問題與方法同在　思維攜能力齊飛
——分離參數(shù)法習(xí)題課課堂教學(xué)及反思

丁金華

(江蘇省新沂市高級中學(xué)，221400)

問題與方法同在思維攜能力齊飛
——分離參數(shù)法習(xí)題課課堂教學(xué)及反思

丁金華

(江蘇省新沂市高級中學(xué)，221400)

不等式恒成立背景下的求參數(shù)范圍問題是求參數(shù)取值范圍問題的重中之重,其為所有省份高考的命題熱點(diǎn).“數(shù)形結(jié)合法”、“分離參數(shù)法”是解決這類問題的基本方法,但學(xué)生在考試操作時(shí)總會(huì)遇到各種問題,非常有必要針對此處的細(xì)節(jié)進(jìn)行深入分析．

一、問題提出

師:求參數(shù)范圍問題是考試重點(diǎn)題型,但大家對于此類問題的處理思路不清晰、計(jì)算不準(zhǔn)確、解題不規(guī)范.針對以上情況,這節(jié)課我們就此問題組織一節(jié)習(xí)題課,請首先探究以下數(shù)學(xué)問題．

分組討論大約5分鐘,小組代表開始展示，并與老師交流.

因?yàn)棣?(2a2-2)2+8a2>0,結(jié)合圖象,應(yīng)有

分別解上面兩個(gè)不等組式,即可求得a的取值范圍,但是我還沒有解出最后結(jié)果．

師:以上是求參數(shù)范圍問題時(shí)常用的“數(shù)形結(jié)合法”.生1思路清晰,表達(dá)準(zhǔn)確,值得肯定,但是這樣的解法運(yùn)算較大,這也是生1沒有給出最后結(jié)果的原因,請生1接下來繼續(xù)完成本題．大家回顧,求參數(shù)范圍還有什么其他更好方法?

生2:這類題最常用分離參數(shù)法,但是本題含有a2,參數(shù)不能直接分離出來,所以這種方法不適合用來解決本題．

師:能不能再想一想辦法,設(shè)法將參數(shù)分離出來?

生3:可以將參數(shù)整體分離,例如，m2+m≥2sinx對x∈R恒成立,我們還是可以求出m的取值范圍．

師:生3的想法很好,請大家接著嘗試用整體分離參數(shù)法解決本題．

二、方法小試

生4:整體分離a，可得

解之得0

師:生4分析問題深入,解決問題條理清楚，簡單明了,值得表揚(yáng)，請大家發(fā)表對以上解題過程的的體會(huì)．

生5:求參數(shù)范圍時(shí)分離參數(shù)法有時(shí)看似不可用,但實(shí)際可能很高效,所以要勇于嘗試,遇到困難時(shí)不能退縮，要有分離參數(shù)的意識．在實(shí)際解題時(shí)雖然參數(shù)可能含有平方項(xiàng),但是可以整體分離,處理問題要靈活．

師(追問):結(jié)合之前處理恒成立問題的經(jīng)驗(yàn)及本節(jié)課內(nèi)容,請你們想想?yún)?shù)不好分離的情況還可能有哪些？

生6:參數(shù)的系數(shù)符號不確定,這時(shí)就不能直接分離,例如:mx≤2x2+1,x∈R 恒成立,求m的范圍.分離參數(shù)時(shí),不等號方向不能確定,怎么辦？

三、思維發(fā)展

師:不等號的方向不確定時(shí),我們可以通過分類解決這個(gè)問題,再試一試下面這道題．

問題2設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1,若x∈[-1,1]時(shí),f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

此題作為2008年江蘇卷最后一個(gè)填空題,綜合性強(qiáng),涉及數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法多,有較高的訓(xùn)練價(jià)值,而且針對該題，教師已經(jīng)充分預(yù)設(shè),能啟發(fā)學(xué)生想清楚,寫明白,有利于優(yōu)化的數(shù)學(xué)思維,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．

學(xué)生思考后開始展示:

生7:因?yàn)閤∈[-1,1],所以可分三種情況討論:

(1)若x=0,f(x)=1≥0恒成立；

綜合(1)(2)(3)，可得a=4.

師:結(jié)合以上兩題,請您們談?wù)勈斋@及感受(引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),反思)．

生8:分析問題時(shí)方法有了,但在題目特定環(huán)境下可能會(huì)遇到新問題,這時(shí)要改變思維方式,方法總比困難多．分離參數(shù)法是處理恒成立問題的重要方法,使用時(shí)遇到困難要想辦法克服它,“狹路相逢勇者勝”,這不僅僅體現(xiàn)在求參數(shù)范圍問題．

師:實(shí)際上,分離參數(shù)還有可能遇到新問題,這時(shí)我們需要的不僅僅是具體的“分離參數(shù)”法,而是“分離參數(shù)”解決問題的決心和能力．

問題3設(shè)f(x)是定義在x∈[-1,1]上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),g(x)=lnx-ax2.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若對于區(qū)間(0,1]上任意的x,都有|f(x)|≥1成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

師:本題的關(guān)鍵在于對|f(x)|≥1的處理,需要去掉絕對值符號,是采用平方法?還是使用絕對值定義?

生9:還是采用絕對值定義較好,平方太復(fù)雜．

師:好吧,你們贏了,接下來放手去做吧！

生10:(1)結(jié)合函數(shù)奇偶性,易知

(2)若對于區(qū)間(0,1]上任意的x,都有|f(x)|≥1成立,則

對任意x∈(0,1]，-lnx+ax2≥1恒成立,或者對任意x∈(0,1]，-lnx+ax2≤-1恒成立．

四、能力提升

師:由問題3可知,含絕對值不等式恒成立照樣分離參數(shù),在含有二元變量的方程有解問題,我們也可以借鑒這種思維分析、處理問題.也就是想辦法分離其中一個(gè)變量,用另一個(gè)變量表示,結(jié)合題目其他條件,判斷方程有無解或者解出兩個(gè)變量值．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；

生11:(1)an=2n(具體過程此處省略)．

若b1,bm,bn成等比數(shù)列,則

但是接下來就不知改如何處理了．

師:提示一下,此時(shí)的n分離到位了嗎?如果沒有,就還可以再往下面走一走,該如何走下去?

所以-2m2+4m+1>0, 從而

又m∈N*,所以m=2,此時(shí)n=12,經(jīng)驗(yàn)證m=2,n=12滿足題意．

師:很好,對n的分離一定要到位,這時(shí)問題就容易解決了,看來分離參數(shù)不僅僅是數(shù)學(xué)方法,更是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力.上述一系列解題過程,看似“新奇”,實(shí)則“平凡”,關(guān)鍵在于處理問題時(shí)做到“因果關(guān)系清晰,推理有理有據(jù),表達(dá)層次清楚,結(jié)果完整無缺”．

五、教學(xué)感悟

1.學(xué)生的數(shù)學(xué)思維只能在數(shù)學(xué)活動(dòng)中得到發(fā)展

數(shù)學(xué)問題作為促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的重要載體,可以開發(fā)潛能,暴露不足,促進(jìn)學(xué)生思考模式不斷完善,一定程度上,數(shù)學(xué)課堂就是解決一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題的過程．要善于設(shè)計(jì)知識與方法“生長點(diǎn)”上的問題,以問帶思、以問帶練,通過解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)活動(dòng),促進(jìn)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn),認(rèn)識到可以從多角度分析問題、多層次解決問題.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中,學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)會(huì)經(jīng)歷沖擊、碰撞、重組,完成重新自我建構(gòu),這個(gè)時(shí)候數(shù)學(xué)思維自然而然的就發(fā)生和發(fā)展了．本案例“問題導(dǎo)學(xué)、合作探究”,教師恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)路標(biāo),導(dǎo)航引路,促進(jìn)學(xué)生積極參加到數(shù)學(xué)活動(dòng)中去,學(xué)生在活動(dòng)中探索解題思路,探求解題結(jié)果,感受到了思維受阻的苦悶,更享受了解題成功的喜悅,在一次次的頭腦風(fēng)暴中發(fā)展了數(shù)學(xué)思維．?dāng)?shù)學(xué)思維的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)活動(dòng),數(shù)學(xué)活動(dòng)效果的呈現(xiàn)關(guān)鍵在數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)．

2.學(xué)生的數(shù)學(xué)能力在數(shù)學(xué)探究中才能生長

“課堂要呈現(xiàn)的不僅僅是鮮花,還應(yīng)該有鮮花綻放的過程”.在數(shù)學(xué)課堂上,我們不僅僅要數(shù)學(xué)結(jié)果,更需要的是在結(jié)果出現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)體驗(yàn)及思維過程,那恰恰是數(shù)學(xué)能力生長的關(guān)鍵．高三階段的復(fù)習(xí)課,很多老師組織教學(xué)的原則是“將題目講透”.他們努力將題目的來龍去脈,方法思路、一題多解、變式訓(xùn)練統(tǒng)統(tǒng)告訴學(xué)生,學(xué)生只需坐享其成,“帶著眼睛、耳朵欣賞就夠了”,學(xué)生的參與僅僅是記筆記．他們認(rèn)為這樣的解題教學(xué)能節(jié)約時(shí)間,提高效率,只要課堂總結(jié)到位、練習(xí)跟蹤到位,學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力自然就有了.就這樣,老師沒少講,學(xué)生沒少練,但效果一點(diǎn)也不明顯.實(shí)際上,在高三備考復(fù)習(xí)中,教師要關(guān)注的不是講題的多少,更不是解題方法是否精彩,變式訓(xùn)練是否到位,要關(guān)注的是在解題教學(xué)中學(xué)生參與探究活動(dòng)時(shí)間及深度,如何給學(xué)生恰到好處的引導(dǎo),使他們的數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)探究合理地展開和進(jìn)行.不能剝奪學(xué)生獨(dú)立思考和合作探究的機(jī)會(huì),要讓學(xué)生積極嘗試、合理探索．本案例中學(xué)生經(jīng)歷了“運(yùn)算的困擾”,嘗試了“方法的多樣”,感受了“邏輯的嚴(yán)密”,體驗(yàn)了“觸類旁通的感覺”,一節(jié)課共涉及4個(gè)數(shù)學(xué)問題,沒有一個(gè)題目是老師“講會(huì)的”,而是老師提供機(jī)會(huì),讓他們“悄悄地,不知不覺就會(huì)了”.經(jīng)歷本節(jié)課的探索過程,學(xué)生掌握的的不僅僅是這四個(gè)數(shù)學(xué)問題,還有很多很多．學(xué)生數(shù)學(xué)能力的生長,數(shù)學(xué)探究是關(guān)鍵,要努力給學(xué)生提供數(shù)學(xué)探究的機(jī)會(huì),這不僅僅體現(xiàn)在高三復(fù)習(xí)課上，而且應(yīng)當(dāng)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中．