淺析高中數(shù)學(xué)超幾何分布與二項(xiàng)分布

馬少龍

超幾何分布與二項(xiàng)分布模型是人教版選修2—3概率問(wèn)題的重要模型，教材通過(guò)實(shí)例，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)模型所刻畫的隨機(jī)變量的共同特點(diǎn)，并能運(yùn)用兩個(gè)模型解決一些實(shí)際問(wèn)題。然而在教學(xué)過(guò)程中卻經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能準(zhǔn)確辨別是何種概率模型，根源在于學(xué)生不能準(zhǔn)確地理解概念，超幾何分布和二項(xiàng)分布雖然有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別，事實(shí)上，在超幾何分布模型上只要稍作改變，超幾何分布就可能變?yōu)槎?xiàng)分布。其中超幾何分布必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是抽取的產(chǎn)品不再放回；二是產(chǎn)品數(shù)目為有限個(gè)，當(dāng)這兩個(gè)條件中任何一個(gè)發(fā)生改變，則不再是超幾何分布，下面結(jié)合例題對(duì)這類問(wèn)題作闡述。

一、準(zhǔn)確理解概念

超幾何分布的概念是：一般的，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P（X=k）=，k=0，1，2，…，m，其中m=minM，n，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N？鄢，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上述形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布。而二項(xiàng)分布的概念為：一般的，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上述形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布。

由以上概念可知，超幾何分布與二項(xiàng)分布模型的最主要區(qū)別是有放回抽樣還是無(wú)放回抽樣，一般來(lái)說(shuō)，有放回抽樣與無(wú)放回抽樣計(jì)算的概率是不一樣的，學(xué)生在解題時(shí)要仔細(xì)閱讀題意，不要濫用公式。

二、注意超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別

例1：（1）袋中有大小相同的8個(gè)白球、2個(gè)黑球，有放回的從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球。求取到黑球的次數(shù)X的分布列；

（2）袋中有大小相同的8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地取3個(gè)球。求取到黑球的個(gè)數(shù)Y的分布列。

分析：（1）有放回抽樣時(shí)，每次抽取時(shí)的總體沒(méi)有改變，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此種抽樣是二項(xiàng)分布模型，取到的黑球次數(shù)X可能的取值為0，1，2，3。又由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則X～B3。

例2：某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)。現(xiàn)在在總共8小塊地中，隨機(jī)選4小塊地種植品種甲，另外4小塊種植品種乙。種植完成后隨機(jī)選出4塊地，其中種植品種甲的小地塊的數(shù)量記為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望。

分析：本題容易錯(cuò)誤的得到X服從二項(xiàng)分布，即X～B（4，）。錯(cuò)誤的根源在于每塊地種植甲或種植乙不是相互獨(dú)立的，它們之間相互制約，無(wú)論怎樣種植都要保證8塊地中有4塊種植甲，4塊種植乙，事實(shí)上X是服從超幾何分布。若將例2改為：在8塊地中，每塊地要么種植甲，要么種植乙，那么在選出的4塊地中種植甲的數(shù)量為ξ，則ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B（4，）。二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣。所以，在解有關(guān)二項(xiàng)分布和超幾何分布問(wèn)題時(shí)，要仔細(xì)閱讀、辨析題目條件。

三、注意超幾何分布和二項(xiàng)分布的聯(lián)系

事實(shí)上，超幾何分布和二項(xiàng)分布有著密切的聯(lián)系，樣本個(gè)數(shù)越大，超幾何分布和二項(xiàng)分布的對(duì)應(yīng)概率相差越小，也就是說(shuō)：樣本數(shù)量較大時(shí)，不放回抽樣與放回抽樣的差別不大，一般認(rèn)為是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

例3：隨機(jī)觀測(cè)生產(chǎn)某種零件的某特大型工廠的25名工人日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36。

（1）確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；

（2）根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；

（3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的概率.

分析：（3）題意是：“某特大型工廠”，即工人很多，根據(jù)樣本頻率分布表，每人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的概率為■，設(shè)所取的4人中，日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ～B（4，），故4人中，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的概率為：P（ξ≥1）=1-P（ξ=0）=1-1-4=1-0.4096=0.5904。

所以4人中，至少有人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的概率約為0.5904。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布。所以，在處理超幾何分布與二項(xiàng)分布相關(guān)問(wèn)題時(shí)一定要仔細(xì)閱讀題目，辨析概念，準(zhǔn)確區(qū)分。

（作者單位：廣東省汕頭市實(shí)驗(yàn)學(xué)校）