分裂變分包含和非擴(kuò)張映射的不動點公共元的Mann-Halpern算法

朱 勝, 黃建華

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 福建 福州　350116)

分裂變分包含和非擴(kuò)張映射的不動點公共元的Mann-Halpern算法

朱 勝, 黃建華

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 福建 福州350116)

摘要：在Hilbert空間中, 針對分裂變分包含和無限族非擴(kuò)張映射的不動點問題的公共解, 引入一種迭代算法, 在對參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)南拗坪? 得到強(qiáng)收斂定理. 最后, 把所得的結(jié)果應(yīng)用到分裂優(yōu)化上.

關(guān)鍵詞：分裂變分包含； 不動點問題； 非擴(kuò)張映射； 預(yù)解算子

0引言

1994年, Censor和Elfving[1]首次在Hilbert空間中引入了分裂可行性問題, 即, 求x*∈H1使得x*∈C且有Ax*∈Q, 其中:C和Q分別為Hilbert空間H1、H2中的非空閉凸子集, 映射A:H1→H2為有界線性算子. 目前, 很多學(xué)者對分裂可行問題進(jìn)行了大量研究, 然而提出的算法大多涉及到矩陣的復(fù)雜逆運(yùn)算.

最近, Moudafi[3]提出下列分裂單調(diào)變分包含問題. 即, 求 x*∈H1使得0∈f(x*)+B1(x*) ，且y=Ax*∈H2，滿足0∈g(y*)+B2(y*). 其中: 映射A:H1→H2是有界線性算子, f:H1→H1和 g:H2→H2以及Bi:Hi→2Hi(i=1, 2) 是極大單調(diào)算子.

我們注意到, 在Moudafi提出的分裂單調(diào)變分包含問題中, 若 f 和 g 均為零算子時, 分裂單調(diào)變分包含問題就轉(zhuǎn)化為分裂變分包含問題. 設(shè)H1和H2均為實Hilbert空間, Bi:Hi→2Hi(i=1, 2)是極大單調(diào)算子, A:H1→H2是有界線性算子. 所謂變分包含問題： 求x*∈H1, 使得0∈B1(x*)且y*=Ax*∈H2, 0∈B2(y*).

記Γ為變分包含問題的解, 即： Γ={x*∈H1: 0∈B1(x*)且0∈B2(Ax*)}.

2014年,Kazmi和Rizvi[4]提出了下列迭代算法：

該算法強(qiáng)收斂于z=PFix(S)∩Γf(z). 后來,Nimana和Petrot[5]也提出了另一種算法, 該算法產(chǎn)生的序列也強(qiáng)收斂到分裂變分包含和不動點問題的公共解.

受以上工作啟發(fā), 引入Mann-Halpern迭代算法, 在對參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)限制后, 得到關(guān)于分裂變分包含和無限族非擴(kuò)張映射不動點的公共元的強(qiáng)收斂定理. 作為所得結(jié)果的應(yīng)用, 進(jìn)一步討論了分裂優(yōu)化問題.

1預(yù)備知識

引理 3[11]設(shè)H為實Hilbert空間, 則?x, y, z∈H, 有：

其中: α, β, γ∈[0, 1]，且α+β+γ=1.

引理6設(shè){an}, {bn}, {cn}是三個非負(fù)數(shù)列, 若滿足：

引理7[13]設(shè)E為實光滑且一致凸Banach空間, B:E→2E*為極大單調(diào)算子, 則B-1(0)是E中的閉凸子集.

2主要結(jié)果

定理1設(shè)H1和H2均為實Hilbert空間, Bi:Hi→2Hi(i=1, 2)是極大單調(diào)映射, {Tn}是一族從H1映射到自身的非擴(kuò)張映射, {Tn, T}滿足AKTT條件, A:H1→H2為有界線性算子, 給定u∈H, ?x1∈H. 假如序列{xn}由下面迭代算法生成：

(1)

證明分四個步驟完成定理的證明.

一方面, 有：

(2)

通過歸納法, 可得：

(3)

(4)

把式(5)代入式(4), 可得：

(6)

(7)

因為{xn}有界, 則對于每個k, {un}和{Tkun}也是有界的.

(8)

(9)

由引理2, 易證

(10)

(11)

(12)

接下來證明

(13)

由引理3及式(4), 可得：

(14)

則：

(15)

化簡得：

(16)

把式(16)代入式(14), 可得：

等價于：

(17)

由式(12)和(17), 可得：

(18)

又：

(19)

由式(18), 可得：

(20)

因αn+βn+λn=1, 簡化得：

(21)

3應(yīng)用

3.1分裂優(yōu)化問題

設(shè)H1和H2均為實Hilbert空間, h:H1→R和g:H2→R為兩個真凸下半連續(xù)泛函, 以及A:H1→H2為有界線性算子. 分裂優(yōu)化問題表述如下：

求x*∈H1使得：

(22)

因為x*與Ax*分別為h 在H1與g在H2上的極小值, 則有：

(23)

現(xiàn)在, 根據(jù)定理1得到如下結(jié)果：

定理2設(shè)H1, H2, A, B1, B2, h, g與上述定義相同，且{Tn, T}, {αn}, {βn}, {γn}與定理1中的一樣. 給定u∈H, ?x1∈H. 假如序列{xn}由下面迭代算法生成：

(24)

若Ω∩?！佴? 則序列 {xn} 強(qiáng)收斂到z=PΩ∩Γu.

(25)

同理, 由式(24), 有：

(26)

由定理1, 易證定理2的結(jié)論成立.

參考文獻(xiàn)：

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[4]KAZMI K R, RIZVI S H. An iterative method for split variational inclusion problem and fixed point problem for nonexpansive mapping[J]. Optim Lett, 2014, 8(3): 1 113-1 124.

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(責(zé)任編輯： 沈蕓)

Mann-Halpern approximation methods for split variational inclusion and fixed point problems of nonexpansive mapping

ZHU Sheng, HUANG Jianhua

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

Abstract:We introduce an iterative algorithm for finding a common solution of split variational inclusion problem, and fixed point problem of infinite family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces. Moreover, we prove a strong convergence theorem under suitable control conditions. Finally, the application to split optimization problem problem is given by the result.

Keywords:split variational inclusion problem; fixed point problem; nonexpansive operator; resolvent operator

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0384

文章編號：1000-2243(2016)03-0384-06

收稿日期:2014-12-10

通訊作者:黃建華(1957-)，教授，主要從事非線性分析研究，fjhjh57@163.com

基金項目:福建省自然科學(xué)基金資助項目(2014J01008 )

中圖分類號：O177.91

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A