基于區(qū)間分析的機器人絕對定位精度分析方法

黃　康　何春生　甄圣超　洪　健　趙福民

合肥工業(yè)大學，合肥，230009

基于區(qū)間分析的機器人絕對定位精度分析方法

黃康何春生甄圣超洪健趙福民

合肥工業(yè)大學，合肥，230009

摘要：針對6R機器人絕對定位精度不高的現(xiàn)狀，提出了一種基于誤差的分析方法。該方法通過區(qū)間分析和POE方程對機器人誤差進行建模，并通過修正一些區(qū)間運算規(guī)則得到更為準確的擴展區(qū)間運動學方程。分析了擴展區(qū)間運動學方程的層級特性，提出了一種易于擴展并且能有效降低區(qū)間依賴特性的層級區(qū)間運動學方程，并針對該方程由于過度擴展而無法得出精確結果的問題提出了一種區(qū)間矩陣優(yōu)化方法。通過蒙特卡羅法以及和傳統(tǒng)區(qū)間方法對比的仿真實驗，驗證了所提出方法更為高效，并且能夠近似計算出理想的結果。某汽車變速箱裝配線的6R機器人螺栓擰緊工序實驗結果表明，所提出的分析方法比傳統(tǒng)的區(qū)間方法更有效更精確。

關鍵詞：POE方程；區(qū)間分析；絕對定位精度；6R機器人

0引言

由于機器人在制造、裝配、控制等方面存在不可避免的誤差，所以機器人的定位無法達到理想的目標。關于機器人定位精度的研究一直是學術界和工業(yè)界的熱點[1-3]，早期的研究利用D-H參數(shù)[1]或者是修正的D-H參數(shù)[2]進行機器人運動學誤差建模，另外一種研究思路則是利用POE(指數(shù)積)方程[4-6]或者是局部POE方程[7]建立誤差模型。眾多研究表明，相對于傳統(tǒng)的D-H參數(shù)或者是修正的D-H參數(shù)進行誤差建模，POE方程法具有明顯的優(yōu)點：①運動學模型相對于關節(jié)運動是光滑變化的，可以很好地保證不會出現(xiàn)奇異性問題；②只需建立全局坐標系和工具坐標系而無需建立眾多局部坐標系。針對機器人誤差的分析方法有模糊集法[8-9]、概率統(tǒng)計法[10]、區(qū)間方法[11]，前面兩種方法均需要額外條件，如概率統(tǒng)計法需要大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，而區(qū)間方法只需確定誤差所隸屬的區(qū)間即可，具有相當?shù)膬?yōu)越性。

本文結合區(qū)間方法和POE方程對6R機器人的絕對定位精度進行研究。

1機器人基本參數(shù)及運動學模型

1.1理想運動學模型

某汽車變速箱螺栓擰緊工序6R機器人本體初始位形如圖1a所示，圖1b為該位形下機器人的結構簡圖，其中關節(jié)1和關節(jié)2軸線在x方向上重合。根據(jù)旋量理論[12]，機器人關節(jié)的運動可以表述為一個旋量運動，其中單位旋量為

(1)

式中，ω為旋量軸上的單位向量；q為旋量軸上的一個點向量；q×ω為旋量軸關于全局坐標系原點的矩。

(a)6R機器人本體初始位形

(b)6R機器人初始位形簡圖及坐標系建立圖1　6R機器人

假定機器人在全局坐標系oxyz的初始位形為g(0)，每個關節(jié)的單位旋量為ξi(i=1,2,…,6)，那么機器人的運動學方程可以表示為

(2)

其中，θi是第i關節(jié)的運動偏置，并且有

(3)

其中，I是3×3單位矩陣，同時

(4)

式(4)被稱為Rodriguez公式，∧是向量反對成化算子，對于任一向量ω=(ωx,ωy,ωz)，有

(5)

1.2實驗平臺及機器人基本參數(shù)

圖2　6R機器人螺栓擰緊工序實驗臺

汽車變速箱機器人螺栓擰緊工序實驗臺如圖2所示，該工序對機器人的絕對定位精度要求很高，式(2)中的機器人運動學各參數(shù)均為理想?yún)?shù)，而機器人實際設計中其結構參數(shù)ω、q均有一定公差，關節(jié)運動偏置θ由于傳動和編碼器精度也存在誤差，因此它們均隸屬于一定區(qū)間[13]，綜合考慮設計公差以及測量儀器分辨率，得到初始位形下擰緊機器人的區(qū)間參數(shù)如表1所示。

表1　6R機器人區(qū)間參數(shù)

所有矢量均在全局坐標系oxyz中表示，該坐標系與機器人第一關節(jié)重合，如圖1b所示。

2運動學誤差模型及其層級特性

2.1修正區(qū)間運算規(guī)則

為了獲得更為緊湊的擴展運動學誤差模型，需要對區(qū)間數(shù)學規(guī)則作出修正，例如，機器人第一關節(jié)旋量軸方向向量區(qū)間中[ω1x]=[-10-5,10-5]，根據(jù)區(qū)間數(shù)學[14]，[ω1x]-[ω1x]=[-2×10-5,-2×10-5]，[ω1x]×[ω1x]=[-10-10,10-10]，而ω1x為實際機器人結構參數(shù)，僅為區(qū)間[ω1x]中一具體未知數(shù)值，[ω1x]-[ω1x]=0，[ω1x]×[ω1x]=[0,10-10]，可以看出按照區(qū)間數(shù)學的計算規(guī)則，模型計算出來的結果將會放大很多。

根據(jù)機器人的區(qū)間參數(shù)的實際意義，提出以下修正規(guī)則：

(6)

(7)

(8)

2.2擴展運動學誤差模型

以修正區(qū)間規(guī)則為基礎，推導機器人擴展運動學誤差模型，在區(qū)間矩陣的乘法運算中，?Am×n∈Rm×n,Bn×r∈Rn×r,[A]m×n?IRm×n,[Bn×r]?IRn×r，如果Am×n∈[A]m×n，Bn×r∈[B]n×r，那么Am×nBn×r∈[A]m×n[B]n×r。其中，IR為區(qū)間實數(shù)集。

設ω=(ωx,ωy,ωz)為機器人一關節(jié)旋量軸上的單位向量，[ω]=([ωx],[ωy],[ωz])是其對應的區(qū)間向量，那么可以得到：

(ω∧)2∈([ω]∧)2=[ω][ω]T-‖[ω]‖2I

(9)

(ω∧)3∈([ω]∧)3=-‖[ω]‖2[ω]∧

(10)

其中，I為3×3單位矩陣，給定θ∈[θ]，根據(jù)實數(shù)函數(shù)擴展到區(qū)間函數(shù)的根本定理[14]，有

(11)

結合式(9)、式(10)并利用式(7)，可將式(11)變?yōu)?/p>

(12)

那么eω∧θ∈e[ω]∧[θ]，將區(qū)間根本定理擴展到矩陣中來，有

(13)

記θi∈[θi]，qi∈[qi]，ωi∈[ωi](i=1,2,…,6)，因而有

e[ξ1]∧[θ1]e[ξ2]∧[θ2]e[ξ3]∧[θ3]e[ξ4]∧[θ4]e[ξ5]∧[θ5]e[ξ6]∧[θ6]·

g(0)=[g(θ)]

(14)

式(14)稱為機器人擴展運動學誤差模型。

2.3誤差模型層級特性

區(qū)間計算中，同一區(qū)間變量出現(xiàn)的次數(shù)越少，結果就越精確[14]，據(jù)此對式(14)進行變形，得到：

[g(θ)]=

e[ξ1]∧[θ1]e[ξ2]∧[θ2]e[ξ3]∧[θ3]e[ξ4]∧[θ4]e[ξ5]∧[θ5]e[ξ6]∧[θ6]·

(15)

Q=[R1]([R2]([R3]([R4]([R5]((I-[R6])·

[q6]-[q5])+[q5]-[q4])+[q4]-[q3])+

[q3]-[q2])+[q2]-[q1])+[q1]

(16)

對于6R機器人，該計算方式計算次數(shù)為2×6(關節(jié)數(shù))共12次。觀察式(16)易知，該特性可以很容易擴展到其他n自由度的機器人，稱式(16)表示的模型為機器人層級運動學誤差模型。

3驗證實驗

為驗證式(16)表示的層級運動學誤差模型是有效的，利用6R機器人螺栓擰緊工序實驗臺進行實驗，實驗中機器人各關節(jié)運動量為θ1=0，θ2=π/6，θ3=π/4，θ4=θ5=θ6=0，利用水平三坐標測量機測量6R機器人執(zhí)行器末端的位置。由于機器人各參數(shù)均在全局坐標系oxyz中表示，而三坐標測量機測量的數(shù)據(jù)均相對于它本身的坐標系，因此需要對數(shù)據(jù)進行坐標轉換，測得螺栓擰緊執(zhí)行器初始位姿為

將轉換后的數(shù)據(jù)顯示到MATLAB中，同時在德國漢堡大學開發(fā)的INTLAB區(qū)間分析工具環(huán)境下對式(16)進行蒙特卡羅法和區(qū)間計算仿真，將實驗和仿真結果與文獻[13]中推導的現(xiàn)有誤差模型進行對比，結果如圖3所示。

從圖3a中可以看出，無任何優(yōu)化條件下，蒙特卡羅隨機點集和6R機器人實驗臺測量的點集均比現(xiàn)有誤差模型和層級誤差模型的區(qū)間邊界小很多，盡管如此，層級誤差模型的區(qū)間邊界要比現(xiàn)有誤差模型的區(qū)間邊界更為緊湊，因此式(16)能夠更精確計算執(zhí)行器誤差區(qū)間。圖3b和圖3c中蒙特卡羅點集和6R機器人實驗臺測量的點集分布區(qū)域在x、y、z方向基本一致并且層級誤差模型的區(qū)間邊界完全包含了實驗臺測量點集，因此基于修正區(qū)間運算規(guī)則的層級運動學誤差模型能夠用于分析該螺栓擰緊6R機器人的絕對定位精度。

4模型優(yōu)化

4.1區(qū)間矩陣優(yōu)化

為使得層級運動學誤差模型能得到更精確的結果，對傳統(tǒng)的區(qū)間優(yōu)化方法進行改進，傳統(tǒng)區(qū)間優(yōu)化思路如下[14]。

(a)無優(yōu)化現(xiàn)有模型和層級模型對比仿真結果

(b)蒙特卡羅點集和實驗臺測量點集x、y方向的分布

(c)蒙特卡羅點集和實驗臺測量點集y、z方向的分布1.現(xiàn)有模型區(qū)間邊界　2.層級模型區(qū)間邊界o實驗測量點　·蒙特卡羅樣本點圖3　無優(yōu)化現(xiàn)有模型與層級模型、蒙特卡羅點集和實驗臺測量點集結果對比

設區(qū)間向量

[A]=([a1],[a2],…[ai],…[an])?IRn

則

j=1,2,…,n

其中

并且

(17)

對實數(shù)函數(shù)f在定義區(qū)間上的區(qū)間擴展函數(shù)F，其區(qū)間優(yōu)化可以表示成

(18)

傳統(tǒng)區(qū)間優(yōu)化方法對于多維到一維的區(qū)間擴展函數(shù)是十分有效的，然而，對于多維到多維的區(qū)間擴展函數(shù)，該方法效率非常低。

給定任一區(qū)間數(shù)[k]和區(qū)間向量[d]，假定[k]=[0,1]，[d]=([0,1],[1,2],[2,3])，則[b]=[k][d]=([0,1],[0,2],[0,3])，但是真實的區(qū)間分布要比[b]小很多，結果被擴大的關鍵在于[k]在計算過程中重復出現(xiàn)了3次，因此利用式(18)對[k]進行主要的區(qū)間優(yōu)化計算，能有效減小區(qū)間的依賴效應，稱在區(qū)間矩陣乘法中對區(qū)間系數(shù)進行區(qū)間優(yōu)化的方法為區(qū)間矩陣優(yōu)化。

4.2優(yōu)化對比實驗

4.2.1仿真結果

對圖3中得到的結果進行優(yōu)化并利用蒙特卡羅法進行對比仿真驗證，其中對文獻[13]中的模型利用傳統(tǒng)區(qū)間優(yōu)化方法進行優(yōu)化，對式(16)利用區(qū)間矩陣優(yōu)化方法進行優(yōu)化，兩者優(yōu)化次數(shù)相同，觀察式(16)以及式(12)可知，對模型計算擴大起主要作用的參數(shù)為θi∈[θi]，qi∈[qi](i=1,2,…,6)，因此對其進行區(qū)間優(yōu)化，仿真結果如圖4所示。

(a)現(xiàn)有模型傳統(tǒng)區(qū)間優(yōu)化和蒙特卡羅點集

(b)層級模型區(qū)間矩陣優(yōu)化和蒙特卡羅點集1.傳統(tǒng)區(qū)間優(yōu)化現(xiàn)有模型區(qū)間邊界2.矩陣區(qū)間優(yōu)化層級模型區(qū)間邊界　·蒙特卡羅樣本點圖4　現(xiàn)有模型、層級模型優(yōu)化和蒙特卡羅驗證仿真結果

對比圖3a和圖4a可知，經(jīng)過傳統(tǒng)區(qū)間優(yōu)化后，現(xiàn)有誤差模型的區(qū)間擴大問題沒有得到很好的改善，圖4b表明引入?yún)^(qū)間矩陣優(yōu)化后，層級誤差模型的區(qū)間界基本上與蒙特卡羅點集相接，根據(jù)圖3b和圖3c中的結果，蒙特卡羅樣本點與實驗測量數(shù)據(jù)點集分布基本一致，仿真結果顯示引入?yún)^(qū)間矩陣優(yōu)化后的層級誤差模型相對于傳統(tǒng)區(qū)間優(yōu)化后的現(xiàn)有誤差模型，能夠基本精確地計算機器人執(zhí)行器的絕對定位分布區(qū)間。

4.2.2實驗結果

對優(yōu)化后的層級誤差模型、現(xiàn)有誤差模型與實驗臺測量數(shù)據(jù)進行分析，結果如圖5、圖6所示。

1.傳統(tǒng)區(qū)間優(yōu)化現(xiàn)有模型區(qū)間邊界圖5　現(xiàn)有模型傳統(tǒng)區(qū)間優(yōu)化和實驗測量點集

(a)層級模型區(qū)間矩陣優(yōu)化和實驗測量點集

(b)層級模型區(qū)間矩陣優(yōu)化和實驗測量點集x、y方向分布

(c)層級模型矩陣區(qū)間優(yōu)化和實驗測量點集y、z方向分布2.矩陣區(qū)間優(yōu)化層級模型區(qū)間邊界　o實驗測量點圖6　層級模型矩陣矩陣優(yōu)化邊界和實驗臺實驗結果

對比圖5和圖6a可知，層級誤差模型經(jīng)區(qū)間矩陣優(yōu)化后的區(qū)間邊界要比現(xiàn)有誤差模型經(jīng)傳統(tǒng)區(qū)間優(yōu)化后的區(qū)間邊界更接近實驗測量點集。結合圖6b和圖6c可知，優(yōu)化后的層級誤差模型區(qū)間在x、y、z方向與實驗測量點集基本接近，但仍有些擴大，如果將優(yōu)化次數(shù)增加就可以得到機器人執(zhí)行器的準確定位分布，實驗結果與圖4中的仿真結果基本一致，因此本文提出的層級誤差模型和區(qū)間矩陣優(yōu)化方法是有效的。

將實驗數(shù)據(jù)與仿真結果匯總得到表2，從表2可以看出，優(yōu)化后的層級誤差模型相對測量定位區(qū)域比ν和采用蒙特卡羅法得到結果基本一致，蒙特卡羅法定位間距與實驗測量點定位間距差最大為0.56mm，而優(yōu)化后的層級誤差模型定位間距與實驗測量點分布區(qū)域定位間距差最大為0.6mm，但是蒙特卡羅法需要計算1000次，而本文提出的方法只需計算128次，計算效率得到了很大提高。

表2　結果對比

5結論

(1)針對6R機器人區(qū)間參數(shù)的實際特性推導了基于修正區(qū)間規(guī)則的擴展運動學誤差模型，并分析了其層級計算特性，在機器人螺栓擰緊實驗平臺以及MATLAB仿真中的結果均表明本文的模型比現(xiàn)有的區(qū)間模型更為精確。

(2)針對誤差模型計算中由于區(qū)間依賴效應導致的結果過于擴大問題，提出了區(qū)間矩陣優(yōu)化方法，通過對比實驗，驗證了區(qū)間矩陣優(yōu)化方法比原有的區(qū)間優(yōu)化方法更高效。

(3)優(yōu)化后的層級誤差模型與蒙特卡羅法計算的結果與實驗得到的該螺栓擰緊6R機器人絕對定位區(qū)域分布基本一致，提出的模型及優(yōu)化方法是合理的，并且其計算效率要比蒙特卡羅法高很多，因此該分析方法可以作為設計人員分析機器人操作精度的參考。

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(編輯王艷麗)

An Absolute Positioning Accuracy Analysis Method for Robot Based on Interval Analysis

Huang KangHe ChunshengZhen ShengchaoHong JianZhao Fumin

Hefei University of Technology,Hefei,230009

Abstract：This paper proposed a method for improving the absolute positioning accuracy of 6R robot based on the analysis of error sources. A more precise and closer extended forward kinematics was deduced based on modified interval calculation rules and POE formula. Then a hierarchy interval kinematics was proposed,which was easy to extended to other kind of robots as well as handle interval dependency,and the overestimation of which might be eliminated by interval matrix refinement developed herein. Monte Carlo samples and the results of contrast simulation between the hierarchy interval kinematics and existing extended interval kinematics show the presented kinematics can get as tight results as desired results more efficient than the existing ones. The presented method was executed on a 6R robot of an automatic transmission assembly line that plays role of tightening screws. Experimental results show that the proposed approach is more efficient and accurate than existing analytic methods.

Key words：POE formula; interval analysis; absolute positioning accuracy; 6R robot

收稿日期：2015-07-27

基金項目：安徽省科技攻關計劃資助項目(1301022085)

中圖分類號：TP242.2

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.11.009

作者簡介：黃康，男，1968年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為機構學、機械傳動、汽車自動變速器、工業(yè)機器人技術。何春生，男，1991年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院碩士研究生。甄圣超，男，1988年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院講師。洪健，男，1992年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院碩士研究生。趙福民，男，1991年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院碩士研究生。