例析“點差法”巧解圓錐曲線的中點弦問題

杜彥杰

(黑龍江省齊齊哈爾市民族中學，161006)

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例析“點差法”巧解圓錐曲線的中點弦問題

杜彥杰

(黑龍江省齊齊哈爾市民族中學，161006)

直線與圓錐曲線相交所得中點弦問題,是解析幾何的重要內(nèi)容之一,也是高考中經(jīng)久不衰的熱點．此類問題若用一般解法,不僅過程繁瑣,而且運算量大又容易出錯,而利用“點差法”解決這類問題,常常能起到化繁為簡、出奇制勝的效果．

本文采擷課本和近三年高考試卷中若干中點弦問題,從不同的視角加以審視歸納,分類例說“點差法”在解此類問題中的巧用,希望對大家有所幫助．

一、斜率之積為定值的問題

例1(2015年全國高考題)已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點O且不平行于坐標軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.(1)證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;(2)略．

證明(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).由題意,得

∵A,B兩點在橢圓上,

兩式相減,得

9(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,

∴kAB·kOM=-9,即直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．

評注題中涉及直線的斜率與弦的中點坐標問題,故可以采取“點差法”．其解題步驟:一是設(shè)出弦的兩端點坐標;二是代入圓錐曲線方程;三是作差:兩式相減,再用平方差公式把上式展開；四是整理:轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標的關(guān)系式,然后求解．

二、圓錐曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題

解(1)如圖1，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0),則

x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.

由題意知,m≠0,

A,B兩點在橢圓上,

兩式相減,得

(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0，

評注圓錐曲線中的對稱問題綜合性較強,在求解時,應(yīng)抓住“斜率互為負倒數(shù)”與“中點”兩個關(guān)鍵點．本題利用“點差法”,求得弦中點的坐標,然后利用中點與橢圓的位置關(guān)系(即中點在橢圓內(nèi))求解參數(shù)的取值范圍,簡單明了．

三、直線與圓、拋物線位置關(guān)系的問題

例3(2015年四川高考題)設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M,且M為線段AB中點.若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是()

(A)(1,3)(B)(1,4)

(C)(2,3)(D)(2,4)

解顯然,當直線l的斜率不存在時,必有兩條直線滿足題設(shè)．

當直線l的斜率存在時,設(shè)斜率為k.如圖2，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠x2,M(x0,y0),則有

y1+y2=2y0.

∵A,B兩點在拋物線上,

兩式相減，得

(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),

設(shè)圓的圓心為C,由題意知CM⊥AB,

∴x0=3. ∴點M必在直線x=3上.

將x=3代入y2=4x,得y2=12，

又∵點M在圓(x-5)2+y2=r2(r>0)上,

又由題意知,當k存在時,y0≠0,

因此有 4

∴選D.

評注本題意在考查直線與圓及拋物線的位置關(guān)系、參數(shù)的取值范圍等問題．求解時利用“點差法”,求得點M所在的軌跡方程,然后利用點M與圓、拋物線的位置關(guān)系,得到r的取值范圍,計算量較少．需要注意的是,在利用“點差法”時,要求中點弦的斜率必須存在，因此,首先要根據(jù)題意,討論斜率的存在性；而對于斜率不存在的情況,可由題意直接進行判斷得出結(jié)論．

四、平分線段問題

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點,T為直線x=-3上任意一點,過F作TF的垂線交橢圓C于點P,Q．(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標原點);(ii)略．

(2)(i)證明:如圖3，由(1)可得,F的坐標為(-2,0).設(shè)T點的坐標為(-3,m),則直線TF的斜率kTF=-m.

當m=0點時,顯然OT平分線段PQ；

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點為M(x0,y0),則

x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.

∵P，Q兩點在橢圓上,

兩式相減,得

(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0,

所以點M在直線OT上,因此OT平分線段PQ．

評析此題在標準答案中用的是一般解法,即利用韋達定理并結(jié)合中點坐標公式求解,運算量較大,現(xiàn)利用“點差法”求解,大大優(yōu)化了解題過程．

五、求圓錐曲線方程的問題

(1)求M的方程;(2)略．

解(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則

x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.

∵A,B兩點在橢圓M上,

兩式相減,得

b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,

∴a2-b2=3.

因此,a2=6,b2=3，

六、求離心率和的有關(guān)問題

解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

∵M(1,1)是線段AB的中點,

∴x1+x2=2,y1+y2=2.

∵A,B兩點在橢圓上,

兩式相減,得

b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,

評析本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓的簡單幾何性質(zhì),題中涉及弦的中點及其斜率,用“點差法”解決此類問題很方便．