高職橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)

陳忠東

【摘要】橢圓的教學(xué)抽象性較強(qiáng)，運(yùn)算較繁瑣，高職學(xué)生往往難以接受，本文采用新的思路，類比學(xué)生熟悉的圓的方程，提出橢圓方程的猜想，并對猜想的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、類比、猜想等方法進(jìn)行探索式學(xué)習(xí)，可在教學(xué)中達(dá)到理想的教學(xué)目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】橢圓；高職數(shù)學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題的提出

對于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)，大都是教師以實(shí)例圖片引起學(xué)生探究什么是橢圓的興趣，然后教師在黑板取兩個(gè)定點(diǎn)，由學(xué)生動手操作，用一段細(xì)繩畫出橢圓，給學(xué)生直觀感知，再由學(xué)生討論能夠畫出橢圓滿足的幾何條件，得出橢圓的定義，再由橢圓的定義演繹推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，運(yùn)用這種方法進(jìn)行教學(xué)，抽象性較強(qiáng)，運(yùn)算較繁瑣，其結(jié)果往往是教師吃力，學(xué)生覺得枯燥難學(xué)，提不起學(xué)習(xí)興趣甚至產(chǎn)生厭學(xué)的情緒.

學(xué)生在學(xué)習(xí)橢圓之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的定義、圓的方程，了解了解析幾何基本思想，知道一些用坐標(biāo)法研究幾何的方法；學(xué)生對橢圓也有直觀感性認(rèn)識，會把“扁的圓”叫做橢圓.本文作者在教學(xué)過程中，采用新的思路，設(shè)計(jì)了簡便易行的“從圓轉(zhuǎn)化到橢圓”的實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、類比、猜想等方法進(jìn)行探索式學(xué)習(xí)，類比學(xué)生熟悉的圓的方程，提出橢圓方程的猜想，并對猜想的正確性進(jìn)行驗(yàn)證.通過這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，取得了一定的教學(xué)成效.下面就橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)展開介紹和討論.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)和過程

1.以生活為背景，通過實(shí)驗(yàn)探究概念

通過學(xué)生的觀察和動手探究，可以對數(shù)學(xué)概念形成直觀感受，有利于概念的獲取.下面是這個(gè)實(shí)驗(yàn)的課堂教學(xué)實(shí)錄：

請每兩位學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)圓柱體的透明杯子（或瓶子），倒入半杯水，將杯子平放在課桌上，然后從杯子的正上方觀察水面的形狀.

師：請同學(xué)們觀察一下，現(xiàn)在的水面是什么形狀？

學(xué)生異口同聲地回答：是一個(gè)圓.

師：讓杯子向右（或向左）傾斜一個(gè)較小的角度，再看看水面是什么形狀？

大部分學(xué)生：是一個(gè)橢圓.

師：把傾斜的角度加大一點(diǎn)，看看水面的形狀發(fā)生了怎樣的變化？

生：水面還是一個(gè)橢圓，不過橢圓變得更扁了.

師：思考一下，隨著傾斜角度的加大，橢圓的形狀在左右方向上會發(fā)生怎樣的變化？前后方向呢？

生：傾斜角度越大，橢圓在左右方向上就越長，而在前后方向上不變（圖1）.

通過上述實(shí)驗(yàn)，學(xué)生直觀地認(rèn)識到，圓沿著一條直徑拉長可以得到橢圓，這樣得到的橢圓使我們看到了橢圓與圓的關(guān)系，可以引導(dǎo)學(xué)生在圓的知識的基礎(chǔ)上探索橢圓的知識.

此時(shí)再講述課本上橢圓的定義，學(xué)生比較容易接受.

2.類比圓的方程，猜想橢圓方程

圓的方程是學(xué)生已經(jīng)熟悉的知識.我們可以將橢圓與圓進(jìn)行類比，根據(jù)圓的方程，猜想橢圓的方程.

師：圓心在原點(diǎn)，半徑為b2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=b2，方程兩邊同除以b2得到什么？

生：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形為x2[]b2+y2[]b2=1.

師：把這個(gè)圓橫向拉長，使其在x軸上的半徑增大為a，在y軸上的半徑不變，仍為b，這就得到一個(gè)橢圓（圖2）.類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，猜想這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

生：x2[]a2+y2[]b2=1.

到此為止，學(xué)生通過自己動手實(shí)驗(yàn)，認(rèn)識了從圓到橢圓的轉(zhuǎn)化，并且利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行類比，提出了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的猜想，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

提出猜想是整個(gè)教學(xué)過程中重要的一步，但教學(xué)不能僅僅停留在這一猜想上.為了培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，需要對上述猜想的正確性進(jìn)行驗(yàn)證.

3.根據(jù)橢圓的定義，驗(yàn)證橢圓方程的猜想

由橢圓的定義可以驗(yàn)證上述猜想的正確性，即推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

驗(yàn)證過程如下：

如圖3建立坐標(biāo)系，焦點(diǎn)分別為F1（-c，0）和F2（c，0），設(shè)M（x，y）為橢圓上任一點(diǎn)，則|MF1|+|MF2|=2a，代入坐標(biāo)，得（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，化簡，得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.注意到a>c，記b2=a2-c2（b>0），可得x2[]a2+y2[]b2=1.這就驗(yàn)證了上述猜想的正確性.

由于高職學(xué)生經(jīng)過了實(shí)驗(yàn)、類比和猜想等思維過程，特別是有了猜想作為基礎(chǔ)，對于猜想的驗(yàn)證就會感到順理成章，進(jìn)而體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的熱愛.

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生反過來將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)圓可以看成是橢圓的極端情況.

通過從圓到橢圓的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生利用新舊知識的聯(lián)系認(rèn)識了橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)了學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力，達(dá)到了高職數(shù)學(xué)課堂上的素質(zhì)教育目標(biāo)，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、反 思

高職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須打破封閉、固定的落后程式，教師要給學(xué)生充分探索空間，不要把學(xué)生的思考限制在教師預(yù)設(shè)的范圍內(nèi)，在教學(xué)中采用以舊引新、新舊對比的方法，引導(dǎo)學(xué)生在舊知識的基礎(chǔ)上探索新知識，可以使學(xué)生感覺新知識的出現(xiàn)水到渠成，而過去熟知的舊知識又得到鞏固與深化，使學(xué)生把握新舊知識之間的聯(lián)系，從而得到系統(tǒng)化的知識.在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)中，還要充分了解學(xué)生的基礎(chǔ)和知識面，往往學(xué)生的難點(diǎn)不一定出現(xiàn)在本節(jié)所要理解的內(nèi)容上，如推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，方程的化簡，在該環(huán)節(jié)上還要盡量推導(dǎo)細(xì)致一點(diǎn)才得以完成.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]李振雷.橢圓定義教學(xué)實(shí)踐與思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)2011（10）.