一道數(shù)列高考題的解題研究

林惠賢

(廣東省佛山市南海區(qū)大瀝鎮(zhèn)高級中學,528231)

○解題研究○

一道數(shù)列高考題的解題研究

林惠賢

(廣東省佛山市南海區(qū)大瀝鎮(zhèn)高級中學,528231)

數(shù)列是高中數(shù)學的重點內容之一,也是與大學數(shù)學銜接的橋梁,在歷年的高考試題中都占有重要位置．但是從試卷分析情況看,學生對數(shù)列知識的掌握和應用不容樂觀．本文以2012年廣東高考數(shù)學(理科卷)第19題為例,談談對該題的一些解題研究,希望能在解決數(shù)列綜合題方面給大家一些有益的教學啟發(fā)．

題目設數(shù)列{an}的前n項和為Sn滿足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*，且a1,a2+5，a3成等差數(shù)列.

(1)求a1的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式;(3)證明:對一切正整數(shù)n,有

一、題目分析

題目主要考查了數(shù)列an與Sn的關系,等差中項的性質與等比數(shù)列的概念、性質、通項公式及求和公式,還有數(shù)列與不等式的綜合．涉及到的數(shù)學思想與方法主要有:方程(組)思想的應用，轉化與化歸思想的運用，構造法、待定系數(shù)法、累加法、累乘法、數(shù)學歸納法、裂項相消法、放縮法等．

該題難度分三個層次,第(1)問屬于基礎題,第(2)問屬于中檔題,第(3)問是數(shù)列型不等式的證明,難度較大．題目的已知條件較少,明顯條件為“2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列”；隱含條件是等差中項的性質,以及an與Sn的關系,即Sn=a1+a2+…+an和an=Sn-Sn-1(n≥2).通過這些條件不難列出方程組求出a1的值,從而解決第(1)問．由于已知條件給出Sn與an+1的關系式,故第(2)問可歸結為“知Sn求an”的問題,借助明顯條件“2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*”和隱含條件“an=Sn-Sn-1(n≥2)”,運用化歸思想使第(2)問得到解決．至于第(3)問數(shù)列型不等式的證明,顯然要把第(2)問的結論作為已知條件使用,也就是說第(3)問的求解要依賴于第(2)問的順利解答．該題的三個小問層層遞進,緊密聯(lián)系,前一問解答的正確與否直接關系到下一問的解答．

二、解題思路分析

1.對于第(1)問，

在2Sn=an+1-2n+1+1中

令n=1得2S1=a2-22+1,即

2a1=a2-3.

①

令n=2得2S2=a3-23+1，即

2(a1+a2)=a3-7.

②

再結合條件“a1,a2+5,a3成等差數(shù)列”又可得2(a2+5)=a1+a3.

③

聯(lián)立①②③，解得a1=1.

在解決本題第(1)問時,估計學生的易錯點主要有兩個:一是審題不認真、細致,把數(shù)列{an}誤以為是等差或等比數(shù)列,亂套其通項公式及求和公式．二是只會由明顯條件列出一個關系式“2(a2+5)=a1+a3”,不善于發(fā)掘隱含條件,缺乏利用方程(組)的思想去解決問題．筆者認為,若把第(1)問改為“求a1,a2,a3的值”,學生可能會更容易聯(lián)想到借助an與Sn的隱含關系．因此,在教學中,如果發(fā)現(xiàn)學生找不到思路時,可適當改動一下問題以作提示,讓學生能更自然、更容易地聯(lián)想到解題的方向和思路．另外,在求解方程組的過程中,估計學生主要采用以下兩種策略:一是由① ② 得a2=2a1+3,a3=6a1+13,代入③ 解得a1=1.這是常規(guī)做法,把三元問題轉化為一元問題解決．二是由②-③ 得a1=1，這種方法能結合該方程組的特點,迅速、快捷、一步到位就把問題解決．因此,在教學中,我們既要注重通法通則的教學,也要注重解題技巧的教學,鼓勵學生盡量結合題目特點,選取最優(yōu)算法以提升解題速度．

2.對于第(2)問

由2Sn=an+1-2n+1+1，得2Sn-1=an-2n+1(n≥2)，兩式相減，可得2an=an+1-an-2n,即an+1=3an+2n(n≥2).接下來有3種不同的解題方法可供選擇.

思路1(先變形再用累加法)

先兩邊同時除以3n+1,得

所以an=3n-2n(n≥2).

當n=1時，a1=1,也滿足該式子,所以數(shù)列{an}的通項公式是an=3n-2n.

思路2(先變形再用構造法)

先兩邊同時除以2n+1,得

再通過待定系數(shù)法構造輔助數(shù)列求得an=3n-2n(n≥2)，進而由a1=1也滿足該式得到通項公式an=3n-2n(n∈N*).

思路3(直接用構造法)

由an+1=3an+2n，得an+1+2n+1=3(an+2n),所以數(shù)列{an+2n}(n≥2)是一個以a2+4=5+4=9為首項，3為公比的等比數(shù)列.an+2n=9×3n-2,即an=3n-2n(n≥2)，當n=1時，a1=1，也滿足該式，所以數(shù)列{an}的通項公式是an=3n-2n.

比較三種解題思路,思路1是先變形再用累加法,思路2、3都用到了待定系數(shù)法進行構造求解.區(qū)別在于解題思路2先變形再進行構造,解題思路3則是直接構造,解題看似思路3更為直接快速,但用待定系數(shù)法進行構造求解數(shù)列是學生理解上的一個難點.估計學生會對解題思路1的累加法過程更容易接受些,但前提條件是學生要會先做變形處理,化為形式“bn+1=bn+f(n)”．不管采取哪種解題思路,筆者估計學生在解答第(2)問過程中的易錯點為:一是在利用“an=Sn-Sn-1(n≥2)”求解時,忽略了“n≥2”條件的限制,從而漏掉了對“當n=1時，a1=1,也滿足該式子”情況的討論．二是三種不同解法都要用到等比數(shù)列的通項公式或求和公式,由于有“n≥2”的限制,所以學生在套公式計算時,項數(shù)是n項?n-1項?還是n-2項?學生在此會比較容易出問題．

此外,筆者認為在課堂教學中對第(2)問還可進行這樣的一個推廣:

形如an+1=pan+qn(p≠1)型遞推數(shù)列,求通項方法有以下三種方向:

再用累加法求通項.

(3)直接進行構造,設an+1+λqn+1=p(an+λqn).通過比較系數(shù),求出λ,轉化為等比數(shù)列求通項．

3.對于第(3)問

有以下四種不同的解題思路:

思路1(逐項放縮)

由3n-3n-1=2·3n-1≥2·2n-1=2n,

思路2(累乘法)

思路3(裂項相消法)

當n≥3時，

an=3n-2n=(1+2)n-2n

=1+C1n·2+C2n·22+…+Cn-1n·2n-1

>C2n·2n=2n(n-1).

又a2=5>2×2×(2-1),

所以an>2n(n-1)(n≥2),

綜上，命題獲證.

思路4(數(shù)學歸納法)

①當n=1時，顯然命題成立；

②假設當n=k(k≥2,k∈N)時成立，則

即命題在n=k+1時也成立.

綜合①②知，對一切正整數(shù)n,命題成立.

筆者認為該題是一道好題,問題設計逐層深入,有一定的區(qū)分度,讓不同層次的學生能在該題的解答過程中有所體現(xiàn)．第(1)問屬于基礎題,考查的是數(shù)列的一些基本知識和解題的基本技能,這要求學生在平時的數(shù)學

學習中要夯實基礎,加深對基礎知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的認識．第(2)、(3)問需要學生有較強的思維能力,通過多角度觀察題目特點,深入剖析其特征,溝通各類知識的聯(lián)系,抓住規(guī)律去探求解決問題的方法,考查的是學生的綜合能力和創(chuàng)新能力.要求學生善于把一般問題轉化為特殊問題、把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題去解決,即化歸的思想.這是學生較為薄弱的環(huán)節(jié)之一,需要學生在平時的學習中有意識地對做過的題目進行總結、反思和歸類,把數(shù)學問題及其解決方法一一對應,并能觸類旁及,舉一反三．這樣，不管題目怎樣千變萬化,但萬變不離其宗,只要對癥下藥,問題便可以迎刃而解．