“直線的斜率”教學(xué)設(shè)計及反思

時訓(xùn)江

(江蘇省南京市第十三中學(xué),210008)

“直線的斜率”教學(xué)設(shè)計及反思

時訓(xùn)江

(江蘇省南京市第十三中學(xué),210008)

一、基本情況分析

本文是上半年南京市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比活動中筆者執(zhí)教的關(guān)于“直線的斜率”一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計及反思．

1.教材及內(nèi)容分析

直線的斜率是高中解析幾何的起始課,揭開了解析幾何研究的序幕．通過本節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生經(jīng)歷用幾何與代數(shù)兩種方法刻畫直線方向的過程,初步感受用代數(shù)方法研究幾何圖形這一解析幾何的本質(zhì)方法.即先建立坐標(biāo)系,將幾何問題代數(shù)化,用代數(shù)語言描述幾何要素及其相互關(guān)系．

不同版本教材對本節(jié)內(nèi)容的展現(xiàn)順序雖然存在差異,但都圍繞“怎樣刻畫直線的傾斜程度”這一問題展開．人教版教材首先提出“傾斜角”的概念，再類比生活中坡度的概念,給出代數(shù)的一種表示方法,即利用數(shù)“tanα”刻畫直線的方向,并定義斜率k=tanα.在此過程中,比較了代數(shù)方法和幾何方法表示斜率的異同點(diǎn)．蘇教版教材首先介紹了坡度的概念,再通過類比的方法得到了過兩點(diǎn)的直線斜率的計算公式,繼而給出傾斜角的概念,揭示傾斜角與斜率的關(guān)系,理解斜率的本質(zhì)．雖然不同版本教材呈現(xiàn)的邏輯順序不同,但都突出了“斜率”這一代數(shù)量表征直線方向的作用,體現(xiàn)解析幾何基本研究思路．

2. 學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對象來自省四星級高中一年級強(qiáng)化班,基礎(chǔ)較好,有一定的自學(xué)能力、推理能力和探究能力．課前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)(含三角函數(shù))、數(shù)列等知識,對函數(shù)“數(shù)”的表示形式——解析式、“形”的表示形式——圖象有了一定的認(rèn)識,初步體會了數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中的作用．

3. 目標(biāo)分析

本節(jié)內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》(蘇教版)必修2平面解析幾何初步的起始課．學(xué)生在已有關(guān)于直線知識和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,圍繞“用什么量刻畫直線的方向(傾斜程度)”這一問題,通過合作探究,學(xué)生經(jīng)歷用幾何與代數(shù)方法刻畫直線方向的過程,感受數(shù)形結(jié)合的思想方法．同時，學(xué)生經(jīng)歷直線傾斜角和斜率兩個數(shù)學(xué)概念自主建構(gòu)的過程,掌握過兩點(diǎn)直線的斜率計算公式,以及掌握直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系．

4. 重點(diǎn)難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn):直線的傾斜角和斜率的概念;直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系．

教學(xué)難點(diǎn):如何選擇刻畫直線方向的數(shù)學(xué)量;如何自主建構(gòu)數(shù)學(xué)概念．

二、教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境 抽象本質(zhì)

課前導(dǎo)語:華羅庚先生曾說:數(shù)無形時少直覺,形少數(shù)時難入微,幾何代數(shù)流一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離．以形助數(shù),以數(shù)解形,數(shù)形結(jié)合是解析幾何研究的基本方法．直線是最基本的幾何圖形,本節(jié)課我們將在初中學(xué)習(xí)直線的基礎(chǔ)上繼續(xù)來研究直線．

師:請大家在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意畫幾條直線．

教師巡視,請四位同學(xué)板演(指定黑板位置,學(xué)生書寫，教師設(shè)置導(dǎo)引問題)．

問題1請觀察這些直線有何不同?

生1:有的直線上升,有的直線下降．

生2:有的直線很陡峭,有的直線很平緩．

師:每條直線都有各自的特征,位置也各有不同,大家觀察得很仔細(xì),很好!

問題2確定直線位置的要素有哪些?

(激發(fā)學(xué)生思考,主動探究,自主選擇)

師:大家討論結(jié)果可以歸納如下,確定直線位置的要素:一是點(diǎn)(至少兩個不同的點(diǎn));二是直線傾斜程度．

我們知道點(diǎn)可以用直角坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)刻畫,那么:

問題3用什么量刻畫直線的方向(傾斜程度)呢?

繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察所畫的直線,小組交流討論．

教師總結(jié)學(xué)生討論結(jié)果,主要是選擇以下量來刻畫直線方向:幾何量(角度),代數(shù)量(比值、向量)．

問題4如何用幾何量刻畫直線的方向(傾斜程度)?如何用代數(shù)量刻畫直線的方向(傾斜程度)?

師:大家分個工,一、二兩組同學(xué)主要選擇幾何量,三、四兩組同學(xué)主要選擇代數(shù)量,當(dāng)然也可以都選擇．

學(xué)生分組討論,教師巡視(課堂氣氛熱烈).

兩組分別匯報交流討論結(jié)果．

問題5(1)圖1中角(記為α)如何定義(頂點(diǎn)、起始邊、范圍等)?

引導(dǎo)學(xué)生回顧角的定義,用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來描述該角．

(2)如圖2，向量的方向如何定義(起點(diǎn)和終點(diǎn)如何確定、兩點(diǎn)的任意性等)?

設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

上述表達(dá)式有什么特點(diǎn)?

問題6角度和比值有關(guān)系嗎?

課堂氣氛十分活躍,同學(xué)很快發(fā)現(xiàn):

追問:當(dāng)x1=x2時,情況如何?(數(shù)學(xué)概念的完備性)

2. 歸納總結(jié) 建構(gòu)概念

引入課題:

“用角度和比值來刻畫直線方向”就是今天我們要討論的課題:直線的斜率(教師板書課題)

(1) 傾斜角的概念

傾斜角的概念:在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線,把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為該直線的傾斜角.

并規(guī)定:與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°．

問題7如何準(zhǔn)確理解直線傾斜角的概念?

理解關(guān)鍵詞:逆時針 最小正角.

導(dǎo)出傾斜角的取值范圍:[0°,180°)．

(2) 斜率的概念

斜率的概念:已知直線上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果x1≠x2,那么該直線的斜率為

如果x1=x2,那么該直線的斜率不存在．

師:從形的角度,我們用傾斜角來刻畫直線的傾斜程度;從數(shù)的角度,我們用斜率來刻畫直線傾斜程度,數(shù)形結(jié)合,完美統(tǒng)一!

3. 鞏固練習(xí) 深化理解

例1已知直線l1,l2,l3都經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),又l1,l2,l3分別經(jīng)過點(diǎn)Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q1(-3,2),求直線l1,l2,l3的斜率.

解設(shè)k1,k2,k3分別表示直線l1,l2,l3的斜率,則

師:本例中,通過計算直線的斜率,感受直線斜率的符號與直線的方向之間的對應(yīng)關(guān)系，體會數(shù)與形的相關(guān)關(guān)系．

例2經(jīng)過點(diǎn)(3,2)畫直線,使直線斜率分別為:

解(i)從點(diǎn)(3,2)開始,向右平移4個單位,再向上平移3個單位,得到點(diǎn)(7,5)，則過點(diǎn)(3,2)和(7,5)的直線即為所求.

(ii)從點(diǎn)(3,2)開始,向右平移1個單位,再向下平移1個單位,得到點(diǎn)(4,1)，則過點(diǎn)(3,2)和(4,1)的直線即為所求.(或者,從點(diǎn)(3,2)開始,向左平移1個單位,再向上平移1個單位,得到點(diǎn)(2,3)，則過點(diǎn)(3,2)和(2,3)的直線即為所求.)

師:通過本例,大家可以進(jìn)一步理解直線斜率的幾何意義．同學(xué)們還有其它畫法嗎?

生:還可以利用該直線斜率及已知點(diǎn)再求出另外一個點(diǎn)坐標(biāo)．

師:很好,大家沿著他的思路,試試看．這樣的點(diǎn)唯一嗎?

生:不唯一,只要取一個即可,兩點(diǎn)定線!

生:還可以利用該直線斜率計算出傾斜角.它的傾斜角為135°,過(3,2)作x軸的平行線,以(3,2)為頂點(diǎn),逆時針方向旋轉(zhuǎn)135°,所得到的直線就是．

師:同學(xué)們真是太了不起了．這些方法都很好,大家只要保持探究的精神,你一定會有意想不到的收獲．

4. 課堂小結(jié)

本節(jié)課我們一起解決了“怎樣刻畫直線的傾斜程度”的問題,經(jīng)歷了直線的斜率和傾斜角概念的建構(gòu)過程,感受了數(shù)形結(jié)合的思想在解析幾何中應(yīng)用．

三、教學(xué)感悟

1. 數(shù)學(xué)概念教學(xué),要重形式,更要重本質(zhì)

本節(jié)課是直線的斜率的概念教學(xué)課(新授課).當(dāng)前概念教學(xué)課不少都是走過場，常常采用“一個定義,幾項注意”的方式,在概念的背景引入上著墨不夠或者“開門遲遲不見山”,沒有給學(xué)生充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會.還有用解題教學(xué)代替概念教學(xué),學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量的時間和精力,結(jié)果對數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵、本質(zhì)特征知之甚少．李邦河院士認(rèn)為:數(shù)學(xué)根本上是玩概念的,不是玩技巧.技巧不足道也!數(shù)學(xué)概念教學(xué)時,如果只重視形式而忽視對形式背后實(shí)質(zhì)和內(nèi)涵的挖掘,有可能造成“雙基”失落的后果．?dāng)?shù)學(xué)概念的形成大體可以歸納如下:環(huán)境→感覺→知覺→表象→概念．將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開,以典型豐富的實(shí)例為載體,以問題導(dǎo)引的方式展開教學(xué),層層鋪墊,環(huán)環(huán)相扣,引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性,歸納得出數(shù)學(xué)概念．

2. 數(shù)學(xué)概念教學(xué),要激發(fā)學(xué)生主動建構(gòu),更要發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用

新課程倡導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)數(shù)學(xué)．當(dāng)下很多數(shù)學(xué)課堂也很推崇學(xué)生自主學(xué)習(xí), 主動發(fā)現(xiàn),自主建構(gòu)．但大多數(shù)情形卻是:教師給學(xué)生足夠的時間討論交流,課堂看似很生動,也很熱鬧,教師倒是“閑人”一個．筆者認(rèn)為,新課程所倡導(dǎo)的學(xué)生自主探究活動一定是在教師精心指導(dǎo)下的有意義的數(shù)學(xué)活動．

本節(jié)課,教師根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識,以問題導(dǎo)引的形式展開教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)、完善概念．學(xué)生對刻畫直線方向的選擇是多元化:角度、坐標(biāo)、比值等；教師在遵循學(xué)生自主選擇基礎(chǔ)上,不斷追問,將粗略的感知細(xì)化為嚴(yán)格的定義．學(xué)生完成自主概念建構(gòu)后,教師組織學(xué)生交流,相互評價、補(bǔ)充,完善直線的斜率和傾斜角的概念，引導(dǎo)學(xué)生明確兩者的關(guān)系,強(qiáng)調(diào)不論一開始時選擇幾何量還是代數(shù)量刻畫直線方向,最終需建立概念之間的聯(lián)系,突出用代數(shù)量描述幾何圖形特征的解析幾何方法.