。尤其在先前“重計(jì)算輕分析”的錯(cuò)誤傾向影響下，教師更應(yīng)當(dāng)重視對(duì)其統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的挖掘，從對(duì)平均數(shù)的分析中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。對(duì)平均數(shù)的認(rèn)識(shí)，應(yīng)該經(jīng)歷從“線—面—體”的不斷充實(shí)、逐漸豐滿的過(guò)程。

一、 線——溝通聯(lián)系，建立概念

在概念建立之初，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生理解“平均數(shù)”的真正內(nèi)涵。如果片面地側(cè)重于計(jì)算，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生平均數(shù)是一個(gè)“計(jì)算結(jié)果”的先入為主的認(rèn)知，這對(duì)于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中建立數(shù)據(jù)分析觀念是不利的。

學(xué)生在日常生活中已經(jīng)積累了一些關(guān)于“平均數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)，例如，教師經(jīng)常告知學(xué)生每單元考試的班級(jí)平均分等等。因此，學(xué)生大都認(rèn)為平均數(shù)是計(jì)算得來(lái)的，對(duì)其中“移多補(bǔ)少”過(guò)程的認(rèn)識(shí)基本屬于空白。平均數(shù)就是將幾個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行“移多補(bǔ)少”之后所得到的“一樣多的那個(gè)數(shù)”，計(jì)算背后的實(shí)質(zhì)也是“移多補(bǔ)少”。因此，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)突出“移多補(bǔ)少”求平均數(shù)的過(guò)程，幫助學(xué)生建立平均數(shù)的概念；同時(shí)，溝通“先合后分”（即計(jì)算）與“移多補(bǔ)少”的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生完善對(duì)平均數(shù)概念的理解。

在這部分教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)好生活情境，使學(xué)生在“找一組數(shù)據(jù)的代表”的過(guò)程中，感受到平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)“一般水平”的本質(zhì)意義。同時(shí)，在數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)上要花心思，使學(xué)生產(chǎn)生“移多補(bǔ)少”或者“先合后分”的需要。課伊始，教師可以設(shè)置人數(shù)不等的兩支球隊(duì)（男生隊(duì)和女生隊(duì)）進(jìn)行“一分鐘投籃比賽”的情境。由于兩隊(duì)的人數(shù)不等，學(xué)生以往“算總數(shù)”的方法在這里并不適用。找兩隊(duì)各自的“最大值”作為數(shù)據(jù)代表進(jìn)行比較不合適，找“最小值”亦然。在這種矛盾沖突中，學(xué)生產(chǎn)生了新的疑惑——“到底找哪個(gè)數(shù)來(lái)代表整支隊(duì)伍的一般水平呢？”教師在數(shù)據(jù)大小的設(shè)置上要巧花心思，力求使“移多補(bǔ)少”的思路水到渠成。例如，男生隊(duì)的三名隊(duì)員投籃數(shù)量分別為6個(gè)、5個(gè)和4個(gè)（且用象形圖進(jìn)行顯示）。學(xué)生在尋找代表男生隊(duì)投籃一般水平的數(shù)時(shí)，容易想到“移多補(bǔ)少”，從而找到“5”這個(gè)平均數(shù)?！耙贫嘌a(bǔ)少”的思維過(guò)程，是學(xué)生對(duì)平均數(shù)的第一次親密接觸，在移補(bǔ)的過(guò)程中，他們對(duì)平均數(shù)的產(chǎn)生及其意義有了初步的理解。接著，教師可以設(shè)置另一組數(shù)據(jù)——四個(gè)小組投籃的個(gè)數(shù)分別為39個(gè)、24個(gè)、31個(gè)、50個(gè)，讓學(xué)生算一算平均每組投籃多少個(gè)。由于數(shù)據(jù)變大，且數(shù)據(jù)顯示方式由象形圖改為了條形圖，學(xué)生進(jìn)行“移多補(bǔ)少”時(shí)產(chǎn)生了困難，由此自然產(chǎn)生了“先合后分”的計(jì)算想法。這里，計(jì)算不是舊有經(jīng)驗(yàn)的重現(xiàn)，也不是教師的教授給予，而是學(xué)生自然生發(fā)的需要。學(xué)生在計(jì)算之后，教師應(yīng)當(dāng)利用多媒體課件再現(xiàn)“39、24、31、50”這四個(gè)數(shù)據(jù)之間“移多補(bǔ)少”的過(guò)程（如圖1），溝通“移多補(bǔ)少”與“先合后分”之間的聯(lián)系，使學(xué)生感受到計(jì)算背后的實(shí)質(zhì)仍是“移多補(bǔ)少”，從而建立對(duì)“平均數(shù)”概念的正確認(rèn)識(shí)。

二、 面——多維思考，深化理解

學(xué)生建立了平均數(shù)的概念，學(xué)會(huì)了求平均數(shù)的方法，這還只是對(duì)平均數(shù)的初步感知。要實(shí)現(xiàn)在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，還得引導(dǎo)學(xué)生從多角度對(duì)平均數(shù)進(jìn)行探索，理解平均數(shù)的諸多特點(diǎn)。

平均數(shù)具有敏感性，容易受到一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)變化的影響；平均數(shù)總是介于一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之間；一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)與平均數(shù)之間的離均差之和等于0……平均數(shù)的這些特點(diǎn)，不能通過(guò)說(shuō)教的方式讓學(xué)生接受，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)據(jù)分析的過(guò)程中自然而然地體會(huì)和感悟。為此，本節(jié)課教學(xué)中，教師可以巧妙地設(shè)計(jì)“問(wèn)題串”，引導(dǎo)學(xué)生在思考的過(guò)程中對(duì)平均數(shù)“抽絲剝繭”，深化對(duì)平均數(shù)的理解和認(rèn)識(shí)。

男生隊(duì)和女生隊(duì)之前因?yàn)槿藬?shù)不等，所以以平均數(shù)為數(shù)據(jù)代表“一決勝負(fù)”。由于男生隊(duì)比女生隊(duì)少1人，教師可以設(shè)置男生隊(duì)要求“加1人”再比賽的要求。而多出的這一個(gè)人，正是引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入思考的契機(jī)點(diǎn)。男生隊(duì)之前三個(gè)人的投籃個(gè)數(shù)分別是6個(gè)、4個(gè)和5個(gè)，四號(hào)隊(duì)員投籃的數(shù)量會(huì)對(duì)平均數(shù)產(chǎn)生影響嗎？這個(gè)問(wèn)題具有比較大的拓展空間。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）如果四號(hào)隊(duì)員投籃個(gè)數(shù)是5個(gè)，男生隊(duì)的平均數(shù)會(huì)變嗎？為什么？

（2）如果四號(hào)隊(duì)員投籃個(gè)數(shù)是6個(gè)，男生隊(duì)的平均數(shù)會(huì)變嗎？變化大嗎？

（3）如果四號(hào)隊(duì)員投籃個(gè)數(shù)是9個(gè)或者13個(gè)，男生隊(duì)的平均數(shù)會(huì)變嗎？變化大嗎？

在這一系列問(wèn)題的思考與討論中，學(xué)生會(huì)感受到：如果新增的數(shù)據(jù)與平均數(shù)相同，那么平均數(shù)不會(huì)發(fā)生變化；新增的數(shù)據(jù)與原平均數(shù)差距越大，平均數(shù)的變化也就越大（即平均數(shù)容易受到極端數(shù)據(jù)的干擾和影響）。

在討論“全班平均每個(gè)小組投籃多少個(gè)”（即求39、24、31、50的平均數(shù)）這一問(wèn)題時(shí)，教師先不要急著讓學(xué)生找平均數(shù)，可以讓學(xué)生先估一估平均數(shù)大概是多少。教師可以繼續(xù)提問(wèn)：“它們的平均數(shù)可能是24嗎？可能是50嗎？為什么？”在說(shuō)理的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)平均數(shù)介于最大值與最小值之間會(huì)有切身的體會(huì)。在找到平均數(shù)之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察條形圖，找一找各個(gè)數(shù)據(jù)超過(guò)平均數(shù)的部分與不到平均數(shù)的部分之間有什么關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離均差之和等于0。

總之，教師要讓學(xué)生在觀察、思考、討論的過(guò)程中，對(duì)平均數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行較為深入的剖析和認(rèn)識(shí)。只有體會(huì)到平均數(shù)的這些本質(zhì)特點(diǎn)，才能感受到其統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，理解其在數(shù)據(jù)分析及判斷決策等方面的作用。

三、 體——深入淺出，適度拓展

學(xué)生在學(xué)習(xí)了平均數(shù)的概念和求法之后，難免會(huì)產(chǎn)生一個(gè)疑問(wèn)：“學(xué)習(xí)平均數(shù)有什么用？”如果學(xué)生的意識(shí)中，對(duì)平均數(shù)的價(jià)值只停留在作為判斷勝負(fù)的一個(gè)依據(jù)上，那么，學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的建立會(huì)顯得蒼白無(wú)力。教師應(yīng)該設(shè)置富有生活氣息的情境，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際生活情境中分析平均數(shù)，運(yùn)用平均數(shù)進(jìn)行判斷和決策，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的最終目的。

1.感受平均數(shù)的“虛擬性”

平均數(shù)并不是一組數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)，它代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)的“虛擬性”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)略顯抽象，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生回歸生活，從實(shí)際生活中去體會(huì)和感悟。例如，學(xué)?；@球隊(duì)員的平均身高是160cm，籃球隊(duì)員明明是不是就一定比亮亮（158cm）高呢？通過(guò)類似問(wèn)題的辨析，學(xué)生對(duì)平均數(shù)的“虛擬性”會(huì)有更深刻的體會(huì)，也更能體會(huì)到平均數(shù)的本質(zhì)意義。

2.感受樣本平均數(shù)的價(jià)值

生活中，我們經(jīng)常會(huì)從一組數(shù)據(jù)中取一些樣本來(lái)計(jì)算平均數(shù)，并用這個(gè)平均數(shù)來(lái)代表全體數(shù)據(jù)的整體水平，這是樣本平均數(shù)在生活中的廣泛應(yīng)用。在本節(jié)課教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)一些相關(guān)的生活情境，使學(xué)生體會(huì)到抽樣計(jì)算平均數(shù)的實(shí)際價(jià)值。例如，通過(guò)計(jì)算四顆大小不一的橙子的平均重量，就可以大致推算出一箱橙子（30個(gè)）的總重量。通過(guò)這樣的練習(xí)，使學(xué)生體會(huì)到平均數(shù)在日常生活中的應(yīng)用價(jià)值。

3.感受加權(quán)平均數(shù)的意義

本節(jié)課，學(xué)生主要是要認(rèn)識(shí)“算術(shù)平均數(shù)”，然而當(dāng)一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)的權(quán)重發(fā)生變化時(shí)，平均數(shù)也會(huì)隨之發(fā)生微妙的變化。如何讓學(xué)生體會(huì)到其中權(quán)重的微妙變化，使之對(duì)平均數(shù)的認(rèn)識(shí)更加豐滿而全面呢？我們對(duì)教材的處理既要深入，更要淺出。教學(xué)中，可以設(shè)置學(xué)生熟悉的購(gòu)買糖果的情境。水果糖每千克9元，牛奶糖每千克15元，將1千克水果糖和1千克牛奶糖混合成什錦糖，這種什錦糖每千克多少元呢？解決這道題目，是對(duì)本節(jié)課知識(shí)的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，如果想用10元錢購(gòu)買1千克什錦糖，這1千克什錦糖里，哪種糖多、哪種糖少呢？如果用14元購(gòu)買1千克什錦糖，里面的糖又是怎樣搭配的呢？在漸次深入思考的過(guò)程中，學(xué)生能感覺(jué)到數(shù)據(jù)的權(quán)重發(fā)生變化所導(dǎo)致的平均數(shù)的變化。這里，只輕輕地幫學(xué)生打破數(shù)據(jù)權(quán)重的平衡，而不去探究各個(gè)數(shù)據(jù)的權(quán)重到底是多少。其教學(xué)旨?xì)w僅在于豐富對(duì)平均數(shù)的認(rèn)識(shí)，而不對(duì)此做更深入的探索。

4.感受平均數(shù)的“離散性”

平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，能幫助我們對(duì)事件做出判斷和決策。相同的平均數(shù)，其背后各組數(shù)據(jù)的離散程度可能有所不同，因此在做決策判斷時(shí)，還得結(jié)合實(shí)際情況具體分析。這樣的數(shù)據(jù)分析過(guò)程，正是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的良好抓手。教學(xué)中，可以設(shè)置這樣的練習(xí)情境，兩名學(xué)生平均每分鐘跳繩110次，該選誰(shuí)參加年段跳繩比賽呢？雖然兩名學(xué)生每分鐘跳繩的平均數(shù)相同，但他們5次的跳繩成績(jī)情況大不相同。一名學(xué)生成績(jī)穩(wěn)定在“110次”左右，離散程度較??；一名學(xué)生成績(jī)忽高忽低，離散程度較大。這時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)問(wèn)題：如果全年段學(xué)生平均每分鐘跳繩106次，該選誰(shuí)參賽？如果我們班的對(duì)手平均每分鐘跳繩120次，該選誰(shuí)參賽？學(xué)生在思考問(wèn)題的過(guò)程中，必須要根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而做出決策。這樣的思考過(guò)程，既能讓學(xué)生感受到平均數(shù)背后數(shù)據(jù)的離散程度所帶來(lái)的影響，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。