概念，在“線”與“面”的行進(jìn)中明晰

張穎穎

[摘 要]數(shù)學(xué)概念教學(xué)的追求并非是使學(xué)生明白形式化的定義，而是讓學(xué)生真正從意義上理解和從本質(zhì)上把握概念。面積概念的建立是學(xué)生空間觀念形成過(guò)程中的一次重要飛躍，標(biāo)志著學(xué)生在認(rèn)識(shí)一維空間的基礎(chǔ)上開(kāi)始認(rèn)識(shí)二維空間。因此，教學(xué)預(yù)案應(yīng)因生而設(shè)，教學(xué)過(guò)程要順學(xué)而導(dǎo)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)要從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生積極探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、深刻體會(huì)，以實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生在“線”與“面”的行進(jìn)中明晰面積概念的目的。

[關(guān)鍵詞]概念教學(xué) 感知 理解 深化 升華 融會(huì) 面積

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）17-015

源起：概念，學(xué)生真的理解了嗎？

我偶然聽(tīng)到幾位同事聊天：“現(xiàn)在的學(xué)生真是越來(lái)越差了，長(zhǎng)度單位與面積單位老是亂用，怎么講都沒(méi)用！”“學(xué)生的作業(yè)也是錯(cuò)得一塌糊涂?！薄笆前。覀儼鄬W(xué)生也是這樣……”普遍問(wèn)題的背后是否存在共性？我們的概念教學(xué)是否存在問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生根本沒(méi)有真正理解面積的含義？帶著這些問(wèn)題，我走近學(xué)生。

我隨機(jī)走進(jìn)三年級(jí)的兩個(gè)班，拿起數(shù)學(xué)書(shū)讓學(xué)生指一指數(shù)學(xué)書(shū)封面的大小。此時(shí)，學(xué)生尚未認(rèn)識(shí)面積，但他們對(duì)數(shù)學(xué)書(shū)封面大小的表示驚人的統(tǒng)一：約90%的學(xué)生指周長(zhǎng)，4%的學(xué)生茫然，6%的學(xué)生摸數(shù)學(xué)書(shū)部分的封面或點(diǎn)數(shù)學(xué)書(shū)封面的中心。此后，我陸續(xù)在兄弟學(xué)校進(jìn)行走訪，發(fā)現(xiàn)結(jié)果也基本相同?？梢?jiàn)，此時(shí)學(xué)生的思維尚停留在一維空間，對(duì)面積的理解或表達(dá)都是貧乏的、蒼白的。

那么，學(xué)習(xí)面積概念后的學(xué)生是否真正理解了概念，實(shí)現(xiàn)一維空間向二維空間的發(fā)展呢？在教學(xué)此課后，我第一時(shí)間走近學(xué)生，就“一樣長(zhǎng)的線，圍出的圖形面積是否相等”這一問(wèn)題與他們進(jìn)行探討。遺憾的是，92%的學(xué)生依然“線”“面”混淆，將比線的長(zhǎng)短等同于比面的大小。所以，單純的面積概念的教學(xué)可能很難使學(xué)生真正建立起面積的概念，更難以實(shí)現(xiàn)一維空間向二維空間的發(fā)展。

回想之前的對(duì)話與近段時(shí)間對(duì)學(xué)生的了解，我不斷思考著兩個(gè)問(wèn)題：“線”與“面”如何真正辨析，有效溝通？“面”和“面積”的區(qū)別是什么，兩者又該如何有機(jī)銜接？

思考：概念，如何讓學(xué)生真正理解？

“面積的認(rèn)識(shí)”是小學(xué)數(shù)學(xué)中面積知識(shí)學(xué)習(xí)的開(kāi)始，是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。面積概念的建立是學(xué)生空間觀念形成過(guò)程中的一次重要飛躍，標(biāo)志著學(xué)生在認(rèn)識(shí)一維空間的基礎(chǔ)上開(kāi)始認(rèn)識(shí)二維空間。面和面積是兩個(gè)不同的概念，面是指有長(zhǎng)有寬而沒(méi)有厚度的一種行跡，這種行跡有平面還有曲面；而面積是指一個(gè)物體表面或封面圖形所圍成的區(qū)域的度量。為此，本課教學(xué)應(yīng)該從知識(shí)的本質(zhì)入手，立足學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，圍繞物體表面、平面圖形將面與面積的知識(shí)科學(xué)銜接，并通過(guò)“線”與“面”的辨析活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深層思考，逐步感知面積的含義，獲得對(duì)知識(shí)本質(zhì)內(nèi)涵的理解。

實(shí)踐：概念，在“線”“面”辨析中行進(jìn)

一、在觀面中感知概念

1.了解學(xué)情

師：今天這節(jié)課，我們一起來(lái)研究“面積”。大家覺(jué)得什么是面積？

生1：物體表面是面積。

生2：長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)乘寬。

生3：面積就是平方……

師：今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，就從同學(xué)們提到的對(duì)物體表面的研究開(kāi)始。

2.合作觀面

師：四人小組合作，交流討論對(duì)物體（如水杯、數(shù)學(xué)書(shū)等）表面的認(rèn)識(shí)。

課件出示合作要求：四人小組找一找、摸一摸物體的面，相互說(shuō)說(shuō)自己有什么發(fā)現(xiàn)。

3.匯報(bào)交流，豐富認(rèn)識(shí)

學(xué)生小組匯報(bào)有以下幾種情況：（1）從物體的材質(zhì)方面進(jìn)行匯報(bào)，如面是滑滑的、粗糙的；（2）從面的個(gè)數(shù)方面進(jìn)行匯報(bào)，如數(shù)學(xué)書(shū)有6個(gè)面等；（3）從物體面的形狀方面進(jìn)行交流，如紙盒有的面是長(zhǎng)方形的，有的面是三角形的；（4）從物體面的特點(diǎn)方面進(jìn)行交流，如水杯上面是平平的、主體是彎彎的。

4.適時(shí)點(diǎn)評(píng)，抽象出平面與曲面

師在學(xué)生匯報(bào)時(shí)，均給予適時(shí)的點(diǎn)評(píng)，并引導(dǎo)學(xué)生從提到的“平平的面、彎彎的面”中及時(shí)抽象出平面與曲面這兩個(gè)概念。

5.小結(jié)

師：通過(guò)四人小組合作，我們發(fā)現(xiàn)了物體的面有平面，也有曲面，而且形狀各不相同。

……

面積的研究基于面大小的度量。生活中，“面”都是依附“體”存在的，而學(xué)生對(duì)一個(gè)事物的認(rèn)知往往都是先從整體感知，再到逐步觀察的。

基于此，我在全課的起始環(huán)節(jié)從整體感知導(dǎo)入，借助數(shù)學(xué)書(shū)、水杯、紙盒這三個(gè)物體，讓學(xué)生以小組為單位找一找、摸一摸物體的面。由于所提供的學(xué)具形狀具有代表性，學(xué)生自然而然地將觀察點(diǎn)聚焦到了“面”上，并能很快發(fā)現(xiàn)不同的物體，面的形狀會(huì)有所不同。同時(shí)，學(xué)生通過(guò)觸摸感受到了平面與曲面，有效完成了對(duì)“面”的整體感知。

二、在辯面中理解概念

（一）物體表面

1.辨析線與面，認(rèn)識(shí)面積

（1）請(qǐng)面。

課件動(dòng)態(tài)演示，分別出示數(shù)學(xué)書(shū)封面、水杯頂面和紙盒側(cè)面。

（2）辨面（以數(shù)學(xué)書(shū)封面為例）。

①指。

師：這些面各有多大呢？現(xiàn)以數(shù)學(xué)書(shū)封面為例，同桌兩人指指它的大小。（大部分學(xué)生指的是周長(zhǎng)，于是先請(qǐng)指周長(zhǎng)的學(xué)生上臺(tái)演示，再通過(guò)學(xué)生間的辨析，引出不同的意見(jiàn)）

②刷。

師：如果真的如第一個(gè)同學(xué)所指的那樣，那指出的只是這個(gè)面的邊線，所以應(yīng)該要像第二個(gè)同學(xué)那樣指。（然后讓學(xué)生舉起小手，想象它就是一把神奇的帶顏色的刷子，一起刷出整個(gè)面的大小。同時(shí)，師邊說(shuō)邊用課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)描數(shù)學(xué)封面邊線、里面部分消失的過(guò)程，再出示用刷子刷數(shù)學(xué)書(shū)封面的過(guò)程）

③描述。

師：現(xiàn)在你覺(jué)得數(shù)學(xué)書(shū)封面的大小指的是什么？

生1：整個(gè)面都是。

生2（指數(shù)學(xué)書(shū)封面）：就是這里面的一大片。

……

（3）說(shuō)一說(shuō)水杯頂面與紙盒側(cè)面的大小。

師（小結(jié)）：像這樣，物體表面的大小，就叫這個(gè)面的面積。

2.比較三個(gè)面面積的大小

師：找比數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積大得多的面，比黑板面的面積小一點(diǎn)的面，比黑板面的面積大得多的面。

（二）封閉圖形

1.圍

師：剛才我們通過(guò)對(duì)物體表面的研究，知道了什么叫面積。現(xiàn)在老師這里有這樣的四條線（如右圖），如果將它們分別圍成一個(gè)封閉圖形，想一想，會(huì)圍成什么圖形？（課件動(dòng)態(tài)演示將四條線段圍成圓、正方形、長(zhǎng)方形、三角形）

2.指

（請(qǐng)學(xué)生代表上臺(tái)指一指封閉圖形的面積在哪里）

師生（小結(jié)）：圓的大小，就是圓的面積；長(zhǎng)方形的大小，就是長(zhǎng)方形的面積；正方形的大小……

師：是啊，封閉圖形的大小，也叫封閉圖形的面積。

3.比較

師：這里圓、長(zhǎng)方形、正方形、三角形的面積，誰(shuí)大誰(shuí)小呢？

生3：圓的面積最大，三角形的面積最小，長(zhǎng)方形與正方形的面積相等。

生4：圓的面積最大，三角形的面積最小，正方形的面積比長(zhǎng)方形的面積大。

4.辯

（請(qǐng)持不同意見(jiàn)的學(xué)生分別闡述理由，學(xué)生有的認(rèn)為圍兩個(gè)圖形的線一樣長(zhǎng)，所以它們的面積一樣大；有的則認(rèn)為雖然圍的線一樣長(zhǎng)，但是面積不一定相等）

師（提煉觀點(diǎn)并板書(shū)）：一樣長(zhǎng)的線，圍出來(lái)的圖形，面積一定（不一定）相等。（然后給出兩根一樣長(zhǎng)的線，邀請(qǐng)意見(jiàn)相反的兩個(gè)學(xué)生在操場(chǎng)上圍一圍，使學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，得出結(jié)論：一樣長(zhǎng)的線，圍出來(lái)的圖形，面積不一定相等。

……

面積概念的建立標(biāo)志著二維空間認(rèn)識(shí)的開(kāi)始。上述教學(xué)作為面積概念構(gòu)建的重要環(huán)節(jié)，我主要從物體表面與封閉圖形兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)面積，并緊扣學(xué)情設(shè)計(jì)兩個(gè)“線”“面”的辨析活動(dòng)。第一個(gè)活動(dòng)為討論“面的大小指哪里”。受周長(zhǎng)的負(fù)遷移影響，大部分學(xué)生通常用“指邊線”代替“摸面”，分析其背后的原因主要有兩個(gè)：一是學(xué)生確實(shí)不理解面的大小到底指哪里；二是學(xué)生懵懂知曉，但不知如何表達(dá)。可見(jiàn)，不論是哪種情況，都有必要讓學(xué)生經(jīng)歷“指邊線”與“摸面”的辨析活動(dòng)，從本質(zhì)上實(shí)現(xiàn)他們對(duì)面積概念的有效構(gòu)建。第二個(gè)活動(dòng)為討論“一樣長(zhǎng)的線圍出的圖形面積是否一定相等”。大部分學(xué)生都認(rèn)為兩條一樣長(zhǎng)的線所圍的圖形的面積一定相等，即將線的長(zhǎng)短等同于面的大小。所以，在認(rèn)識(shí)封閉圖形面積這一環(huán)節(jié)中，我再一次引入“線”“面”的比較：用四根線段（其中兩根線的長(zhǎng)度相等）圍封閉圖形，引導(dǎo)學(xué)生在比較所圍圖形面積的大小時(shí)展開(kāi)討論，得出一樣長(zhǎng)的線圍出的圖形面積一定相等與面積不一定相等兩個(gè)觀點(diǎn)。毋庸置疑，學(xué)生在經(jīng)歷了這樣兩個(gè)“線”“面”的辨析活動(dòng)后，對(duì)面積概念的理解會(huì)更加深刻，一維空間向二維空間的發(fā)展也就水到渠成了。

三、在測(cè)面中深化概念

1.同桌合作，測(cè)量圖形面積的大小

課件出示大小不同的正方形、圓形、剪刀，要求學(xué)生同桌合作，選擇工具比較圖形面積的大小。

2.匯報(bào)交流，分享比較的方法

學(xué)生的比較方法主要有兩種，分別為剪拼法與擺圖形，作品如下圖。

接著，師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較長(zhǎng)方形、正方形面積大小的方法，并讓學(xué)生思考：哪種方法最合理，為什么？然后使學(xué)生得出：用完全一樣的小正方形來(lái)量，是非常不錯(cuò)的方法。在此基礎(chǔ)上，師引導(dǎo)學(xué)生理解只擺一行一列的這種情況，并讓學(xué)生介紹是怎樣比較圖形面積大小的。

……

顯而易見(jiàn)，上述環(huán)節(jié)是為學(xué)生進(jìn)一步理解面積概念而設(shè)計(jì)的，并為面積單位的教學(xué)埋下伏筆。

在通過(guò)擺圖形來(lái)比較圖形面積大小的過(guò)程中，體現(xiàn)了多個(gè)思維層次，即有的擺滿，有的只擺一行一列就能比較出圖形面積的大小了。而且，學(xué)生在比較中，有的選擇擺正方形比較，有的選擇擺圓形比較，有的統(tǒng)一了比較的標(biāo)準(zhǔn)，有的則沒(méi)有統(tǒng)一比較的標(biāo)準(zhǔn)。雖然方法各有不同，且有瑕疵，但學(xué)生均已由課始的比“線”到了如今自覺(jué)的比“面”，有效深化了所學(xué)的數(shù)學(xué)概念。

四、在想象中升華概念

1.猜一猜

師（多媒體動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)下圖）：哪個(gè)長(zhǎng)方形的面積大？

通過(guò)猜一猜使學(xué)生明確：要想象一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，至少要知道兩個(gè)元素，即長(zhǎng)與寬。

2.估計(jì)（多媒體出示下圖）

根據(jù)已知的長(zhǎng)與寬，想象是什么學(xué)習(xí)用品的哪個(gè)面，并估計(jì)這個(gè)面的面積有幾個(gè)小正方形這么大。（此題有橡皮上面、學(xué)生尺表面、鉛筆盒上面三組學(xué)習(xí)用品，圖例僅為其中的一組）

……

小學(xué)階段是人的一生中空間觀念發(fā)展的重要時(shí)期，而“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容無(wú)疑是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的最佳載體。誠(chéng)然，這節(jié)課的“線”“面”辨析已為發(fā)展學(xué)生的空間觀念提供了較好的平臺(tái)。于此，我還想從空間想象這個(gè)維度加以落實(shí)與升華，逐步引領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)一維空間到二維空間的發(fā)展。

在此課的練習(xí)環(huán)節(jié)中，我借助空間想象設(shè)計(jì)了“猜一猜”的活動(dòng)，在鞏固新知的同時(shí)再次發(fā)展學(xué)生的空間觀念，引導(dǎo)學(xué)生從“看到一行一列想象長(zhǎng)方形的面積”到“看到一條長(zhǎng)和一條寬想象長(zhǎng)方形的面積”再到“只看到一條邊能不能想象一個(gè)長(zhǎng)方形的面積”，使學(xué)生直觀而又深刻地感悟到：要想象一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，至少要知道長(zhǎng)與寬兩個(gè)元素。基于此，我再讓學(xué)生根據(jù)提供的一條長(zhǎng)與一條寬想象長(zhǎng)方形的面積，并與生活中實(shí)際物體的面加以聯(lián)系，借助小正方形估測(cè)面積。在這層層深入的猜測(cè)和想象中，學(xué)生的參與熱情被點(diǎn)燃，更是由具象到抽象，再由抽象回到具象，形象直觀地實(shí)現(xiàn)一維空間向二維空間的發(fā)展。

五、在溝通中融會(huì)概念

1.以線量線

師：還記得我們量線段長(zhǎng)度時(shí)，是用什么量的嗎？（學(xué)生回答后，課件演示用尺子測(cè)量線段的長(zhǎng)度，如下圖）

2.以面量面

師（課件動(dòng)態(tài)演示線變成面的過(guò)程）：現(xiàn)在，我們知道了可以用小正方形去量面積。

3.以體量體

師（課件動(dòng)態(tài)演示面變成體的過(guò)程）：如果我們以后要測(cè)量立體圖形面積的大小，會(huì)用什么量？

……

在“圖形與幾何”內(nèi)容中，長(zhǎng)度、面積、體積是刻畫(huà)圖形大小的度量概念，根據(jù)圖形的維數(shù)，它們的內(nèi)涵表述是有差異的。長(zhǎng)度、面積和體積是一組從一維空間至二維空間再到三維空間的度量概念，三者在要素構(gòu)成中具有邏輯關(guān)系，經(jīng)歷了“點(diǎn)——線——面——體積”的過(guò)程。本節(jié)課“面積的認(rèn)識(shí)”，打破了學(xué)生用線度量長(zhǎng)度的單一思維，開(kāi)始接觸以面度量面積大小的知識(shí)，而單位的匹配性會(huì)是我們教學(xué)中關(guān)注的重點(diǎn)。

課末，我從單位匹配性的溝通比較與拓展延伸入手，設(shè)計(jì)了“以線量線”“以面量面”“以體量體”的環(huán)節(jié)，使學(xué)生在回憶、思考與推論中融會(huì)貫通。在數(shù)形結(jié)合的直觀演示中，學(xué)生形成了認(rèn)知表象，使長(zhǎng)度與面積的表征于潛移默化中記憶深刻，而對(duì)體積的感悟也逐漸加深。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)不僅是全課的知識(shí)回顧，更是“圖形與幾何”領(lǐng)域知識(shí)脈絡(luò)的橫向溝通與縱向深入。相信有了以上的教學(xué)，學(xué)生濫用單位的現(xiàn)象會(huì)得到明顯改變。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的追求并非是使學(xué)生明白形式化的定義，而是讓學(xué)生真正從意義上理解和從本質(zhì)上把握概念。課堂教學(xué)設(shè)計(jì)有多種方法，但無(wú)論是掌握概念，還是滲透思想方法都非教師的一廂情愿，而應(yīng)該是因生而設(shè)、順學(xué)而導(dǎo)。朱永新教授曾說(shuō)過(guò)：“要想把學(xué)生引領(lǐng)到你需要的地方，你得知道學(xué)生現(xiàn)在在哪里。”此課教學(xué)從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，在“線”與“面”的一觀一辯、一測(cè)一想之間層層深入，引導(dǎo)學(xué)生積極探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、深入體會(huì)，使學(xué)生的思維在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中得到發(fā)展。

（責(zé)編 藍(lán) 天）