幾種FFT加窗三次樣條插值的間諧波檢測方法的比較

陳　波,　徐　揚,　鄭　鵬,　趙衛(wèi)忠,　劉冬梅

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院,安徽 合肥　230009; 2.江蘇省電力公司檢修分公司南京分部,江蘇 南京　210000)

幾種FFT加窗三次樣條插值的間諧波檢測方法的比較

陳波1,徐揚1,鄭鵬2,趙衛(wèi)忠1,劉冬梅1

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院,安徽 合肥230009; 2.江蘇省電力公司檢修分公司南京分部,江蘇 南京210000)

摘要:在非整周期采樣的情況下,快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)存在較大的誤差。文章通過在Matlab中對構(gòu)造的信號模型進行仿真,比較了幾種基于三次樣條插值的加窗FFT算法的間諧波檢測精度,并以Blackman-Harris窗三次樣條插值FFT算法為例,對其進行了公式推導(dǎo),得到了該算法信號頻率、幅值和相位的計算公式。仿真結(jié)果表明,文中的幾種基于三次樣條插值的加窗FFT算法的間諧波檢測精度較高,頻率平均誤差可達到0.02%以內(nèi),幅值平均誤差可達到0.3%以內(nèi),有效地減小了非整周期采樣對FFT的影響。

關(guān)鍵詞:快速傅里葉變換;三次樣條插值;Blackman-Harris窗;間諧波;諧波檢測

非線性負(fù)荷的大量增加使得電力系統(tǒng)諧波污染日益嚴(yán)重[1-2]。大量存在在電網(wǎng)中的間諧波會對電能質(zhì)量以及供電可靠性帶來不利影響,因此,在進行電力系統(tǒng)諧波分析時,研究非基波頻率整數(shù)倍的間諧波同樣重要[3-4]。FFT是目前應(yīng)用在諧波參數(shù)檢測中的較為普遍的一種方法[5-6],相比于其他的方法,FFT具有計算速度快、應(yīng)用范圍廣、技術(shù)成熟等諸多優(yōu)點[7-10]。然而當(dāng)被測信號頻率發(fā)生變化導(dǎo)致非整周期采樣時,由于頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響,FFT會產(chǎn)生很大的誤差[11-13]。

為了減小電網(wǎng)頻率變化對諧波檢測的影響,可以采用硬件鎖相環(huán)電路實現(xiàn)同步采樣,也可以采用加窗插值FFT算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、小波分析算法等其他算法。加窗插值FFT算法是應(yīng)用較為廣泛的一種方法,通過采用性能優(yōu)良的窗函數(shù)以及對計算結(jié)果進行插值修正可減小非整周期采樣引起的誤差[14-16]。

本文針對Blackman-Harris窗三次樣條插值FFT算法進行了公式推導(dǎo),并使用Matlab進行仿真,比較了幾種基于三次樣條插值的加窗FFT算法的間諧波檢測精度,仿真結(jié)果表明,本文比較的幾種方法的間諧波檢測精度較高,有效地減小了非整周期采樣對FFT的影響。

1公式推導(dǎo)

設(shè)頻率為fi，幅值為Ai，相位為φi,最高諧波次數(shù)為h的諧波信號x(t)為:

(1)

以采用頻率fs均勻采樣得到其離散信號x(n)為:

(2)

以基頻信號為例進行分析,即

(3)

其中,A1、f1、φ1分別為信號的幅值、頻率、相位;n=0,1,…,N-1;N為采樣點數(shù)。

余弦組合窗的時域表達式為:

其中,R為窗函數(shù)的項數(shù);ar滿足約束條件:

余弦組合窗的系數(shù)見表1所列。

表1　余弦組合窗的系數(shù)

余弦組合窗的旁瓣特性見表2所列。

表2　余弦組合窗的旁瓣特性

窗函數(shù)的頻譜特性主要包括主瓣寬度、旁瓣峰值電平以及旁瓣漸近衰減速率,主瓣越窄,頻率分辨率越高;旁瓣越大,泄漏越多;旁瓣漸近衰減越快,對泄漏的抑制能力越強。應(yīng)選擇旁瓣峰值電平小、旁瓣漸近衰減快的窗函數(shù)對信號進行處理。

Blackman-Harris窗是一種4項系數(shù)余弦窗,其表達式如下:

(4)

系數(shù)a0=0.358 75,a1=0.488 29,a2=0.141 28,a3=0.011 68。

w(n)的DTFT頻譜函數(shù)WB-H(ejω)為:

(5)

對信號x(n)加Blackman-Harris窗得信號xw(n)為:

xw(n)的DTFT頻譜函數(shù)Xw(ejω)為:

(6)

忽略負(fù)頻點處頻峰的旁瓣影響,信號xw(n)的離散傅里葉變換Xw(k)為:

(7)

其中,Δf=(fs/N)=(1/NTs)。

在非整周期采樣時,f1/Δf不為整數(shù)。令

(8)

令k=l,由(7)式、(8)式可得:

(9)

假設(shè)諧波信號x(t)為:

x(t)=100cos(100πt)+50cos(200πt)。

在Matlab中,對其進行整周期采樣的頻譜如圖1所示,其中,采樣頻率取512 Hz,采樣點數(shù)取512。

圖1　整周期采樣的頻譜

在Matlab中,對其進行非整周期采樣的頻譜如圖2所示,其中,采樣頻率取1 000 Hz,采樣點數(shù)取512。

圖2　非整周期采樣的頻譜

由圖1、圖2可以看出,在整周期采樣的情況下,FFT可以準(zhǔn)確地計算出諧波信號的參數(shù);而在非整周期采樣的情況下,由于頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響,FFT會產(chǎn)生很大的誤差,得到的諧波參數(shù)不準(zhǔn)。

三次樣條插值從數(shù)學(xué)上看是一種改進的分段插值函數(shù),在分段處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且連續(xù)點保持光滑。在各個子區(qū)間[xj-1,xj](j=1,2,…,N+1)上的三次樣條函數(shù)為:

其中,xj-1≤x≤xj;hj=xj-xj-1;Mj可利用三次樣條函數(shù)的邊界條件求得。

使用三次樣條函數(shù)插值計算r,求得r之后可得信號的頻率為:

由(9)式可得信號的幅值為:

由(9)式可得信號的相位為:

φ1=angle[Xw(l)]-

2復(fù)雜信號間諧波參數(shù)估計實驗

仿真信號采用如下模型:

基波頻率f1取50 Hz,采樣頻率fs取500 Hz,采樣點數(shù)N取256,仿真信號的構(gòu)成見表3所列。

表3　仿真信號的構(gòu)成

實際情況下,電網(wǎng)頻率存在波動,因此本文采用非整周期采樣方式。仿真過程中采用FFT分別加Hanning窗、Hamming窗、4項1階Nuttall窗、4項Rife-Vincent(Ⅲ)窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗三次樣條插值方法進行Matlab仿真,仿真結(jié)果見表4、表5所列。

仿真結(jié)果表明,幾種基于三次樣條插值的加窗FFT算法的間諧波檢測精度較高,頻率平均誤差皆小于0.1%,幅值平均誤差皆小于4.4%,其中FFT加4項1階Nuttall窗三次樣條插值算法在間諧波參數(shù)檢測上性能更加優(yōu)良,頻率平均誤差在0.02%以內(nèi),幅值平均誤差在0.3%以內(nèi),有效地減小了頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)所引起的誤差。

表4　頻率仿真結(jié)果相對誤差比較　%

表5　幅值仿真結(jié)果相對誤差比較　%

3結(jié)束語

本文在針對Blackman-Harris窗三次樣條插值FFT算法進行公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上,使用Matlab進行仿真,比較了幾種基于三次樣條插值的加窗FFT算法的間諧波檢測精度。仿真結(jié)果表明,本文比較的幾種方法的間諧波檢測精度較高,頻率平均誤差可達到0.02%以內(nèi),幅值平均誤差可達到0.3%以內(nèi),有效地減小了頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)所引起的誤差,提高了間諧波參數(shù)檢測的精度,具有一定的實用價值。

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(責(zé)任編輯張镅)

Comparison of several interharmonics detection approaches based on windowed cubic spline interpolation FFT

CHEN Bo1, XU Yang1, ZHENG Peng2, ZHAO Wei-zhong1, LIU Dong-mei1

(1.School of Electric Engineering and Automation, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.Nanjing Branch, Maintenance Branch of Jiangsu Electric Power Company, Nanjing 210000, China)

Abstract:In the case of non-integer-period sampling, there is a big error in fast Fourier transform(FFT). In this paper, the precision of several interharmonics detection approaches based on windowed cubic spline interpolation FFT is compared through the simulation of signal model in Matlab. Taking Blackman-Harris window cubic spline interpolation FFT algorithm as an example, the formula derivation of the algorithm is done to get the computational formulas of frequency, amplitude and phase. The simulation results show that the precision of several interharmonics detection approaches based on windowed cubic spline interpolation FFT in the paper is high. The average error of frequency can be lower than 0.02%, and the average error of amplitude can be lower than 0.3%, thus reducing the influence of non-integer-period sampling on FFT effectively.

Key words:fast Fourier transform(FFT); cubic spline interpolation; Blackman-Harris window; interharmonics; harmonic detection

收稿日期：2015-05-06；修回日期：2015-07-20

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11105037)

作者簡介：陳波(1976-),男,安徽阜陽人,博士, 合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.05.008

中圖分類號:TM935.21

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-5060(2016)05-0613-05