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      探究復合函數(shù)及其求導方法

      2016-07-06 07:06:45侯春娟張洪浩
      數(shù)學學習與研究 2016年11期
      關鍵詞:環(huán)環(huán)餃子皮定義域

      侯春娟 張洪浩

      【摘要】導數(shù)部分的應用十分廣泛,很多領域都有涉及,如經濟、物理、幾何等.復合函數(shù)的導數(shù)是教學中的重點,也是學生學習的難點.本文給出如何辨別復合函數(shù),并整理出學生易接受的復合函數(shù)求導方法.

      【關鍵詞】復合函數(shù);求導法則

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      在學習復合函數(shù)之前,首先提問學生我們高中學過哪些函數(shù)?經過大家的回憶,很容易給出答案:常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及剛剛講過的反三角函數(shù),這些函數(shù)我們稱之為基本的初等函數(shù),對基本初等函數(shù)的導數(shù)公式要做到熟悉、熟練.再提出類似的新問題:如果求y=sin3x的導數(shù)該如何進行呢?這樣的函數(shù)又稱作什么函數(shù)呢?其實學生在高中有接觸過復合函數(shù),但什么叫復合函數(shù)卻說不清楚,那么,我們就可以開始新的授課內容了.

      從復合函數(shù)的定義,我們可以歸納出,如果是復合函數(shù)必須同時滿足以下兩個條件:(1)定義域非空;(2)環(huán)環(huán)相套.然后舉例說明如何判斷是否復合這兩個條件.首先,給出一個函數(shù),直接觀察或計算出該函數(shù)自變量是否有值可取,這就是定義域的問題.如y=sin3x這個函數(shù)就是定義域非空,而y=sin3x-2就是定義域為空集了,因為sin3x≥2不可能成立.如果定義域是非空的,那么下一步就要看是否滿足環(huán)環(huán)相套了.我給學生解釋怎么看環(huán)環(huán)相套或環(huán)環(huán)相扣,可以把此函數(shù)看成一個特殊的餃子,這個餃子只有一個餡,但是你可以包很多層餃子皮,從外觀上看,你只能看到一個餃子,但是把餃子皮一層層撥開后就能看到我們的餃子餡,但要注意,我們的每一層皮必須都是前面提到的基本的初等函數(shù).而這個過程,恰恰就是復合函數(shù)的分解過程,在復合函數(shù)求導中是尤為關鍵的,也就是教材中常說的“鏈式法則”求導法里的關鍵.那么我們再看y=sin3x這個函數(shù),是否是環(huán)環(huán)相套呢?從外觀上看,它就是包著正弦函數(shù)的餃子皮,那么我們可以寫成y=sinu,u=3x(u是一個中間變量),一皮一餡,兩個基本初等函數(shù),顯然符合第二個條件,所以y=sin3x是一個復合函數(shù),為了讓學生加深理解,可以給出幾個例子進行判別,如

      從上面的例子可以看出,只要學生知道基本初等函數(shù),那么對復合形式求導,都相當于每一步只要出現(xiàn)一個中間變量u,對自變量為u的基本初等函數(shù)求導后,馬上乘以心中的u的導數(shù)即可,直到出現(xiàn)自變量為x的基本初等函數(shù).所以就是上面說的每一步都“only U”,切不可三心二意!這個部分的講解,可以中間插入only U的那段搞笑的音樂,時間很短,但卻可以驅走瞌睡蟲,同時在第一個例題旁邊插入一個戀愛式的圖片,用醒目的藝術字,利用動畫飄移到可愛的圖片下面,自然會吸引學生的注意力,讓學生有興趣聽下去.再之,此內容的PPT的制作上,例題中的每個中間變量u的表達式最好用矩形框或其他形狀進行標記,如上述(1)(2)式中括號里的sin3x和3x,將每個步驟自定義動畫,這樣能讓講解更醒目易懂.

      在這部分的講解上,其實知識點都是那一個,就看我們師者如何授業(yè)了,照本宣科絕對是行不通的,要力爭做到通俗易懂,讓學生感興趣,讓授課的自己也很快樂,有滿滿的自信,有愉悅中的成就感,但絕不是傳說中的自嗨型教師.教學方法的探究就是在教學過程中不斷的探索和研究,在總結中進步,在思考中成長!

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