數(shù)學實驗讓課堂更有數(shù)學味
——以“正方體表面的涂色問題”教學為例

石桂花

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數(shù)學實驗讓課堂更有數(shù)學味
——以“正方體表面的涂色問題”教學為例

石桂花

數(shù)學家歐拉曾說：“數(shù)學這門科學需要觀察，也需要實驗。學生應重走人類掌握數(shù)學的歷程，從直觀具體的實驗階段走入抽象理論階段?！睂徱暷壳笆褂玫臄?shù)學新教材，新增了實踐與綜合應用、直觀與幾何、幾何變化、概率與統(tǒng)計等內容，這些內容的完成同樣離不開實驗。下面以蘇教版教材六年級上冊的思考題“正方體表面的涂色問題”教學為例，展示我們的研究過程和思考。

一、游戲導入，發(fā)現(xiàn)問題

師：（展示一個由27個小正方體拼成的大正方體，表面被涂上顏色）同學們，這節(jié)數(shù)學課咱們來做點有趣的事情，玩魔方，怎么樣？我給大家?guī)砹艘粋€大號的魔方。你知道它是由多少個這樣的小正方體拼成的嗎？是怎么算的？

生1：這個魔方可以一眼就看出來，是由3×3× 3=27（個）小正方體組成的。

師：你說的3是指什么？

生1：3是指正方體的一條棱邊有3個小正方體，它的棱長就是3個單位，所以可以這樣計算。

師：說得真清楚。這個魔方就是一個棱長為3個單位的大正方體，它的表面，也就是6個面全部被涂上了藍色。（把魔方舉得更高給大家看，手不小心抖動了一下，魔方瞬間散掉了）啊呀，壞了！魔方散落了就玩不成了，怎么辦呢？

生2：把它撿回來拼好，可以繼續(xù)玩?。ń處煋炱鹕⒙涞哪Х狡磾[好并展示在實物投影儀上）

生3：老師拼錯啦，好多個位置都不對，那個3個面涂色的要拼在最上邊的最外面。

生4：那個2面涂色的不能放在邊上，要挪過去。

……

師：放錯了呀！大家的意思是說這27個小正方體并不是6個面都被涂成了藍色，不能隨意擺放，對吧？那每一個小正方體可能有幾個面被涂色？

生5：我看出來了，有3個面涂色、2個面涂色、1個面涂色的。（師隨機板貼）

生6：我覺得，露在外面的至少都會有1個面涂色，最多的會有3個面涂色，它們在棱角頂點處。但是如果躲在正中間，就可能1個面也沒涂上顏色。而且中間肯定藏著正方體，沒有它擺在中間的話，上面這一個會塌陷下去，對吧？（師板貼沒有涂色這種情況）

師：大家同意他們的觀點嗎？還有沒有其他情況？

學生認真地觀察投影儀上的正方體，都說“沒有了”。

師：看來，要想還原這個魔方，就要考慮這里的每一個小正方體涂色的情況和它所擺放的位置以及個數(shù)。這就是我們這節(jié)課要研究的“正方體表面的涂色問題”。

設計意圖：利用“散落的魔方玩不成了怎么辦”的問題情境，引發(fā)學生的認知沖突，促使學生產生好奇心、求知欲和研究的興趣。

二、分層研究，探索規(guī)律

（一）研究3×3×3的情況，初步感知規(guī)律

師：那這里的每一個小正方體表面的涂色情況和它所擺放的位置以及個數(shù)是怎樣的呢？這個問題看起來還真有點復雜，怎么辦呢？

生7：老師，要是我也有這樣一個正方體可以看一看、數(shù)一數(shù)，就容易解決了。

生8：是的，要是能玩上一會兒，就會找到答案的。

師：你們的建議真好！請大家拿出老師準備的表面涂色的3×3×3的魔方，同桌兩人為一組開展研究，并請?zhí)顚懞脤嶒炗涗泦危ㄈ缦滤荆?/p>

學生兩人小組利用魔方學具幫助思考，開展合作研究，并認真地填寫實驗記錄單，研究時間3分鐘。

師：同學們研究得怎么樣了？誰愿意來說說你們組的發(fā)現(xiàn)？

生9：我們把魔方轉來轉去，看了很久，又數(shù)了好幾遍，發(fā)現(xiàn)3面涂色的在棱角頂點處，有8個。（板書：頂點處，8個）

師：為什么是8個？

學生拿著魔方講述理由。隨著學生的描述，課件一個一個動態(tài)剝離棱角頂點處的小正方體，學生跟著課件尋找3面涂色的小正方體的位置以及個數(shù)。

師：其他4個頂點處的情況，大家可以自己想象一下。真了不起，大家找到了3面涂色小正方體的位置和個數(shù)。

生10：我們把魔方摸了又摸，轉了又轉，發(fā)現(xiàn)2面涂色的在大正方體的棱上。

學生拿著魔方講述理由。隨著學生的描述，課件一個一個動態(tài)剝離每條棱上的小正方體，讓學生直觀地看到2面涂色的小正方體的位置和個數(shù)。

師：明明每條棱上有3個小正方體，為什么只有1個是2面涂色的？

生11：每條棱上是3個，但減去已經在棱角頂點上的3面涂色的2個，就只剩下中間這1個了。12條棱一共就有12個小正方體。

師：你的思路很清晰，說得也很清楚?？粗n件再加上想象，2面涂色的12個找全了嗎？那1面涂色的位于大正方體的什么位置？有幾個？

生12：1面涂色的在每個面的中間，每個面上有1個，有6個面，所以有6個。

學生拿著魔方講述理由。隨著學生的描述，課件一個一個動態(tài)剝離前面、上面、右側面中間的小正方體，學生清楚地看到1面涂色的小正方體的位置和個數(shù)。

師：怎么每個面只有1個1面涂色的小正方體呢？

生13：咱們看著魔方算一下就知道了。用棱長分別減去上下、左右兩個已分別涂色的，就剩下中間位置的正方體，只有1個。

師：你很善于觀察，善于總結，你的這個發(fā)現(xiàn)很重要。

生14：老師，我有更重要的發(fā)現(xiàn)，沒有涂色的在正中心，只有1個呢。

師：喲，正中心的你都能看見，你有透視眼嗎？

生14：不是。我剛才拿著魔方數(shù)了一下，發(fā)現(xiàn)看得見的小正方體只有8+12+6=26（個），還有1個不見了，所以肯定就藏在正中心，也就是沒有涂色的只有1個！

師：你是通過計算算出來的，這是個好主意。其他同學得到的都是這樣的結果嗎？

生15：我是拿著魔方數(shù)的，確實缺少1個。然后自己想象，應該是有1個藏在正中心。

師：哦，是嗎？邊觀察邊想象可是解決問題的好辦法。究竟是不是這樣，我們一塊看看：（課件動態(tài)演示）去掉前面一層，后面一層，上面一層，下面一層，左面一層，右面一層，中間就只剩下這1個啦！

師：要學好數(shù)學，解決問題后一定要驗證答案。那你們的答案正確嗎？怎么驗證？

生16：算一算或者數(shù)一數(shù)就知道了，8+12+6+1 =27（個）。

生17：由27個小正方體組成的大正方體表面涂上顏色后，小正方體表面的涂色情況是這樣的，3面涂色的有8個，2面涂色的有12個，1面涂色的有6個，沒有涂色的有1個。

設計意圖：通過實驗操作發(fā)現(xiàn)的方式，學生經歷“實物直觀—觀察發(fā)現(xiàn)—總結規(guī)律”的過程，把抽象的數(shù)學規(guī)律（每一個小正方體涂色的情況和它所擺放的位置以及個數(shù)）與直觀的實物操作結合起來思考，對3×3×3的正方體表面涂色規(guī)律的探索自然水到渠成，教學做到了抽象與形象、做與思的結合。

（二）研究4×4×4的情況，總結發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：大家真是了不起，運用觀察、操作等方法成功地解決了棱長為3個單位的正方體表面的涂色問題是與小正方體所在的位置有關，還與棱長有關。你們還想研究棱長為幾個單位的正方體表面的涂色情況？（學生隨意說：4個，5個，20個，100個）現(xiàn)在你們還需要提供正方體來研究嗎？

生18：不用了，我們可以畫一個立體圖形，再加上自己的想象，就能找出規(guī)律。

師：大家的研究思路果然非常清晰。那我們再來研究棱長為4個單位的正方體表面的涂色情況。（課件出示棱長為4個單位的正方體）我指出幾個位置的小正方體，請大家告訴我，它是幾個面涂色的情況。

教師任意指這個正方體中的幾個小正方體，學生分析涂色情況。

師：你們答得又快又好。那這一次我們拋開學具，拿出4×4×4的圖紙，充分運用你的想象力，說出3面涂色、2面涂色、1面涂色以及沒有涂色的小正方體分別在什么位置，各有多少個。

學生4人小組進行討論交流，并填寫好實驗記錄單。

師：哪一組匯報你們的發(fā)現(xiàn)？

生19：我們組發(fā)現(xiàn)3面涂色的還在棱角頂點處，有8個。（課件演示）2面涂色的還在大正方體的棱上，一條棱上有4-2=2（個），12條棱就有12×2=24（個）。

師：為什么會有24個？這個計算方法適合棱長為3個單位的正方體嗎？（在學生計算認同后板書算式：（4-2）×12=24（個））現(xiàn)在我們看第三個問題，1面涂色的小正方體有幾個？我們需要每個面都去計算嗎？那如何計算呢？

生20：我們不需要每個面都計算，只需要觀察大正方體1個面的規(guī)律就可以推算出6個面的情況。

師：是的，研究這個問題不必面面俱到，只要研究大正方體的1個面就可以了。（課件出示棱長為4個單位的正方體1個面的情況）

生20：從左往右看，本來每條棱上有4個，減去頂點處的2個3面涂色的，這一排就只有2個。從上往下看，本來也是4個，減去2個2面涂色的，也只有2層了。中間涂色部分所含的小正方體個數(shù)就是這個面1面涂色的正方體的個數(shù)。

師：你能用這個方法驗證棱長為3個單位的正方體1個面的涂色情況嗎？猜想一下棱長為5個單位的正方體1個面上有幾個1面涂色的？（課件分別出示棱長為3、5個單位的正方體1個面的情況）

學生看圖，想象后回答。

師：那沒有涂色的又有幾個呢？你是如何知道的？

生21：不需要找規(guī)律，64-8-24-24=8，是8個。

生22：我在腦子里用“剝”的方法想象了一下，也能知道有8個。左面去掉一層，右面去掉一層，上面去掉一層，下面去掉一層，前面去掉一層，后面去掉一層，剩下1個棱長為2個單位的正方體了。所以有2×2×2=8（個）。

生23：我只要“剝”去一層，看橫截面中間的小正方體的個數(shù)就知道了。

師：你們真棒，剛學的方法就能學以致用了。大家也在腦子里“剝”上一“剝”。有困難的同學可以觀看大屏幕上的演示一起驗證。

生24：我通過看課件演示明白了，沒有涂色的小正方體藏在正中心。因為上下、左右、前后都被涂色了，剩下一個長、寬、高都是2個單位的正方體，只要用（4－2）×（4－2）×（4－2）=8，就是沒有涂色的小正方體的個數(shù)。

師：大家能用這個規(guī)律驗算棱長為3個單位的正方體表面的涂色情況嗎？

學生驗證后都點頭表示可以。

師：同學們真了不起，又發(fā)現(xiàn)了棱長為4個單位的正方體表面的涂色情況。那剛才還有同學說想研究5個、100個甚至更多，我們繼續(xù)往下一個一個研究嗎？

學生紛紛搖頭，大聲說“不用了，不用了”。

師：那你們發(fā)現(xiàn)了正方體表面涂色問題的哪些規(guī)律呢？如果是棱長為N個單位的正方體，請你說說它表面的涂色情況又會是怎樣的。（板書：N3（N×N× N））

生25：我來說最容易的3面涂色的情況。因為所有的正方體都是8個頂點，而3面涂色的在棱角頂點處，所以棱長為N個單位的正方體3面涂色的有8個。（板書：8）

師：祝賀大家發(fā)現(xiàn)了正方體表面涂色問題的第一個規(guī)律。棱長為N個單位的正方體2面涂色的有幾個，你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？

生26：2面涂色的小正方體在棱上，與棱長有關系。棱長為4個單位的大正方體，2面涂色的有（4－2）×12=24（個）。那棱長為N個單位的大正方體，就用棱長N減去棱角頂點處的2個，再乘上12條棱就行了。（板書：（N-2）×12）

生27：棱長為N個單位的大正方體1面涂色的小正方體個數(shù)，從左往右看，本來每條棱上有N個，減去頂點處的2個3面涂色的，這一排就只有（N－2）個。從上往下看，本來也是N個，減去2個3面涂色的，也只有（N－2）層了。涂色部分所含的小正方體個數(shù)就是中間這個正方體的個數(shù)，等于（N－2）2個，有6個面，所以就是（N－2）2×6。（板書：（N－2）2×6）

師：那沒有涂色的小正方體有多少個？

生30：沒有涂色的在大正方體的正中心，也和棱長有關系。因為上下、左右、前后都被涂色了，中間就剩下一個長、寬、高都是（N－2）的正方體，只要計算（N－2）3，就能得到沒有涂色的小正方體的個數(shù)。（板書：（N-2）3）

師：太佩服你們了，正方體表面的涂色問題這么難的一件事，被你們用實驗研究的方法發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，變成了一件非常容易的事，難怪老子說“世上無難事，只怕有心人”。

設計意圖：數(shù)字資源呈現(xiàn)的實驗活動要適量、適度。因而在學生的認識積累到一定程度時，要及時讓學生的形象思維向抽象思維轉化，實現(xiàn)活動的內化和思維的發(fā)展。因此，在總結“棱長為N個單位的正方體表面的涂色情況”的規(guī)律時，教師就采用了這一教學策略，促進了學生思維的發(fā)展。

三、總結下課，布置作業(yè)

師：同學們，就快下課了，你能說說你今天的收獲嗎？（學生積極地反饋這節(jié)課的收獲，教師隨機板書：實驗探究、分類計數(shù)、數(shù)形結合、空間想象）

師：老師給每個4人小組都準備了一套由64個小正方體拼成的大正方體，表面涂上了紅色。但是也散落了，裝在了學具袋里。請你們將它恢復原狀，看哪組同學合作得又快又好。

學生拿出學具袋，馬上忙活起來：先將所有的小正方體分4類擺放，確認每種情況的個數(shù)后，再合作拼擺。最短的用時3分55秒，最長的用時5分20秒，都準確無誤地還原了大正方體。

接下來課件出示：在一個正方體的表面涂上顏色，再把它切成棱長為1厘米的小正方體，已知2面涂色的小正方體有96個，求大正方體的棱長是多少厘米？

……

設計意圖：在學生獲得正方體表面的涂色規(guī)律后，教師并沒有急于讓學生簡單地套用公式解決問題，而是讓學生在總結歸納學習方法后，通過動手操作的方式將規(guī)律和方法內化。這樣能讓學生在記憶中對知識留下“刻痕”而不是“劃痕”，同時培養(yǎng)學生的團隊合作意識和能力。（本文系基金項目：湖南省教育科學“十二五”規(guī)劃2015年度湖南省教育科學研究基地專項課題《信息化時代小學數(shù)學學科建設實踐研究》成果，課題批準號：XJK015BJD038）

（作者單位：湘潭市雨湖區(qū)風車坪學校）