基于CVaR兩步核估計量的投資組合管理①

黃金波， 李仲飛， 姚海祥

(1. 廣東財經大學金融學院， 廣州 510320； 2. 中山大學管理學院， 廣州 510275；3. 廣東外語外貿大學金融學院， 廣州 510006)

基于CVaR兩步核估計量的投資組合管理①

黃金波1， 李仲飛2*， 姚海祥3

(1. 廣東財經大學金融學院， 廣州 510320； 2. 中山大學管理學院， 廣州 510275；3. 廣東外語外貿大學金融學院， 廣州 510006)

摘要:在不做任何分布假設的條件下，利用非參數核估計方法對風險度量條件風險價值(conditional value-at-risk, CVaR)進行估計，得到CVaR的兩步核估計公式.然后用估計出來的CVaR代替理論上的CVaR建立均值-CVaR模型，實現對風險估計與投資組合優(yōu)化同時進行，并基于迭代思想設計求解該模型的簡單算法.蒙特卡洛模擬結果表明基于兩步核估計方法的投資組合優(yōu)化模型和算法比現有的方法更加有效，估計出來的組合邊界誤差更小.引入無風險資產后，文中的模型和算法同樣適用.最后，為說明其應用價值，采用中國A股市場的日收益率數據進行了實例分析.

關鍵詞:均值-CVaR模型； 兩步核估計量； 組合邊界； 中國A股市場

0引言

投資組合選擇的定量分析可追溯到Markowitz[1]建立的均值-方差模型，此后，均值-風險框架成為現代投資組合選擇理論的基本分析框架之一.用期望收益率度量投資收益已被廣泛接受，然而，以收益率的方差作為風險度量指標，則受到多方面的批評.許多學者在批判方差的基礎上發(fā)展了多種風險度量工具，從而推動了現代投資組合選擇理論的發(fā)展.風險價值(value-at-risk，VaR)和條件風險價值(conditionalvalue-at-risk，CVaR)風險度量正是在這個背景下被提出并很快被運用于投資組合選擇和風險管理研究中.VaR是指給定置信水平下某一個資產或資產組合在未來一定期限內的最大可能損失[2].由于VaR不滿足一致性風險度量理論的次可加性公理[3-4]，從而破壞投資組合理論中的風險分散化原理.另外，VaR不能對超過VaR水平的損失給出任何信息.所以在VaR基礎上，Rockafellar和Uryasev[5-6]給出了CVaR的概念.CVaR度量的是損失超過VaR水平的條件期望值.CVaR滿足一致性風險度量要求，彌補了VaR不滿足次可加性、未考慮尾部風險等缺陷.

VaR和CVaR被提出之后，對它們的研究沿著兩個方向展開，一個是VaR和CVaR估計問題的研究，另一個是基于均值-VaR和均值-CVaR模型的投資組合優(yōu)化問題研究.一直以來，這兩個方向的研究相對獨立發(fā)展.風險估計問題的研究注重開發(fā)更加精確的計量模型和方法來捕捉金融市場的特征，進而更加準確地估計金融市場風險，目前這方面的研究已相當完備，并始終處于不斷發(fā)展中.相對而言，因VaR和CVaR的優(yōu)化問題較難處理，基于VaR和CVaR的投資組合研究大多在特定分布下進行，這使得投資組合選擇理論的應用受到局限.

關于均值-VaR模型和均值-CVaR模型較為成熟的研究大多在正態(tài)(或橢球)分布假設下進行[7-8].在正態(tài)(或橢球)分布的假設下，VaR和CVaR可以表達成均值和方差的線性函數，均值-VaR模型和均值-CVaR模型退化成均值-方差模型[5]，而均值-方差模型的研究已經相當成熟.所以，在正態(tài)(或橢球)分布假設下，VaR和CVaR與方差在風險度量方面沒有本質區(qū)別，這將無法凸顯VaR和CVaR在風險度量方面的優(yōu)越性.另外，在實際的金融市場上，金融時間序列數據通常表現出尖峰厚尾、非對稱等非正態(tài)(或橢球)分布特征，簡單的正態(tài)(或橢球)分布假設將會導致風險估計的系統(tǒng)偏差，進而會誤導投資者，使得人們無法進行有效的風險管理和組合優(yōu)化.因此，在不做任何分布設定的條件下，如何利用計量方法估計出現實金融市場中的實際風險，進而把實際風險嵌入到投資組合優(yōu)化模型中進行投資決策是非常有意義的課題.

針對VaR和CVaR的估計問題，理論界提出了很多方法.Engle和Manganelli[9]將它們分為3大類.第1類是參數法，主要包括GARCH族模型和Copula函數法.第2類是半參數法，主要包括極值理論EVT(extremevaluetheory)和條件自回歸VaR.第3類是非參數法，主要包括經驗分布函數法和核估計方法.參數法與半參數法都假設收益率(在極值理論下是尾部收益率)服從某一事先設定的模型，然后估計出模型中的參數，進而得到風險度量VaR和CVaR的估計值[10-11].相對于參數法與半參數法，非參數法不需要對收益率做任何形式的模型設定，避免人為的模型設定風險和參數估計偏差，能夠給出較為準確的風險估計.更重要的是，非參數核估計方法允許金融時間序列之間相互依賴[12-13]，Bellini和Figa-Talamanca[14]證實收益率序列數據顯示出非常強的尾部依賴，而參數法與半參數法對于這類相互依賴變量問題的處理較為棘手[12].

近年來，非參數核估計法因具備上述幾方面的優(yōu)勢而備受廣大學者關注.利用核估計法估計金融風險始于Gourieroux等[15]的研究，他們首次考察了VaR的核估計.隨后Scaillet[16-17]把核估計法應用到對期望損失(expectedshortfall，簡稱ES)*在分布函數滿足連續(xù)性的條件下，ES與CVaR是同一個風險度量指標的兩個不同稱呼.的估計.Scaillet[16]提出ES的兩步核估計法，并用它來估計資產組合的期望損失和期望損失對組合頭寸的敏感性.Scaillet[17]研究了條件VaR和條件ES的非參數核估計，并在平穩(wěn)過程滿足強混合條件下，導出了條件ES核估計量的漸進性質.Chen[18]同時用經驗分布函數和核平滑分布函數估計ES，得出二者在估計的方差和均方誤差方面并無明顯的差異.劉靜和楊善朝[19]放松Scaillet[16]的前提條件，在α混合序列具有冪衰減混合系數條件下，用兩步核估計法估計ES，得到了ES核估計量的Bahadur表示、均方誤差和漸近正態(tài)性的收斂速度.劉曉倩和周勇[20]比較兩步核光滑ES估計與ES完全經驗估計及一步核光滑估計的優(yōu)劣，得到兩步光滑化并不能減小ES估計的方差，該發(fā)現與Chen[18]的結論一致.由于CVaR的核估計量具有良好的連續(xù)性和光滑性，可以方便地處理投資組合優(yōu)化問題，這一優(yōu)點是ES完全經驗估計不具備的.所以，許多學者傾向于利用核估計法來研究組合的CVaR及相關優(yōu)化問題[16,21].

雖然近年來，學者對CVaR的非參數核估計法做了諸多研究，但還鮮有學者把CVaR的核估計與風險優(yōu)化、投資組合選擇問題結合起來考慮.問題是不僅需要知道風險有多大，而且還要知道如何去對沖和管理風險，風險估計只是解決了前面的問題，而后面的問題往往更為重要.Yao等[21]對此做了有益嘗試，他們利用Rockafellar和Uryasev[5]給出的CVaR特殊表達式并結合非參數核估計方法，得到核估計框架下的均值-CVaR模型，并利用優(yōu)化算法求解模型得到投資組合的組合邊界.不同Yao等[21]的研究，本文直接利用兩步核估計方法對CVaR進行估計，并將CVaR的兩步核估計式嵌入均值-CVaR模型，這樣就不需要借助于Rockafellar和Uryasev[5]的CVaR特殊形式，而且模型的自變量維數比Yao等[21]的少.本文基于迭代思想設計了簡單的算法對該模型進行求解.蒙特卡洛模擬結果顯示，在偏差意義下，基于兩步核估計方法的均值-CVaR模型和算法準確有效，比現有方法的估計誤差小*誤差指標的定義可見后文的式(19)..最后將模型和算法拓展到存在無風險資產時的情形，并將它們應用到中國A股市場.

1組合風險CVaR的兩步核估計

1.1非參數核估計方法基礎

(1)

分布函數的核估計量考慮了局部加權平均，在每個點處的分布函數估計值都利用了所有的樣本數據，比經驗分布函數包含了更多的樣本信息.Chen和Tang[12]得出分布函數的核估計量和經驗分布函數都是真實分布函數的一致估計量，但前者的方差更小.在核估計中，核函數起到平滑的作用，由于非參數核估計結果對不同的核函數并不太敏感，所以只要滿足一定的正則性條件，核函數可由研究者根據問題的不同自由選取.如果是對單變量的密度函數或分布函數進行估計，二階Gauss核函數能夠給出更穩(wěn)健的結果.所謂二階Gauss核函數就是g(·)取標準正態(tài)分布的密度函數.可以驗證二階Gauss核函數滿足前面對核函數的5點要求.通常情況下，非參數核估計方法需要大量的觀察數據才能夠擬合得比較準確，證券市場上大量的高頻數據可以滿足這一要求.

1.2組合風險CVaR的兩步核估計

根據VaR的定義，投資組合的VaR數學表達式為

v(x,α)∶=-inf{z:FR(z)≥α}?

FR(-v(x,α))=α

(2)

式中FR(·)為R的分布函數，設其連續(xù)可導.

根據CVaR的定義，投資組合的CVaR數學表達式為[16]

u(x,α)∶=E[-R|-R>v(x,α)]

(3)

式中fR(·)為R的密度函數，E[·]為期望算子，邊際CVaR (marginal CVaR，MCVaR)被定義為組合CVaR對頭寸的導數[16]

Δxu(x,α)=E[-r|-R>v(x,α)]

(4)

其中g(·)為核函數，h為窗寬，則R的密度函數fR(z)和分布函數FR(z)的核估計量分別為

(5)

(6)

(7)

1.3組合風險CVaR的凸性

引理1[23]組合風險CVaR對組合頭寸的二階導數矩陣的解析式為

V[r|R=-v(x,α)]

(8)

式中p(·)為-R-v(x,α)的概率密度函數；P(·)為它的分布函數；V[·]為方差算子.

(9)

又

則其核估計公式為*這里用到非參數核估計的回歸技術，具體可見參考文獻[22]的第60-66頁.

(10)

由此可得二階導數矩陣的核估計量為

(11)

此定理的證明可參見文獻[15]和文獻[23].

2均值-CVaR模型基礎知識

假設存在n(n>1)種風險資產，資產交易無摩擦，市場上不存在賣空限制，投資者的財富標準化為1，其它條件同上.記e為元素全為1的n維列向量，R為投資者要求的最低期望收益率，u為投資者愿意承受的用CVaR度量的最大風險，λ為投資者的風險厭惡系數，均值-CVaR最優(yōu)化模型可由以下3種方式構建

令參數R,u,λ變動，便產生了各自意義下的均值-CVaR組合邊界.Krokhmal等[24]證明在一定條件下，3種模型得到的組合邊界是等價的，所以，下文只討論模型Ψ1.

假設市場引入一個無風險資產，rf為無風險資產的收益率.x=(x1,x2,…,xn)′為投資者在風險資產上持有的頭寸，則(1-x′e)為投資者在無風險資產上持有的頭寸.投資組合的收益率R=(1-x′e)rf+x′r.根據CVaR的平移不變性[4]，存在無風險資產時組合CVaR為

u(rf,x,α)=-(1-x′e)rf+u(x,α)

(12)

由此，可以建立含有無風險資產時的均值-CVaR模型

2.2正態(tài)分布假設下的均值-CVaR模型與顯示解

記p=[p1,p2,…,pn]T，q=[q1,q2,…,qn]T，將脈沖控制協(xié)議式 (2) 代入系統(tǒng)式 (1) 得

在n(n>1)種風險資產的收益率r服從聯合正態(tài)分布N(μ,Σ)的假設下，投資組合的CVaR可表達成期望和標準差的線性組合[25]

利用均值-方差的組合邊界表達式，可以得出均值-CVaR的組合邊界表達式為[25]

(13)

其中A=e′Σ-1μ；B=μ′Σ-1μ；C=e′Σ-1e；D=BC-A2.

在引入一個無風險資產的情況下，均值-CVaR的組合邊界方程為[25]

(14)

3基于CVaR兩步核估計量的均值-CVaR模型

3.1模型與求解

條件1h滿足窗寬的估計公式

設定Lagrange函數

μ2(x′e-1)

(15)

記y=(x′,μ1,μ2)′，則一階條件為

其中

(16)

Lμ2=x′e-1

(17)

其中

(18)

為了保證上面迭代算法能夠順利進行，本文得到以下兩個定理.

?(v)為嚴格單調減函數，所以方程?(v)=α有且僅有1個解.

證畢.

定理3如果集合

B={x|x∈

3.2蒙特卡洛模擬

本節(jié)給出一些模擬算例，驗證3.1節(jié)模型和算法的準確性.假設n(n>1)種資產收益率向量r服從n維正態(tài)分布N(μ,Σ)，協(xié)方差陣Σ正定，則由Cholesky分解得Σ=Q′Q，Q為上三角矩陣.令r=μ+Q′ε，ε為n維標準正態(tài)分布，通過簡單推導可知r～ N(μ,Σ)，這樣通過ε就可以生成多維正態(tài)分布N(μ,Σ)的隨機數.本文以下模擬數據都通過Cholesky分解法生成.

令μ=(1.0 1.5 2.0)′*需要說明的是，這里的數據是虛擬數據，數據的量綱(或單位)可以是任意的.如果是金融資產的收益率數據，單位為1%或1‰.，

模擬1設定風險資產數量n=3，資產收益率服從正態(tài)分布N(μ,Σ)，模擬過程如下.

第1步，采用Cholesky分解生成多元正態(tài)分布的樣本，取樣本容量T= 500，1 000，1 500，2 000，4 000，8 000，設定損失概率分別為1%，5%和10%.

第2步，在每個樣本容量和概率下，取30個不同的收益率Ri,i=1,2,…,30，用以下4種方法計算每個收益率對應的最小CVaR.1)把Ri,μ,Σ代入式(13)，得到真實的最小CVaR，記為utrue；2)基于兩步核估計框架下的非參數模型和優(yōu)化算法(記為NP方法)估計出最小CVaR，記為unp,i；3)利用Yao等[21]的模型(記為YL方法)估計出最小CVaR，記為uyl,i；4)基于Rockafellar和Uryasev[5-6]的線性規(guī)劃方法(記為LP方法)，估計出最小CVaR，記為ulp,i.為比較后3種估計方法的精度，以NP方法為例，定義如下誤差指標：絕對誤差(absolute error，Ae)和相對誤差(relative error，Re), 有

(19)

第3步，重復前面兩個步驟40次，即進行40次蒙特卡洛模擬.然后將40次得到的誤差指標進行平均，得到平均絕對誤差和平均相對誤差(見表1和表2).

表1　平均絕對誤差模擬結果

從表1可以得出以下結論：1)3種估計方法的平均絕對誤差都隨著樣本容量的增加而減小，反映基于3種估計方法得到的組合邊界隨著樣本容量的增加而收斂于真實的組合邊界.基于兩步核估計方法和YL方法得到的組合邊界收斂是因為隨機變量的分布函數的核估計量一致收斂于真實的分布函數；2)3種估計方法的平均絕對誤差都隨著損失概率的增加而減小.這是因為CVaR度量的是損失超過VaR的期望值，各種CVaR估計方法準確性受到質疑的重要方面就是極端風險的樣本數據太少，以至不能全面反映尾部分布的特征.α值越大，α分位數以上的樣本點越多，從而能夠有效利用的數據信息越多，估計也更加準確.另外α值越大，CVaR的絕對數值越小，從而估計的絕對誤差也越小是符合預期的；3)從3種估計方法的平均絕對誤差的大小來看.3種方法的估計精度相當，在不同的樣本容量和損失概率下，各有優(yōu)劣.但當損失概率較小，比如取1%，或者樣本容量較大時，LP方法失效.這是因為LP模型里有n+1+T個自變量，2個等式約束和2T個不等式約束[21]，LP模型里的自變量數和約束方程數隨樣本容量增加而增加，當樣本容量T太大時，LP算法的收斂速度會降低甚至失效(表1和表2中，∞表示優(yōu)化算法失效).而NP方法的模型里只有n個自變量，2個等式約束，而且隨著樣本容量T增加，兩步核估計方法的估計精度越來越高.YL方法的模型里有n+1個自變量，3個等式約束[21].絕對誤差指標沒有考慮真值的大小，CVaR的真實值越大，它的估計值與真實值之間的絕對誤差也會越大，所以剔除了這種水平效應的相對誤差指標更有意義.

表2　平均相對誤差模擬結果

從表2可以得出以下結論：1)同絕對誤差指標相同，3種估計方法的平均相對誤差都隨著樣本容量的增加而減小，這說明3種估計方法滿足大樣本性質；2)除了α=5%,T=500和α=5%，T=4 000外，NP方法的平均相對誤差都小于YL方法，說明NP方法的估計精度在大多數時候高于YL方法，這可能是因為NP方法里的自變量和約束條件更少；3)與LP方法相比，NP方法在小概率和大樣本情況下表現更好，在實際的金融風險監(jiān)管和金融機構的風險計算中，通常要計算小概率(小于1%)下的CVaR，所以NP方法在實際應用中更加有效.

限于篇幅，圖1僅給出了樣本容量為4 000，損失概率為10%時某一次的模擬結果(共模擬40次)，圖上直觀地顯示：基于NP方法得到的組合邊界幾乎與真實的組合邊界重合，而基于YL方法和LP方法得到的組合邊界偏差較大.表2的數據也顯示樣本容量為4 000，損失概率為10%時，NP方法的相對誤差(0.060 9)小于YL方法(0.070 4)和LP方法(0.062 7).

圖1　3種估計方法的精度比較

模擬2假設資產數量n=3，資產收益率向量r服從3維t分布tm(μ,Σ)，其中均值μ和散度Σ取值同上，m為自由度，本例取5.設定樣本容量為8 000，損失概率為1%，t分布隨機數的生成可采用Cholesky分解法*多維t分布隨機數的生成過程可見參考文獻[26]..本文分別基于NP方法、YL方法和傳統(tǒng)方法(記為MN方法)估計多維t分布下的均值-CVaR曲線，并與真實的均值-CVaR曲線比較.在多維t分布的情形下CVaR可表達成均值和方差的線性函數[23]

u(x,α)=-E[R]+kασ(R)

(20)

其中

式中t1-α為自由度為m的經典一維t分布的下1-α分位數；Γ(·)為Gama函數.將式(13)中的φ(zα)/α替換成kα可得到多維t分布下真實的均值-CVaR曲線.

結果見圖2.從圖中可以得出以下結論：首先，MN方法，即傳統(tǒng)方法，是在正態(tài)分布假設下將樣本均值和樣本方差陣代入式(13)得到均值-CVaR曲線的估計，如果真實分布不是正態(tài)分布(本例中是多維t分布)，這種方法將是有偏的，圖2直觀地顯示MN方法系統(tǒng)地低估投資組合的風險；其次，對比圖1和圖2可以發(fā)現，在相同的均值向量、方差陣(或散度)和損失概率下，多維t分布下的極端(即小概率下)風險值要大于正態(tài)分布，即在相同收益率下，多維t分布下的有效前沿的CVaR更大.第三，NP方法和YL方法估計出來的均值-CVaR曲線與真實的均值-CVaR曲線比較接近，而NP方法的估計偏差更小一些.

圖2　多維t分布下的‘均值-CVaR’曲線估計

本節(jié)選取我國A股市場10只股票的日收益率數據進行實例分析，它們是：萬科A、深物業(yè)A、深深寶A、云南白藥、銅陵有色、格力電器、羅牛山、承德露露、新希望和青島啤酒.數據期間為2007-01-01～2012-12-31，由于在某些交易日，有些股票由于各種原因會停盤，所以必須選出那些每只股票都有交易的交易日收盤價數據，經過刪減和匹配處理后，每只股票的可用日對數收益率數據為1 278個.由于日對數收益率數據都很小，為了方便，把所有的日對數收益率數據都乘以100.容易算得10只股票日對數收益率的樣本均值和樣本協(xié)方差陣分別為

本文分別基于傳統(tǒng)方法(即MN方法)、NP方法、YL方法和LP方法4種估計方法得到α=5%時的組合邊界(見圖3).傳統(tǒng)方法假設這10支股票的聯合分布為正態(tài)分布，而另外3種估計方法都不需要對分布進行事前設定.在實踐中，事先并不知道這10只股票的收益率服從何種分布，從估計的結果來看，如果這10只股票的聯合分布確實服從正態(tài)分布，那么傳統(tǒng)方法與另外3種方法得到的組合邊界趨向一致，圖3并沒有顯示出這種趨勢.特別是在組合邊界的下半部分，傳統(tǒng)方法估計出來的組合邊界明顯不同于其它3種估計方法得到的結果，而其它3種估計方法得到的組合邊界趨向于一致，這也就說明這10只股票的聯合分布不服從正態(tài)分布.在不服從正態(tài)分布情況下，傳統(tǒng)方法將是有偏的，它給出的組合邊界不是最有效的，也就是說它基于正態(tài)分布假設給出的CVaR估計式本身是不恰當的，所以在優(yōu)化模型里得到的最小化CVaR并不是真正的最小CVaR.

圖3　中國A股市場的‘均值-CVaR’曲線估計

4引入無風險資產

4.1模型與求解

4.2蒙特卡洛模擬

模擬3仿照基于均值-方差模型的資本市場線定義，本文把存在無風險資產時均值-CVaR模型的有效邊界定義為資本市場線(capitalmarketline,CML).假設存在3種風險資產和1種無風險資產，風險資產的收益率服從聯合正態(tài)分布N(μ,Σ)，μ和Σ取值同上.無風險資產的收益率為0.5，取樣本容量為4 000，損失概率5%.將真實參數代入式(13)和式(14)可以得到真實的組合邊界曲線和CML，基于兩步核估計框架可以得到估計出來的組合邊界曲線和CML.從模擬結果來看(見圖4)，基于兩步核估計方法得到的CML和真實CML非常接近，說明利用兩步核估計方法對CVaR進行估計是合適的，引入無風險資產后，本文的模型和算法也是可行且準確的.

圖4　均值-CVaR’曲線和CML(α=5%)

4.3實例分析

繼續(xù)使用3.3節(jié)的10只股票作為風險資產，取無風險資產收益率為1%*由于前面10只股票的日收益率都乘以100，此處無風險資產的日利率取為1%是合適的.，分別估計損失概率為3%和5%時的組合邊界曲線與CML.值得注意的是，與基于均值-方差模型的資本市場線不同，基于均值-CVaR模型的資本市場線不過點(0,rf)，而是過點(-rf, rf)*此時所有資產投在無風險資產上，組合的收益率為rf，組合的CVaR為-rf；實際上，當風險資產的收益率服從聯合正態(tài)分布時，可以從式(14)直接推出這個結論.，模擬結果也證實了這一點，即CML與縱軸交點的縱坐標不是1%(見圖5).另外，雖然沒有嚴格的證明，但模擬的結果顯示在各自的損失概率下，組合邊界曲線和CML相切，這一點說明在非正態(tài)分布情況下，CAPM依然成立.最后值得一提的是，這里的估計結果完全是利用樣本數據基于本文的兩步核估計方法建模并通過簡單迭代算法計算得到，不需要任何的分布假設和參數設定，只需要一組樣本數據，前面的蒙特卡洛模擬說明這種方法是準確有效的.

圖5　中國A股市場的‘均值-CVaR’曲線和CML估計

5結束語

一直以來，金融風險的估計和基于均值-風險模型的投資組合選擇理論相對獨立發(fā)展，本文嘗試將二者結合起來，建立一個完整框架實現風險估計與投資組合優(yōu)化同步進行.近年來核估計方法因具有模型設定靈活、能夠抓住金融序列的尾部風險特征、允許數據序列相依等優(yōu)點，備受國內外學者的關注，是對金融市場風險進行估計的理想方法.本文不需對分布函數做任何假設，也不需要知道CVaR的函數形式，直接利用核估計方法得到CVaR的兩步核估計式，進而將CVaR的兩步核估計式嵌入均值-CVaR模型，并設計個簡單算法對該模型進行求解.蒙特卡洛模擬結果表明基于兩步核估計方法的模型和算法得到的結果同已知真實分布情況下的結果高度一致，這要歸功于非參數核估計方法能夠很好地擬合分布函數.進一步，基于我國A股市場數據的實例分析說明我國金融市場的收益率數據不服從正態(tài)分布，基于正態(tài)分布假設的投資組合選擇模型會誤導投資者.

當然，如何結合風險估計和投資組合優(yōu)化是目前學者思考的前沿課題，本文的研究是初步的.下一步的研究可以沿著兩個方向進行：1)將本文核估計框架擴展到其它風險度量指標，如VaR、半方差、下偏矩、絕對偏差、安全首要、EaR、CaR、WCT等；2)放松本文的假設，加入賣空限制、不同借貸利益、存在交易費用等約束，在更加現實的市場環(huán)境下拓寬本文的研究.

參 考 文 獻：

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Investmentportfoliomanagementbasedonthetwo-stepkernelestimatorofCVaR

HUANG Jin-bo1, LI Zhong-fei2*, YAO Hai-xiang3

1.SchoolofFinance,GuangdongUniversityofFinance&Economics,Guangzhou510320,China;2.SunYat-SenBusinessSchool,SunYat-SenUniverstiy,Guangzhou510275,China;3.SchoolofFinance,GuangdongUniversityofForeignStudies,Guangzhou510006,China

Abstract:The paper first applies nonparametric kernel estimation method to estimating CVaR which is currently a popular risk measurement tool, then derives a two-step kernel estimator of CVaR with distribution-free specification. Next, a two-step kernel estimator of CVaR is embed into the mean-CVaR portfolio optimization models to derive financial risk estimation and portfolio optimization at the same time. A simple iterative algorithm is designed to solve these models. Monte Carlo simulation result shows that the portfolio optimization models and the algorithm based on the two-step kernel estimator of CVaR is feasible and effective, and that the estimated error of portfolio frontier is very small. The models and algorithm above apply to a risk-free security. Finally, an empirical analysis of daily return data from Chinese A-stock market is presented to illustrate the application of this research.

Key words:mean-CVaR model; two-step kernel estimator; portfolio frontier; Chinese A-stock market

收稿日期：① 2013-08-17；

修訂日期：2014-03-24.

基金項目：國家自然科學基金重點資助項目(71231008)； 國家自然科學基金資助項目(71471045)； 中國博士后科學基金特別資助項目(2015T80896)； 中國博士后科學基金資助項目(2014M562246; 2014M560658)； 全國統(tǒng)計科學研究計劃資助項目(2013LY101)； 廣東省自然科學基金研究團隊資助項目(2014A030312003)； 廣東省高等學校高層次人才資助項目； 廣東省高等院?？萍紕?chuàng)新資助項目(2012KJCX0050)； 廣東省普通高校特色創(chuàng)新資助項目(人文社科類)； 廣州市哲學社會科學規(guī)劃資助項目(14G42).

通信作者：李仲飛(1963—)， 男， 內蒙古鄂爾多斯人， 博士， 教授， 博士生導師. Email: lnslzf@mail.sysu.edu.cn

中圖分類號:F830.9; O212.7

文獻標識碼:A

文章編號:1007-9807(2016)05-0114-13