間接測量中不確定度計算
——乒乓球轉動慣量

曹先勝，吉高峰

(常州大學，江蘇 常州　213164)

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*通訊聯(lián)系人

間接測量中不確定度計算
——乒乓球轉動慣量

曹先勝*，吉高峰

(常州大學，江蘇 常州213164)

摘 要：通過測量乒乓球轉動慣量，介紹了間接測量中的不確定度傳遞和計算。研究發(fā)現乒乓球的質量是影響其轉動慣量的主要因素，而內、外直徑則是影響較小因素。

關鍵詞：轉動慣量；不確定度；間接測量

眾所周知，在科學測量中誤差總是存在的、是不可避免的、是不能消除的。唯一能做到的是盡量減小誤差，提高測量可靠度。盡管目前已有許多文獻和教科書都詳細介紹了物理測量中的不確定度[1-5]，但利用相對簡單、廉價的試驗來直觀介紹不確定度中的一些基本概念仍然是有必要的。本文通過測量乒乓球的轉動慣量來實現上述目的。近來Pauchard和Rica研究了乒乓球形變特性[6]。Paulo和Gutemberg研究了乒乓球的厚度和密度[7]。但對乒乓球的轉動慣量的研究還是比較少的。而轉動慣量是乒乓球非常重要的一個物理量。

為此，本文首先介紹測量值和其不確定度的表達方式，重點介紹間接測量物理量的不確定度的傳遞關系。為計算各測量物理量間的變化關系，本文采用Paulo等人的方法[7]討論了變異系數，此方法廣泛應用于金融市場分析中[8]。

1理論

1.1球體

一般球的體積為：

(1)

其中d球體的直徑.

于是，若乒乓球被灌滿水時，乒乓球的內直徑RI:

(2)

其中：Vw是灌滿乒乓球的水的體積。

直徑為R的球體繞z-軸轉動(通過球心)時的轉動慣量(I)

(3)

其中ρ球體的質量密度.

于是，球殼(乒乓球)的轉動慣量(IS):

(4)

其中:RE、RI為球殼(乒乓球)的外、內直徑,m為球殼(乒乓球)的質量。

1.2不確定度

不確定度不僅能用來描述的測量的可靠性，還能反映測量的精度。當人們執(zhí)行測量任務時，首先需要根據要求的不確定度來制定測量計劃，并根據測量此計劃選擇合適的儀器和實驗環(huán)境。不確定度是由兩部分組成：系統(tǒng)不確定度和隨機不確定度。隨機不確定度可通過統(tǒng)計的方法予以消除，而系統(tǒng)不確定度是難以評估或檢測，但可通過儀器校準來減小系統(tǒng)誤差 (本實驗主要指的是游標卡尺和物理分析天平)。

在本實驗中系統(tǒng)不確定度僅由儀器的不確定度所組成，而隨機不確定度由多次、隨機測量不確定度(測量置信度為95%，且滿足學生t分布)所組成。

(5)

其中:N為測量次數.從公式5不難發(fā)現要想提高精度20倍，需增加測量次數400倍。而且系統(tǒng)誤差并不能通過增加測量次數而減小，所以最好提高精度的辦法是提高每次測量的精度。

當測量次數接近無窮時，測量的物理量的概率密度遵從正態(tài)分布。當減少測量次數時，概率密度變扁平，呈t-分布，又稱學生分布；當測量次數趨于無窮時，t-分布又再一次變成正態(tài)分布。t-分布常被用來計算測量次數較少(如10次，小于30次)時的不確定度，在可信度95%時，隨機不確定度為標準差的2.262倍[9]。于是最終的不確定度δx為 (6):

(6)

試驗中，有許多物理量不能直接通過測量獲得，而需經過測量其它物理量而間接獲得。于是，當一個物理量涉及間接測量時，其不確定度計算分為兩步：第一步是確定直接測量的物理的不確定度，第二步是確定上述直接不確定度時怎樣進行‘傳遞’的，換句話說就尋找它們之間的函數關系式，從而計算出最終的不確定度。

不確定度δx與相對不確定度之間的關系如下：

相對不確定度=δx/|x|

(7)

其中|x|是x的期望值，相對不確定度是無量綱量。

(8)

通過簡單的計算可得不確定度δf:

(9)

變異系數CV(%))是衡量實驗中各測量量數值變異程度的一個統(tǒng)計量[4]，它的定義為標準偏差與平均值的比值：

(10)

變異系數可以消除單位和(或)平均數不同對兩個或多個資料變異程度比較的影響。

2實驗材料與方法

5個同一廠家同一型號的乒乓球，并且分別用數字1-5在球上進行標示。第一步：用精度為0.005cm的游標卡尺對每個乒乓球外直徑進行10次的測量，且每次測量時位置不同，于是得到50個測量值。第二步：用精度為5mg的分析天平對每個乒乓球進行10次測量；第三步：利用注射器給每個乒乓球注滿水。由于注射器的針頭直徑較小，所以對乒乓球形狀影響較小可忽略。第四步：利用上述同一分析天平進行對每個注滿水的乒乓球進行10次測量。于是，得到以下測量量：乒乓球的外直徑(RE)、空乒乓球的質量(ME)、注滿水的乒乓球的質量(Mw)。通過一些簡單計算還可得到以下物理量：乒乓球注滿水時的水的體積(即乒乓球內體積)(Vw)、乒乓球的內直徑(RI)。最后，利用公式4，計算出乒乓球的轉動慣量。

3實驗結果

見表。

注：倒數第3行中括號里的數字表示的是不確定度，例如3.975(5)cm表示的是 (3.975 ± 0.005)cm

注：括號里的不確定度根據方程5計算，乒乓球內體積即水的體積

注：內直徑根據公式(3)計算出來

注：乒乓球的轉動慣量的不確定度(δIS)通過它的平均值(|IS|) 乘以空乒乓球質量的相對不確定度(δm/|m|)與其內、外直徑的相對不度額定度之和(δR/|R|)(如公式9)

4討論

分析表1-5，不難發(fā)現測量數據(乒乓球的質量、外直徑、充滿水時的質量)與文獻5的結果相似。這是由于實驗所使用的乒乓球是一星級的常用乒乓球，其質量在2.35到2.63g之間，圓度誤差小于0.25mm，硬度小于1.10mm。這類乒乓球常用于學校、軍隊等其它業(yè)余比賽活動。換句話說，實驗中用的乒乓球是最常用普通乒乓球，在普通市場均買到。

所以不難得到以下結論：空乒乓球的質量是影響其轉動慣量的主要因素，而內、外直徑則是次要因素。這主要是由內外直徑間相差較小所致。

乒乓球2的外直徑的變異系數最大，球4和5最小(表1)；空乒乓球4和5質量的變異系數相等，球1-3的變異系數也相等，但前者小于后者。注滿水時乒乓球質量的變異系數均相等。所以球4和5的數據測量較為集中，離散度較小。

5結論

本文介紹了物理實驗中的不確定度的一些基本概念(如不度額定度傳遞性)并通過測量乒乓球的轉動慣量來驗證。驗證發(fā)現空乒乓球的質量是影響對其轉動慣量的主要因素，而內、外直徑卻是次要因素。并利用變異系數來評估測量的實際變化。

參考文獻：

[1]TaylorJ.R.AnIntroductiontoErrorAnalysis[M].theStudyofUncertaintiesinPhysicalMeasurements2ndedn,1997,(Sausalito,CA:UniversityScienceBooks)

[2]BraddickH.J.J.ThePhysicsofExperimentalMethod[M].1956,(London:ChapmanandHall).

[3]GrabeM.MeasurementUncertaintiesinScienceandTechnology[M].2005,(NewYork:Springer).

[4]婁航宇，王威，孫維民.三線擺測量轉動慣量方法的改進及確定度分析[J].大學物理實驗，2015(6)：102-105.

[5]胡勇，王嚴東.淺議物理實驗測量誤差和不確定度的異同[J].大學物理實驗，2015(1)：93-95.

[6]PauchartLandRicaS.Contactandcompressionofelasticsphericalshells:thephysicsofa‘ping-pong’ball[J].1998,Phil.Mag.78 225-233.

[7]PauloAdeSouzaJrandGutembergHespanhaBrasil,Assessinguncertaintiesinasimpleandcheapexperiment[J].Eur.J.Phys,2009,30 615-622.

[8]PangKW,Wing-TongY.B.MarvinTandHouS.H.Asimulation-basedapproachtothestudyofcoefficientofvariationofdividendyields[J].Eur.J.Oper.Res.2008,189,559-569.

[9]OttR.L.andLongneckerM.AnIntroductiontoStatisticalMethodsandDataAnalysis5thedn[M].2001(PacificGrove,CA:Duxbury).

AssessingUncertaintyofIndirectMeasurementinaSimpleExperiment

CAOXian-sheng

(ChangzhouUniversity,JiangsuChangzhou213164)

Keywords：rotationalinertia；uncertainty；indirectmeasurement

Abstract：Itdescribeshowtocalculatemeasurementuncertaintiesusingasapracticalexampletheassessmentoftherotationalinertiaofthesphericalshelloftheping-pongballs.Themassesoftheemptyping-pongballsaretheinfluenceoftherotationalinertiaoftheping-pongballmajorfactor,internalandexternaldiameterlessinfluencefactors.

收稿日期：2016-01-31

文章編號：1007-2934(2016)03-0122-04

中圖分類號：O4-34

文獻標志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.003.032