貝葉斯波動率模型在中國基金市場的應(yīng)用

莫玉婷，劉金山

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東廣州510642）

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貝葉斯波動率模型在中國基金市場的應(yīng)用

莫玉婷，劉金山*

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東廣州510642）

摘要：對隨機波動率模型的統(tǒng)計結(jié)構(gòu)進行分析，基于貝葉斯定理，推導(dǎo)出模型參數(shù)的后驗分布，利用MCMC算法對參數(shù)進行估計，同時將FFBS算法引入到波動率向量的估計過程中，對波動率序列進行聯(lián)合抽樣，提高Gibbs抽樣算法的效率。對深圳基金指數(shù)和上證基金指數(shù)進行實證分析，結(jié)果表明：基于FFBS算法的隨機波動率模型能很好地擬合數(shù)據(jù)的波動特征。

關(guān)鍵詞：SV模型；貝葉斯推斷；FFBS算法

2015年上半年，金融市場延續(xù)牛市格局，滬深300指數(shù)前4個月飆升1 200余點，漲幅超過三成，而基礎(chǔ)市場的走牛也推動了權(quán)益類基金凈值的水漲船高。但6月末以來，股市進入了大跌行情，有數(shù)據(jù)顯示，2015年6月15日至30日，1 554只股票型及偏股型基金中，有1 400只的凈值出現(xiàn)下跌，而凈值跌幅超過30%的就有48只。在股票市場的影響之下，基金市場也出現(xiàn)了異常的大幅度波動。

目前研究金融市場波動率的模型主要有GARCH模型族以及SV模型族，而SV模型被認為是刻畫金融市場波動率的最理想模型，它的優(yōu)勢在于將隨機過程引入到方差表達式中。國內(nèi)外關(guān)于SV模型的研究主要有兩個方面：一是研究SV模型在擬合金融數(shù)據(jù)波動率上的優(yōu)勢；二是研究SV模型的參數(shù)估計方法。余素紅等［1］論證了：SV模型在擬合金融數(shù)據(jù)的“高峰厚尾”和“平方序列的自相關(guān)性”兩方面比GARCH模型優(yōu)勢明顯。關(guān)于SV模型的估計方法主要有廣義矩估計（GMM）、偽極大似然估計（QML）、貝葉斯方法等。周宏山等［2］將文獻［3］提出的非對稱隨機波動率模型用于研究中國股票市場波動的非對稱性，采用貝葉斯方法對模型參數(shù)進行估計。貝葉斯方法是一種充分利用樣本信息、模型信息以及模型未知參數(shù)先驗信息的參數(shù)估計方法，被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟模型中。但是當樣本量較大時，需要抽取的波動率變量較多，且模擬的樣本數(shù)據(jù)之間是相關(guān)的，使得Gibbs抽樣迭代效率較低，收斂速度慢，而向前濾波、后向抽樣（FFBS）算法則可以克服這一困難。Artigas［4］及Tsay［5］等利用FFBS算法和狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移方程對Jacquier等［6］提出的非對稱SV模型進行估計，證明了FFBS算法比單步Gibbs抽樣算法效率更高。由于大量文獻都是利用SV模型擬合股票市場或匯率市場［7］，本文將選取深圳、上證基金指數(shù)建立SV模型，并創(chuàng)新性地結(jié)合FFBS算法對波動率序列進行聯(lián)合抽樣，研究中國基金市場的波動情況。

1　隨機波動率模型的參數(shù)估計方法

隨機波動率模型為

（1）參數(shù)α的后驗分布。給定對數(shù)波動率向量｛z1，z2，…，zT｝、觀測值序列｛r1，r2，…，rT｝和參數(shù)ση，ρ，σ0，參數(shù)α是AR（1）模型的一個系數(shù)，若α的先驗分布是均值為α0、方差為C0的正態(tài)分布，則α的后驗分布也是正態(tài)分布，且均值為α*，方差為C*，其中

表1　pi，μi，ωi的值

其中μi和ωi分別是表1中給出的正態(tài)分布的均值和標準誤差，Φ（□）表示標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，概率qit是給定rt和zt條件下It的似然函數(shù)，得到It的后驗分布為

（5）對數(shù)波動率向量的抽?。‵ F B S算法）。通過對式（1）進行對數(shù)平方變換，將式（1）變成了線性方程。當ρ≠0時，令，其中與εt是相互獨立的正態(tài)隨機變量。于是狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程變?yōu)?/p>

上式是關(guān)于zt的非線性轉(zhuǎn)移方程，A rtig a s等［4］建議用時變的卡爾曼濾波算法對非線性轉(zhuǎn)移方程進行近似，具體有

根據(jù)上面的推導(dǎo)，只要給定初始值z1 | 0和Σ1 | 0，利用卡爾曼濾波算法將收益率數(shù)據(jù)向前推移，就可以得到狀態(tài)序列｛zt| t｝，｛Σt| t｝，t= 1，…，T和預(yù)測序列｛zt| t- 1｝，｛Σt| t- 1｝，t= 2，…，T。然后利用遞歸的方法從正態(tài)分布中抽取波動率序列｛zt｝，t= 1，…，T。

3　實證分析

根據(jù)上述方法對各參數(shù)進行估計，模型模擬8 0 0 0次，前面3 0 0 0次作為燃燒期舍去，利用后面5 0 0 0次迭代對參數(shù)進行分析，表2給出了模型參數(shù)的后驗均值和標準差。

表2　模型參數(shù)估計結(jié)果

由模型的參數(shù)估計結(jié)果可知：

（1）參數(shù)α反映的是對數(shù)波動率的持續(xù)性，兩組數(shù)據(jù)的波動率持續(xù)性參數(shù)的估計值都非常接近于1，說明上期的波動對當前波動的影響是非常大的。

（2）參數(shù)ση反映的是對數(shù)波動率的波動情況，上證基金指數(shù)的參數(shù)ση= 0 .2 9 6，比深圳基金指數(shù)的參數(shù)ση大，說明上證基金指數(shù)的噪音比較多，波動較大。

（3）相關(guān)系數(shù)ρ反映的是收益率的杠桿效應(yīng)，深圳基金指數(shù)的相關(guān)系數(shù)ρ= - 0 .0 6 7，上證基金指數(shù)的相關(guān)系數(shù)ρ= - 0 .0 9 4，這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)都比較小，說明對于基金市場而言，其“杠桿效應(yīng)”并不是很明顯。

下面給出模型估計的兩組數(shù)據(jù)的波動率時序圖（見圖1）。

圖1　波動率時序圖

由波動率時序圖可知，從2 0 1 3年初至2 0 1 5年初，上證基金指數(shù)的波動比深圳基金指數(shù)的波動稍微大一些，進一步說明參數(shù)估計結(jié)果的正確性。但是在2 0 1 5年6、7月深圳基金指數(shù)的波動較大，這和實際情況也是相符合的。

4　結(jié)論

本文基于貝葉斯定理，推導(dǎo)出S V模型各個參數(shù)的后驗分布，探討了一種基于線性高斯狀態(tài)空間模型的F F B S抽樣算法，用于估計波動率向量，提高G ib b s抽樣的效率。對深圳基金指數(shù)和上證基金指數(shù)建立隨機波動率模型，分析了中國基金市場的波動情況，實證結(jié)果表明：基于F F B S算法估計的S V模型能很好地反映基金市場的波動情況。F F B S算法適用于一般的線性高斯狀態(tài)空間模型，可以將該方法用于估計隨機擴散模型。

參考文獻：

［1］余素紅，張世英. SV與GARCH模型對金融時間序列刻畫能力的比較研究［J］.系統(tǒng)工程，2002，20（5）∶28-33.

［2］周宏山，冀云.非對稱隨機波動率模型在中國股市的應(yīng)用［J］.統(tǒng)計與信息論壇，2007，22（4）∶70-73.

［3］YU J. On Leverage in a Stochastic Volatility Model［J］. Journal of Econometrics，2005，127∶165-178.

［4］ARTIGAS J C，TSAY R S. Effective Estimation of Stochastic Diffusion Models with Leverage Effects and Jumps［D］.Chicago∶University of Chicago，2004.

［5］TSAY R S. Analysis of Financial Time Series［M］. 3rd ed. New Jersey∶John Wiley & Sons Inc，2010.

［6］JACQUIER E，POLSON N G，ROSSI P E. Bayesian Analysis of Stochastic Volatility Models with Fat-tails and Correlated Errors ［J］. Journal of Econometrics，2004，122∶185-212.

［7］李峰.基于MCMC模擬的貝葉斯金融隨機波動模型分析［D］.長沙∶湖南大學(xué)，2007.

［8］KIM S，SHEPHARD N，CHIB S. Stochastic Volatility∶Likelihood Inference and Comparison with ARCH Models［J］. Review of Economic Studies，1998，65∶1-40.

【責任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

App lication of Bayesian stochastic volatility model in Chinese fund market

MO Yu-ting，LIU Jin-shan
（College of Mathematics and Informatics，South China Agricultural University，Guangzhou 510642，China）

Abstract∶By analyzing the statistical structure of the stochastic volatility model，and using the Bayesian theorem，we derive the posterior distribution of model’s parameter. We use the Markov chain Monte Carlo algorithm to estimate model’s parameter，and the FFBS（forward filtering and backward sampling）algorithm to estimate the volatility. We apply the stochastic volatility model to analyze the Shenzhen and Shanghai fund market，and the result indicated that the model can explore the volatility characteristics of fund market.

Key words∶SV model；Bayesian inference；FFBS algorithm

中圖分類號：F832.5

文獻標志碼：A

文章編號：1008-0171（2016）03-0005-06

收稿日期：2016-01-04

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（11171117）

作者簡介：莫玉婷（1991-），女，廣東韶關(guān)人，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)碩士研究生。

*通信作者：劉金山（1958-），男，河南方城人，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)教授。