數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循的三個(gè)主要原則

李樹(shù)臣

【摘 要】 提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的問(wèn)題一直是人們不斷探索和實(shí)踐的問(wèn)題，搞好教學(xué)設(shè)計(jì)是至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié).教師為了作出切實(shí)可行的教學(xué)設(shè)計(jì)，必須認(rèn)真研究《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》、教材（含相關(guān)的教學(xué)資源）以及學(xué)生，同時(shí)還要遵循一些基本的原則.在這些基本原則中有三個(gè)主要原則，它們是：激發(fā)學(xué)習(xí)興趣原則；整體結(jié)構(gòu)原則和過(guò)程性原則.

【關(guān)鍵詞】 教學(xué)設(shè)計(jì)；激發(fā)興趣；數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；經(jīng)歷過(guò)程

課堂教學(xué)的效果在很大程度上決定于教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，所謂教學(xué)設(shè)計(jì)是指為達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，教師對(duì)課堂教學(xué)的過(guò)程與行為所作的系統(tǒng)規(guī)劃.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)（2011年版）》）在“課程基本理念”中強(qiáng)調(diào)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.”這些理念就是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循的總原則，具體說(shuō)來(lái)，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循的主要原則有以下三個(gè)： 1 激發(fā)興趣原則

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們希望學(xué)生能以最大的熱情、最佳的精神狀態(tài)積極地投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，為此，必須培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.這是我們進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)首先要考慮并努力做好的問(wèn)題.

興趣是指一個(gè)人力求認(rèn)識(shí)某種事物或從事某種活動(dòng)的心理傾向，它是一種無(wú)形的動(dòng)力，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣具有重要的意義.《課標(biāo)（2011年版）》指出“無(wú)論是設(shè)計(jì)、實(shí)施課堂教學(xué)方案，還是組織各類(lèi)教學(xué)活動(dòng)，不僅要重視學(xué)生獲得知識(shí)技能，而且要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過(guò)獨(dú)立思考或者合作交流感悟數(shù)學(xué)的基本思想……”

《中國(guó)青年報(bào)》曾報(bào)道過(guò)一個(gè)問(wèn)題，“約30%的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后，喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣”，這種現(xiàn)象從一個(gè)側(cè)面鞭策我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要把激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣放在首位.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，老師們都很注意培養(yǎng)學(xué)生的興趣問(wèn)題，我們認(rèn)為引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的問(wèn)題情境.簡(jiǎn)單的說(shuō)，有價(jià)值的問(wèn)題情境是指能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)地參與到探究數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng)中來(lái)，在活動(dòng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)、掌握、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的問(wèn)題系列.

有價(jià)值的問(wèn)題情境的核心是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)問(wèn)題系列深入到數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，超越對(duì)于技巧性問(wèn)題的過(guò)度追求，克服對(duì)數(shù)學(xué)概念表面理解的現(xiàn)象.這樣的問(wèn)題能揭示數(shù)學(xué)概念背后的本質(zhì)含義，能幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)命題背后隱含的思想方法，能溝通知識(shí)間相互聯(lián)系，從而促使學(xué)生形成優(yōu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).

有價(jià)值的問(wèn)題情境的標(biāo)志是：

（1）具有啟發(fā)性

問(wèn)題容易引起學(xué)生聯(lián)想，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的思維處于活躍狀態(tài)，為學(xué)生提供思考的機(jī)會(huì)，能在學(xué)習(xí)的過(guò)程中養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣，能把教材知識(shí)點(diǎn)本身的矛盾與學(xué)生已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間的矛盾作為問(wèn)題的突破口，學(xué)生通過(guò)思考，不僅知道是“什么”，還能明確“為什么”.

（2）具有趣味性

問(wèn)題富有情趣、意味和吸引力，能夠使學(xué)生感到在思考時(shí)有趣并且愉快，在愉快中探究知識(shí).能引起學(xué)生的好奇心，激發(fā)他們強(qiáng)烈的求知欲望，促使學(xué)生在生疑、質(zhì)疑、解疑的過(guò)程中獲得新的知識(shí)，并且形成基本技能.

（3）適時(shí)適度適量

學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平.兩者之間的差距就是最近發(fā)展區(qū).有價(jià)值的問(wèn)題情境著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，具有“適時(shí)適度適量”的特點(diǎn).適時(shí)指要在學(xué)生達(dá)到“憤、悱”的狀態(tài)時(shí)呈現(xiàn)問(wèn)題；適度是指提出的問(wèn)題要讓學(xué)生能“跳一跳，摘得到”；適量指問(wèn)題的數(shù)量恰好能為學(xué)習(xí)重點(diǎn)知識(shí)做好引領(lǐng).

（4）具有發(fā)展性

問(wèn)題能為學(xué)生深化理解、產(chǎn)生疑問(wèn)留出時(shí)間和空間，便于學(xué)生在思考解答的過(guò)程中產(chǎn)生“創(chuàng)新”的火花，開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，發(fā)展其能力.

例如，青島版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)在學(xué)習(xí)“幾何證明”內(nèi)容之前，曾利用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納和類(lèi)比等方法發(fā)現(xiàn)了不少數(shù)學(xué)命題，我們知道用這些方法得到的結(jié)論不一定都是正確的.為了讓學(xué)生明確由此得到命題僅僅是一種猜想，不能保證它是真命題.教科書(shū)在學(xué)習(xí)“為什么要證明”時(shí)，給出了六個(gè)問(wèn)題，作為問(wèn)題情境，其中一個(gè)如下：

案例1 公雞吃米的故事（“為什么要證明”的教學(xué)設(shè)計(jì)片段）.

1962年，我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚給中學(xué)生講過(guò)一個(gè)故事：“一只公雞被一位買(mǎi)主買(mǎi)回了家.第1天，主人喂了公雞一把米；第2天，主人又喂了公雞一把米；……連續(xù)10天，主人每天都給公雞一把米.公雞有了10天的經(jīng)驗(yàn)，就下結(jié)論說(shuō)，主人一定每天都喂它一把米.但是就在它得出這個(gè)結(jié)論不久，主人家里來(lái)了客人，公雞就被殺掉作菜了.”故事中的公雞為什么得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論呢？

設(shè)計(jì)意圖 本案例是通過(guò)給定的問(wèn)題情境，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，實(shí)現(xiàn)學(xué)生由“苦學(xué)”、“厭學(xué)”到“樂(lè)學(xué)”的轉(zhuǎn)變.在讓學(xué)生聽(tīng)完故事后，通過(guò)自己的思考，能認(rèn)識(shí)到“只對(duì)部分對(duì)象研究就歸納出的結(jié)論，未必正確”.僅憑經(jīng)驗(yàn)感覺(jué)得到的結(jié)論是不可靠的，要想得到理性的知識(shí)，必須給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.

這樣的設(shè)計(jì)不僅能引發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地投入到聽(tīng)故事的過(guò)程中，而且還能在聽(tīng)故事的過(guò)程中展開(kāi)數(shù)學(xué)思考，通過(guò)思考、討論和相互交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，能自覺(jué)地意識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)證明的必要性，為順利的學(xué)習(xí)證明作好了鋪墊.

有價(jià)值的問(wèn)題情境主要有六種類(lèi)型：（1）數(shù)學(xué)發(fā)展型問(wèn)題情境；（2）生活實(shí)際型問(wèn)題情境；（3）實(shí)驗(yàn)操作型問(wèn)題情境；（4）故事游戲型問(wèn)題情境；（5）新聞或資料型問(wèn)題情境；（6）結(jié)合聯(lián)系型問(wèn)題情境.

實(shí)踐證明，這些類(lèi)型的問(wèn)題情境都能有效地引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)他們內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)力，主動(dòng)地去探究數(shù)學(xué)知識(shí). 2 整體結(jié)構(gòu)原則

《課標(biāo)（2011年版）》指出“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)與‘延伸點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)對(duì)于某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解.”這就要求我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要遵守整體結(jié)構(gòu)原則.

所謂整體結(jié)構(gòu)原則，是指從數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)規(guī)劃教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)施課堂教學(xué).學(xué)生隨著對(duì)新知識(shí)的不斷學(xué)習(xí)，原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)將不斷得到完善和發(fā)展，從而實(shí)現(xiàn)整體把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的目的.

教師要從數(shù)學(xué)知識(shí)體系本身高度“結(jié)構(gòu)化”的特點(diǎn)出發(fā)，遵循學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展規(guī)律，站在整體、系統(tǒng)的高度把握和處理教材，努力創(chuàng)設(shè)把新知識(shí)融入學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的條件，以此促使新的數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)發(fā)生相互作用，從而完善和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)習(xí)效益.整體結(jié)構(gòu)原則下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過(guò)程如圖1所示：

同化和順應(yīng)是學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新的學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用的兩種基本形式.

在這里，新的學(xué)習(xí)內(nèi)容是核心知識(shí)，它包括數(shù)學(xué)的基本概念以及隱含在其中的數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)設(shè)計(jì)必須圍繞這些核心知識(shí)展開(kāi).根據(jù)所學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的特點(diǎn)，把課堂教學(xué)設(shè)計(jì)成一個(gè)有層次的序列活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在完成這些活動(dòng)的過(guò)程中，把新的核心知識(shí)納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，從而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).實(shí)現(xiàn)掌握新的知識(shí)，形成新的技能，發(fā)展其數(shù)學(xué)能力的目的.所以，整體結(jié)構(gòu)是教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循的一個(gè)重要原則.

根據(jù)整體結(jié)構(gòu)原則的要求，教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)當(dāng)做到：

（1）教學(xué)目標(biāo)明確，削支強(qiáng)干，重點(diǎn)突出，集中精力關(guān)注數(shù)學(xué)核心內(nèi)容；

（2）教學(xué)內(nèi)容安排體現(xiàn)層次結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，遵循循序漸進(jìn)，由淺人深，由易到難的規(guī)律；

（3）每堂課都圍繞一個(gè)中心問(wèn)題而展開(kāi)，精心組織相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng).

案例2 “零指數(shù)冪”的教學(xué)設(shè)計(jì).

“ 零指數(shù)冪”的意義是一種“規(guī)定”，但教學(xué)中不能單純地要求學(xué)生記住這個(gè)“規(guī)定”，并進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練，而應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)一些有利于學(xué)生思考與探究的問(wèn)題，盡可能地引導(dǎo)學(xué)生感悟這種“規(guī)定”的必要性與合理性.為了很好地體現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)原則的思想，我們把這個(gè)概念的建立過(guò)程分為以下三步：

（1）提出猜想：20=1.

零指數(shù)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)可這樣引導(dǎo)學(xué)生去思考與探究：

①計(jì)算22÷22.（啟發(fā)學(xué)生分別用除法和同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，從而得到兩種不同的結(jié)果：22÷22=1或22÷22=22-2=20.）

②提問(wèn)學(xué)生.（如何解釋用不同的方法計(jì)算同一個(gè)問(wèn)題所得到的不同答案呢？）

③學(xué)生猜想.（為了使被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)時(shí)，同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)也能使用，應(yīng)當(dāng)有20=1.）

（2）質(zhì)疑這個(gè)猜想是否合理，并通過(guò)多種途徑引導(dǎo)學(xué)生感受猜想的合理性.

例如，可以用細(xì)胞分裂作為情境，提出下面的問(wèn)題：

一個(gè)細(xì)胞分裂1次變2個(gè)，分裂2次變4個(gè)，分裂3次變8個(gè)…，那么一個(gè)細(xì)胞沒(méi)有分裂時(shí)個(gè)數(shù)為多少？

如圖2，觀察數(shù)軸上表示2的正整數(shù)次冪…16，8，4，2…的點(diǎn)的位置變化，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

觀察下列式子中指數(shù)、冪的變化，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律：

24=16，23=8，22=4，21=2，2（ ）=1.

這樣，學(xué)生通過(guò)思考、探究、交流等活動(dòng)，就能比較充分地感受到“20=1”的合理性，于是作出“零指數(shù)冪”意義的“規(guī)定”：a0=1（a≠0）.

（3）驗(yàn)證這個(gè)規(guī)定與原有“冪的運(yùn)算性質(zhì)”是相容、和諧的.

運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)：a5÷a0=a5-0=a5；根據(jù)零指數(shù)冪意義的規(guī)定：a5÷a0=a5÷1=a5.

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)習(xí)“零指數(shù)冪”之前，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的指數(shù)只能是正整數(shù)，為了讓學(xué)生經(jīng)歷指數(shù)可以是0和負(fù)整數(shù)（這節(jié)課后將學(xué)習(xí)指數(shù)是負(fù)整數(shù)的情況）的過(guò)程，從而把指數(shù)概念由正整數(shù)擴(kuò)充到全體整數(shù)的過(guò)程，我們?cè)O(shè)計(jì)了以上“零指數(shù)冪”概念的建立過(guò)程.

這樣引入“零指數(shù)冪”概念，學(xué)生經(jīng)歷了的過(guò)程是：面對(duì)挑戰(zhàn)→提出猜想（“規(guī)定”）→說(shuō)明猜想的合理性→做出“規(guī)定”→驗(yàn)證這種“規(guī)定”與原有知識(shí)體系的和諧性→數(shù)學(xué)得到進(jìn)一步發(fā)展.這樣就把0指數(shù)冪概念納入到已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，擴(kuò)大了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

波普爾指出：“知識(shí)的增長(zhǎng)永遠(yuǎn)始于問(wèn)題，終于問(wèn)題——愈來(lái)愈深化的問(wèn)題，愈來(lái)愈能啟發(fā)大量新問(wèn)題的問(wèn)題.”在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，根據(jù)整體結(jié)構(gòu)原則的要求，盡量通過(guò)設(shè)計(jì)相應(yīng)的“下位”問(wèn)題，讓學(xué)生圍繞這些問(wèn)題進(jìn)行思考、探究、計(jì)算、猜測(cè)、交流、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)已有的知識(shí)不夠用了，于是自然地引出新的知識(shí).這樣不斷擴(kuò)大其認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué). 3 過(guò)程性原則

所謂過(guò)程性原則，是指數(shù)學(xué)教學(xué)必須以知識(shí)的發(fā)生發(fā)展和認(rèn)知形成的內(nèi)在聯(lián)系為線索，充分展現(xiàn)和經(jīng)歷其中的思維活動(dòng)過(guò)程，使學(xué)生真正參與到發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中來(lái).《課標(biāo)（2011年版）》非常重視“過(guò)程”，這里的過(guò)程主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：

（1）體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程.在設(shè)計(jì)一些新知識(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，應(yīng)按照“知識(shí)背景—知識(shí)形成—揭示聯(lián)系”的過(guò)程展開(kāi).

（2）反映數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程.在設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng)時(shí)，應(yīng)體現(xiàn)“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過(guò)程，這樣的活動(dòng)不僅有利于學(xué)生理解和掌握相關(guān)的知識(shí)技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；還有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

無(wú)論是新知識(shí)的學(xué)習(xí)，還是運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，都要努力體現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程”的精神要求.

案例3 銳角三角比的建立過(guò)程設(shè)計(jì).

說(shuō)明：《課標(biāo)（2011年版）》對(duì)這個(gè)概念的教學(xué)要求是“利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA）.”而不是從變量和函數(shù)的角度去研究他們，所以青島版教科書(shū)把銳角A的正弦、余弦、正切定義為銳角A的三角比，而不是銳角三角函數(shù)，這一點(diǎn)與有些版本教科書(shū)的提法不一樣，我們認(rèn)為叫銳角三角比更能反映它們的實(shí)質(zhì)，也能較好地體現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》的上述要求.

為了讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間充分體驗(yàn)、經(jīng)歷銳角三角比概念的形成過(guò)程，我們?cè)O(shè)計(jì)了下面的問(wèn)題情境： 圖3

（1）有一塊長(zhǎng)2.00m的平滑木板AB，小亮將它的一端B架高1m，另一端A放在平地上（如圖3），在木板上分別取點(diǎn)B1，B2，B3，B4，分別量得它們到A點(diǎn)的距離AB1，AB2，AB3，AB4，以及它們距地面的高度B1C2，B2C2，B3C3，B4C4，數(shù)據(jù)如下表所示：

木板上的點(diǎn) 到A點(diǎn)的距離/m[]距地面的高度/m B1[]1.50[]0.75[BH]B2[]1.20[]0.60[BH]B3[]1.00[]0.50[BH]B4[]0.80[]0.40

利用上述數(shù)據(jù)，分別計(jì)算比值 BC AB ， B1C1 AB1 ， B2C2 AB2 ， B3C3 AB3 ， B4C4 AB4 ，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）如圖4，∠A是銳角，在∠A的一邊上任意取兩個(gè)點(diǎn)B，B′，經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)分別向∠A的另一邊作垂線，垂足分別為C，C′，由（1）你猜測(cè)比值 BC AB 與 B′C′ AB′ 相等嗎？能證明你的結(jié)論嗎？

（3）如果設(shè)比值 B′C′ AB′ =k，由（2）你發(fā)現(xiàn)當(dāng)銳角A的大小確定后，k的大小與點(diǎn)B′在AB邊上的位置有關(guān)嗎？

（4）如圖5，以A為端點(diǎn)，在銳角A的內(nèi)部（或外部）作一條射線，在這條射線上取B″，使AB″=AB′，這樣又得到了一個(gè)銳角B″AC.過(guò)B″作B″C″⊥AC，垂足為C″.比值 B″C″ AB″ 與k相等嗎？為什么？由此你得到怎樣的結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了相似三角形的基礎(chǔ)上，探索銳角三角比的意義.為了讓學(xué)生能充分地參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展其合情推理和演繹推理能力，我們選擇了這個(gè)與生活有關(guān)的素材.素材共由四個(gè)問(wèn)題構(gòu)成.

第一個(gè)問(wèn)題是從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，以“平滑木板”為素材設(shè)計(jì)的.首先構(gòu)造定角∠A.然后提出要求：計(jì)算五個(gè)比值.其根本目的是讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：當(dāng)∠A的大小固定后，木板上任意一點(diǎn)距地面的高度與該點(diǎn)到A點(diǎn)的距離的比都等于同一個(gè)常數(shù).

第二個(gè)是一般化的問(wèn)題，我們將問(wèn)題抽象為在任意銳角A的一邊上任取兩個(gè)點(diǎn)，目的是讓學(xué)生猜測(cè) BC AB = B′C′ AB′ ，并利用相似三角形的性質(zhì)加以證明.這樣的設(shè)計(jì)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力是非常必要的.同時(shí)還向?qū)W生暗示了：如果放到直角坐標(biāo)系中來(lái)考察的話，這個(gè)比便是∠A的終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r的比值.

第三個(gè)問(wèn)題起著過(guò)渡作用，目的是為引出概念降低“臺(tái)階”.學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：對(duì)于確定的銳角A來(lái)說(shuō)，比值k與點(diǎn)B′在AB邊上的位置無(wú)關(guān).

第四個(gè)問(wèn)題的目的是為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到比值k與∠A的大小是有關(guān)的：這個(gè)比值隨∠A的確定而確定，與點(diǎn)在∠A的終邊上的位置無(wú)關(guān).

學(xué)生在思考與解答完上述四個(gè)問(wèn)題后，會(huì)得到這樣的認(rèn)知：∠A為Rt△ABC中一個(gè)確定的銳角，雖然Rt△ABC的大小可以變化，但它們都是相似的，所以∠A的對(duì)邊與斜邊的比值不變，即對(duì)于每一個(gè)銳角A都有唯一確定的比值與之對(duì)應(yīng).這個(gè)唯一確定的比值就是一個(gè)新的知識(shí)，這時(shí)給出定義的時(shí)機(jī)已經(jīng)成熟，于是隨之給出∠A的正弦概念.

類(lèi)似地，給出∠A的余弦和正切的概念，從而給出銳角三角比的概念.

學(xué)生在上述問(wèn)題情境的引導(dǎo)下，就經(jīng)歷了銳角三角比的形成過(guò)程，對(duì)其理解深刻，記憶永久.這樣的設(shè)計(jì)除能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)與方法、形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)、提高解決問(wèn)題的能力外，還能體會(huì)到數(shù)學(xué)就在身邊，感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，逐步樹(shù)立起“生活即數(shù)學(xué)”的觀點(diǎn).

根據(jù)過(guò)程性原則的要求，在概念教學(xué)設(shè)計(jì)、解題教學(xué)設(shè)計(jì)、證明題教學(xué)設(shè)計(jì)以及綜合實(shí)踐活動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，都要根據(jù)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“數(shù)學(xué)教學(xué)必須彰顯過(guò)程的價(jià)值”要求，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和形成過(guò)程.應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程、運(yùn)算法則及定律的歸納發(fā)現(xiàn)過(guò)程、數(shù)學(xué)命題的探究發(fā)現(xiàn)過(guò)程、解（證）數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)思路的分析過(guò)程等充分地“暴露”給學(xué)生.實(shí)現(xiàn)從“被動(dòng)的接受”到“主動(dòng)的建構(gòu)”的轉(zhuǎn)變.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循的原則還有很多，我們認(rèn)為以上是三個(gè)根本原則.希望老師們加強(qiáng)學(xué)習(xí)和研究，努力通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)，在經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程和應(yīng)用過(guò)程的同時(shí)，達(dá)到《課標(biāo)（2011年版）》提出的課程總目標(biāo)的要求，實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程理念.