非線性項(xiàng)包含導(dǎo)數(shù)的邊值問題的一個(gè)對(duì)稱解

薛益民,　蘇　瑩,　胡　飛

(徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院,江蘇 徐州　221111)

非線性項(xiàng)包含導(dǎo)數(shù)的邊值問題的一個(gè)對(duì)稱解

薛益民,蘇瑩,胡飛

(徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院,江蘇 徐州221111)

摘要:文章研究了非線性項(xiàng)包含低階導(dǎo)數(shù)的一維p-Laplacian動(dòng)力方程兩點(diǎn)邊值問題對(duì)稱正解的存在性,利用錐壓縮和錐拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理,得到了邊值問題一個(gè)對(duì)稱正解的存在性定理,具有一定的理論意義。

關(guān)鍵詞:邊值問題;對(duì)稱解;p-Laplacian算子;不動(dòng)點(diǎn)理論

本文主要考慮非線性項(xiàng)包含低階導(dǎo)數(shù)的一維p-Laplacian動(dòng)力方程兩點(diǎn)邊值問題對(duì)稱正解的存在性，即

(1)

其中，ω為非負(fù)實(shí)數(shù)；φp(u)=|u|p-2u；p>1,且1/p+1/q=1。利用錐壓縮和錐拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理[1-2]得到了邊值問題一個(gè)對(duì)稱正解的存在性。作為主要結(jié)論的應(yīng)用,給出一個(gè)例子驗(yàn)證了所得結(jié)果。

在泛函分析理論和實(shí)際問題的共同推動(dòng)下,常微分邊值問題的研究在20世紀(jì)迅速發(fā)展，形成了許多新的研究方向,例如奇異邊值問題、無窮區(qū)間上的邊值問題、脈沖邊值問題、時(shí)滯邊值問題和帶p-Laplacian算子的邊值問題等。對(duì)p-Laplacian算子微分方程的邊值問題正解的研究始于20世紀(jì)90年代[3]。隨著國內(nèi)外著名學(xué)者對(duì)這類邊值問題的關(guān)注,p-Laplacian算子微分方程的邊值問題逐漸成為新的研究熱點(diǎn)。

文獻(xiàn)[4]研究了一維p-Laplacian微分方程邊值問題，即(2)式，并且在不要求f單調(diào)的情況下,通過錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理得到了邊值問題(2)式正解的存在性。

(2)

其中,φp(s)為p-Laplacian算子；f∈([0,∞),[0,∞))。

近年來,動(dòng)力方程正解的存在性研究取得了很多成果,如文獻(xiàn)[5-10],尤其是帶p-Laplacian算子的微分方程更是成為研究的熱點(diǎn),如文獻(xiàn)[11-16]。由于在研究動(dòng)力方程邊值問題時(shí),會(huì)因?yàn)榉蔷€性項(xiàng)包含低階導(dǎo)數(shù),使得非線性項(xiàng)很難控制,從而增加了研究困難,所以相關(guān)的文獻(xiàn)較少。

1相關(guān)定義和引理

為了研究的需要,作如下假設(shè):

(1)f(t,u,u′):[0,1]×[0,∞)×(-∞,∞)→[0,∞)是連續(xù)的。對(duì)任意的u和u′,f(t,u,u′)關(guān)于t對(duì)稱且不恒為零。

下面給出錐的定義和錐壓縮和錐拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理[1-2]。

定義1設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間,P是一個(gè)非空閉凸集,P?E是一個(gè)錐且滿足以下條件:

(1) 如果x∈P且λ≥0,那么λx∈P。

(2) 如果x∈P且-x∈P,那么x=0。

(1) ‖Ax‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω1且‖Ax‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω2。

(2) ‖Ax‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω1且‖Ax‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω2。

假設(shè)E=C1([0,1],R)，那么E是一個(gè)Banach空間,定義范數(shù)為:

定義一個(gè)錐P?E并滿足:

其中,u是[0,1]上非負(fù)對(duì)稱的凹函數(shù)。

根據(jù)對(duì)稱性和凹性,可得引理2。

引理2如果u∈P,那么下列結(jié)論成立:

引理3如果u∈P,則下列結(jié)論成立:

定義算子A:P→E,

引理4A:P→P是一個(gè)全連續(xù)算子。

證明事實(shí)上,對(duì)t∈[0,1],有(Au)(t)≥0,(Au)(0)=(Au)(1)且 (Au)(0)=ω。

下面證明算子A在[0,1]上是對(duì)稱的。

其中,s=1-s1,r=1-r1。所以有:

由于s=1-s1,r=1-r1,從而有:

從而有:

通過相似的方法,可以推出:

綜上所述,A:P→P是一個(gè)全連續(xù)算子。

所以,求邊值問題(1)式的解等價(jià)于求全連續(xù)算子A的不動(dòng)點(diǎn)。

2主要結(jié)論

下面通過錐壓縮和錐拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理來研究對(duì)稱邊值問題(1)式的對(duì)稱正解的存在性。

假設(shè)u∈P,引入下列記號(hào):

定理1如果f0=0且f∞=∞,則邊值問題(1)式至少存在1個(gè)對(duì)稱正解u。

證明由于f0=0,因此存在H1>0,使得：

其中，(t,u,u′)∈[0,1]×(0,H1]×[-H1,H1],ε>0，且滿足:

如果u∈P且‖u‖=H1,由引理3可知:

所以有:

如果定義集合:

那么有:

(3)

其中,k>0,且滿足:

(4)

(5)

對(duì)于u∈P∩?ΩH2,由(3)～(5)式可得:

那么,根據(jù)引理1可得邊值問題(1)式至少有1個(gè)對(duì)稱正解，即

定理2如果f0=∞且f∞=0,則邊值問題(1)式至少存在1個(gè)對(duì)稱正解u。

證明由于f0=∞,因此存在H3>0,使得:

(6)

這里(t,u,u′)∈[0,1]×(0,H3]×[-H3,H3],并且m滿足:

(7)

如果u∈P且‖u‖=H3,由引理3可以得到:

(8)

由(6)～(8)式可得:

若假設(shè):

則有:

下面考慮f∞=0的情況。

假設(shè)f有界,那么對(duì)于任意常數(shù)K>0,任意的(t,u,u′)∈[0,1]×[0,∞)×(-∞,∞)有:

(9)

給定一個(gè)數(shù)H4,使得:

(10)

其中,C為一個(gè)任意的正的常數(shù)且滿足(11)式。

假設(shè)ΩH4={u∈E:‖u‖≤H4}，若u∈P∩?ΩH4,有‖u‖=H4,則由(9)式、(10)式可知:

其中,δ>0且滿足:

由f∈C([0,1]×[0,∞)×(-∞,∞),[0,∞)),可知:

(11)

其中,(t,u,u′)∈[0,1]×(0,H4′]×[-H4′,H4′],C為一個(gè)任意正的常數(shù)。

那么,對(duì)于

則有:

如果u∈P∩?ΩH4,那么‖u‖=H4,可得:

對(duì)任意情況,若取ΩH4={u∈E:‖u‖≤H4},可以得到:

從而引理1的條件(2)滿足。

因此,根據(jù)引理1,邊值問題(1)式至少存在1個(gè)對(duì)稱正解，即

3定理應(yīng)用舉例

考慮下面的邊值問題:

(12)

由于

且

那么,由定理2可知邊值問題(12)式至少存在1個(gè)對(duì)稱的正解u。

[參考文獻(xiàn)]

[1]Guo D, Lakshmikantham V. Nonlinear problems in abstract cones [M].San Diego, CA：Academic Press,1988:82-111.

[2]Krasnosel’skii M.Positive solutions of operator equations[D].Groningen:Noordhoff,1964.

[3]Wang J.The existence of positive solutions for the one-dimensionalp-Laplacian[J].Proc Amer Math Soc,1997,125:2275-2283.

[4]孫偉平,葛渭高.一類非線性邊值問題正解的存在性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2001,44:577-580.

[5]Avery R I,Chyan C J,Henderson J.Twin positive solutions of boundary value problem for ordinary differential equations and finite difference equations[J].Comput Math Appl，2001,42:695-704.

[6]Balanov Z,Krawcewicz W,Nguyen M L. Multiple solutions to symmetric boundary value problems for second order ODEs：equivariant degree approach[J].Nonlinear Anal,2014,94:45-64.

[7]Zhao J,Miao C,Ge W,Zhang J. Multiple symmetric positive solutions to a new kind of four point boundary value problem[J].Nonlinear Anal,2009,71:9-18.

[8]Ma R,Ma H. Positive solutions for nonlinear discrete periodic boundary value problems[J].Comput Math Appl，2010,59:136-141.

[9]Ma R,Zhu B.Existence of positive solutions for a semipositone boundary value problem on the half-line[J].Comput Math Appl，2009,58:1672-1686.

[10]Zhu Y, Zhu J. Existence of multiple positive solutions fornth-orderp-Laplacianm-point singular boundary value problems[J].J Appl Math Comput,2010,34:393-405.

[11]蘇有慧,李萬同.一類非線性項(xiàng)變號(hào)的奇異p-Laplacian動(dòng)力方程正解的存在性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2009,52(1):181-196.

[12]袁曉紅,周德高,許方,等.非線性項(xiàng)帶導(dǎo)數(shù)的p-Laplacian 邊值問題解的存在性[J].徐州工程學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,25(1):1-5.

[13]侍紅軍，胡志剛，石玉文.p-Laplace方程邊值問題解的存在性[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，30(10)：1387-1389.

[14]Su Y H, Yuan X H, Yan X X. Existence of a solution to a three-point BVPs forp-Laplacian dynamic equations on time scales[J].Journal of Lanzhou University:Natural Sciences, 2008,44:112-116.

[15]Lui Y J. Picard boundary value problems of second orderp-Laplacian differential equations[J].Chin Quart J of Math,2011,26(1):77-84.

[16]Zhao X,Hu W M,Jiang D Q.Existence theory for single and multiple positive solutions to singular boundary value problems for second-order differential systemsp-Laplacian[J].Chin Quart J of Math, 2013,28(3):345-354.

(責(zé)任編輯張镅)

Existence of symmetric solutions to boundary value problem with nonlinear term involving derivative

XUE Yi-min,SU Ying,HU Fei

(School of Mathematics and Physical Science, Xuzhou Institute of Technology, Xuzhou 221111, China)

Abstract:This paper studied the one-dimensional p-Laplacian dynamic equation with nonlinear term involving lower-order derivative for the two-point boundary value problems(BVPs). The existence of at least one positive symmetric solution was obtained by using the fixed point theorem of cone compression and expansion, which had certain theoretical significance.

Key words:boundary value problem(BVP); symmetric solution; p-Laplacian operator; fixed point theory

收稿日期：2015-09-17；修回日期：2016-03-20

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11361047;11501560;11301454);國家自然科學(xué)數(shù)學(xué)天元基金資助項(xiàng)目(11526177);江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20151160);江蘇省六大人才高峰資助項(xiàng)目(2013-JY-003);徐州工程學(xué)院重點(diǎn)資助項(xiàng)目(2013102)和徐州工程學(xué)院青年資助項(xiàng)目(XKY2013314)

作者簡介：薛益民(1977-),男,安徽宿州人,徐州工程學(xué)院講師.

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.05.027

中圖分類號(hào):O175

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-5060(2016)05-0716-05