燃起學生情感火花　激發(fā)課堂生命活力
——“等差數(shù)列的前n項和”教學設計及感悟

嚴　飛

(江蘇省南京市金陵中學，210005)

○教學研究○

燃起學生情感火花激發(fā)課堂生命活力
——“等差數(shù)列的前n項和”教學設計及感悟

嚴飛

(江蘇省南京市金陵中學，210005)

數(shù)學課上,問題情境創(chuàng)設是否成功主要體現(xiàn)在以下幾個方面:一是能否引起學生的興趣,使他們聚精會神地投入,在情感上貼近教師和教材;二是能否自然合理,既有前面知識的繼續(xù),又有后續(xù)知識的開端,以一定的積累作為基礎;三是讓學生面臨有一定感性認識的問題,問題無論是在操作層面上,還是在思維層面上,都要便于學生著手思考,讓學生形成一個欲罷不能的追求目標.筆者備等差數(shù)列的前n項和這節(jié)課時,做了一些思考.這一節(jié)課除了希望達到利用“倒序相加”法推導公式的目標以外,還期望達成以下一些目標:一是體會推導求和公式的必要性;二是體會數(shù)列求和的一些基本方法;三是體會倒序相加法求和的優(yōu)越性. 于是從學生的實際出發(fā),拋開常規(guī),希望以問題驅動,引導學生操作,并進行比較,最后能做出方法的選擇.

一、教學過程設計

1.創(chuàng)設情境

師:數(shù)學來源于生活,又應用于生活,我們即將要去學農(nóng),需要準備一架木頭梯子,要求梯子各級的寬度成等差數(shù)列,梯子最高一級寬28 cm,相鄰兩節(jié)之間寬度差4 cm.

設計意圖給出等差數(shù)列的首項和公差,而不是直接給出首項和末項,學生可以根據(jù)等差數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的各項,讓學生在求和過程中有更多的選擇.

師:請同學們回答下面三個問題:

(1)這架梯子的前3級共需準備多長的木料?

(2)若梯子共12級,這架梯子中間各級一共需要準備多長的木料?

(3)若梯子共n(n∈N*)級,這架梯子中間各級一共需要準備多長的木料?

設計意圖這三個問題的設計具有層次性.學生解決第一個問題,不需要想太多,直接寫出三項,就可以得出和. 但這種方法有局限性,在解決第二小題的時候遇到了困難,就逼著學生重新考慮解決問題的方法,體會公式求和的必要性.另外,筆者課前備課時想避開在等差數(shù)列求和公式推導過程中常見的兩種經(jīng)典引入:一是直接從解決1+2+…+100引入,二是從教材中數(shù)鋼管的問題入手. 如果要解決等差數(shù)列求和中的“配對”,顯然高斯1+2+…+100的經(jīng)典引例更直接,學生更容易接受. 如果要破解“倒序相加”這一難點,顯然數(shù)鋼管的問題引入,效果更好. 但是不選擇這兩種設計,不僅是希望能有點新的探索,也是因為有些學生在課前進行了預習,問題情境很熟悉,啟發(fā)性過強,不利于更好地進行思維訓練,不能更好地體現(xiàn)出這種求和方法的必要性.

2.學生活動

師:第(1)問,請同學說出答案.

生:96 cm.這是根據(jù)通項公式,計算出前三項后再求和.但是這個方法有局限性,梯子的級數(shù)再增加,再用這個各項相加求和的方法計算就比較麻煩.

師:非常好,若梯子共12級,又如何準備各級木料呢?請同學們思考說出方法并說出這樣做的理由.

生甲:首先求出末項a12=72,a1+a2+…+a12=28+32+…+68+72=6(28+72)=600. 計算出每一項再求和太繁瑣,求出末項是為了利用高斯求和的方法“首末配對”.

師:很好,同學們都是這么做的嗎?

生乙:a1+a2+…+a12=12a1+(1+2+…+10+11)d,利用等差數(shù)列通項公式分成兩部分求和.于是,問題轉化為求1到11這11個自然數(shù)的和,可以“首末配對”.

設計意圖讓學生充分打開思路,培養(yǎng)學生發(fā)散性思維的能力,提供研究問題的一般方法——先研究具體問題,再研究一般性問題. 學生甲的方法,讓學生體會不能再一項項相加求和,體會尋找等差數(shù)列一般求和方法的必要性.學生乙的方法,讓學生體會一種重要的數(shù)學方法:將較為復雜的不熟悉的數(shù)列求和化歸為熟悉的已知的數(shù)列求和的問題；同時可以感受到分組求和的方便,為后面講一般數(shù)列求和的問題做鋪墊.

師:請同學評價一下這兩種方法.

生:這兩種方法都用到了“配對”的方法,并且都實現(xiàn)了求和的“化繁為簡”的目的.

設計意圖學生評價學生所講方法的優(yōu)劣,把一個學生的想法轉化為所有學生的想法.

師:為了方便起見,數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,即Sn=a1+a2+a3+…+an.

如果這是一架“愛的天梯”, 中間各級一共需要準備多長的木料?

生:Sn=a1+a2+a3+…+an, 利用等差數(shù)列{an}中,n+m=p+q,且n,m,p,q∈N*,則an+am=ap+aq的性質(zhì)“首末配對”,但是需要根據(jù)n的奇偶性進行討論.

當n為偶數(shù)時,

Sn=a1+a2+a3+…+an

當n為奇數(shù)時,

Sn=a1+a2+a3+…+an

再根據(jù)已知的a1和d求出an,代入,可得Sn=2n2+26n.

設計意圖對這個問題,學生分奇偶討論,不是難點,但要從奇偶討論過渡到倒序相加,確實不容易.這一過程中有兩點優(yōu)勢:一是學生對數(shù)列中常見奇偶討論,有了一次很好的體驗;二是有了比較,才能夠突出倒序相加的優(yōu)勢.

師: 我們不難發(fā)現(xiàn),Sn與n的奇偶性無關,那么是否意味著還有統(tǒng)一的可以避開分類討論的方法呢?(分組討論)

生:Sn=a1+a2+…+an-1+an，

Sn=an+an-1+…+a2+a1.

兩式相加，得

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an),

師:你是怎么想到這個方法的?

生:想到這個方法是受到初中梯形面積公式的推導方法的啟發(fā),將梯形旋轉倒置,與原圖形首尾相接,構成一個平行四邊形,梯形的面積是這個平行四邊形面積的一半.

師:很好,這種方法稱為“倒序求和”,請同學們比較一下“配對求和”與“倒序求和”.

生:“倒序求和”本質(zhì)還是“配對”,只是換了一種表達形式,“倒序求和”可以避開奇偶分類討論.

設計意圖“配對求和”與“倒序求和”雖然如出一轍,但是從“配對求和”到“倒序求和”有比較大的思維跨度,學生在這個地方存在著比較大的認知困惑.如果“倒序求和”的方法直接被介紹,無疑就像波利亞所說的“帽子里跳出來的兔子”.所以引導學生回顧梯形的面積公式的推導方法,實現(xiàn)了由“配對求和”到“倒序求和”的平穩(wěn)過渡,讓學生知道公式的來龍去脈,以及公式背后隱藏的數(shù)學思想方法和思維過程.

師:非常好,“倒序求和”的本質(zhì)是將“不同的數(shù)求和”化歸為“相同的數(shù)求和”.這種倒序求和的方法在日常生活中也有應用,例如這樣一個實際問題:某倉庫堆放的一堆鋼管,最上面的一層3根,下面每一層都比上一層多一根,最下面一層有8根,快速數(shù)出這堆鋼管的總數(shù).

設計意圖充分挖掘了教材的功能,給出公式后,引用了課本中鋼管的實例,再一次讓學生對倒序相加有了更為形象的理解.

3.數(shù)學建構

師:這樣我們就利用“倒序求和”的方法解決了求等差數(shù)列{an}的前n項之和Sn的問題.

師:如何根據(jù)題目的已知條件做出合理的公式選擇?

生:在已知首項、末項和項數(shù)時,選擇第一個公式;在已知首項、公差和項數(shù)時,選擇第二個公式.

4. 數(shù)學應用

例1在等差數(shù)列{an}中,前n項之和為Sn.

(1)已知a1=3,a50=101,求S50;

設計意圖讓學生盡快熟悉公式,根據(jù)條件進行合理選擇公式.

師:如果將第一小問改為,已知S50=2 600,a1=3,你能求a50和公差d嗎?

生:可以,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及通項公式,通過解方程的思想解決.

師:也就是說在等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中,含有n,a1,d,an,Sn五個量,只要已知其中的三個量,就可以求出余下的兩個量. 請同學們動腦筋自己舉出幾個例子.

生甲:等差數(shù)列-10,-6,-2,…前多少項的和是54?

師:請兩位同學分別板演這兩道題,其他同學自行完成.

設計意圖學生自己提出問題讓其他學生解決,不僅可以加深學生對等差數(shù)列通項公式和求和公式的理解,同時還提高了學生的思維能力和參與課堂活動的積極性.

二、教學感悟

“探究”是學習的方法,也是學習的過程,某種意義上說也是學習的目的,因為它是解決數(shù)學問題思路形成的方法,與科研、運用等社會價值構成了思維方式和意圖的關系.在日常生活和工作中,人們探究是因為面臨著要解決的問題,那么數(shù)學課堂教學中的探究的對象是什么呢?那就是“問題”.問題是數(shù)學活動的載體,《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》提出“提高數(shù)學地提出、分析和解決問題(包括簡單的實際問題)的能力.”

如果一個教師“給他的學生以適合他們的認知水平的問題去引起他們的好奇心,并

用一些吸引人的問題來幫助他們解題,他就會引起學生們對獨立思考的興趣并給他們一些方法.”(波利亞). 課堂教學中提出的問題不同,觸及學生原有的知識基礎、知識結構就不同,學生的學習方式不同,學生對待問題的態(tài)度、情緒也不同,最終是學生的學習效果、學生的收獲產(chǎn)生了很大差別. 備這一節(jié)課時,首先,想注重問題情境的整體性,所以以我們學農(nóng)準備梯子為情境,以“問題串”的形式出現(xiàn),希望能在問題串的引領下,學生進行系列的、連續(xù)的思維活動,從而達到不斷攀升新的思維高度的目的;其次,想注重問題情境的層次性,問題之間具有層次,由淺入深逐步展開,這種層次不僅是邏輯之間的層次,更為主要的是思維過程的生成性. 通過問題情境中的三個問題不僅可以達到讓學生知道利用“倒序相加”法推導出等差數(shù)列前n項和公式的目的,同時通過問題的深入還可以讓學生理解以下三點:① 為什么要配對?② 為什么要倒序相加?③ 為什么能倒序相加?在教學過程中,不斷給回答問題的學生提出新的和更深入的問題,就是希望能做到把一個學生的正確的想法轉變成其他所有學生的想法,并且其他學生也能得到對問題的深刻的認識. 同時,希望學生自己能提出問題,培養(yǎng)學生善于發(fā)現(xiàn)問題并有欲望去解決它的意識.