混水平飽和正交設(shè)計(jì)在廣義離散偏差下的均勻性

李洪毅，歐祖軍，黎奇升

(1. 吉首大學(xué)師范學(xué)院，湖南 吉首　416000；2. 吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首　416000)

混水平飽和正交設(shè)計(jì)在廣義離散偏差下的均勻性

李洪毅1, 2，歐祖軍2，黎奇升2

(1. 吉首大學(xué)師范學(xué)院，湖南 吉首416000；2. 吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首416000)

摘要：針對(duì)二、 三混水平飽和正交設(shè)計(jì)d，在適當(dāng)?shù)膭澐窒耫=(D ? ), 給出設(shè)計(jì)d的廣義離散偏差與子設(shè)計(jì))的廣義字長(zhǎng)型及均勻性模式的解析關(guān)系. 同時(shí), 給出這類因子設(shè)計(jì)的廣義離散偏差的下界. 最后, 通過(guò)例子來(lái)驗(yàn)證其結(jié)論.

關(guān)鍵詞：混水平飽和正交設(shè)計(jì); 廣義離散偏差; 廣義字長(zhǎng)型; 均勻性模式

0引言

1基本概念

關(guān)于強(qiáng)度為2的二、 三混水平飽和正交設(shè)計(jì), Qin[3]給出了下列結(jié)論.

(1)

對(duì)于任意的設(shè)計(jì)d∈u(n; 2s13S2)，其廣義離散偏差值記為DDd((a1,b1), (a2,b2)), Chatterjee等[2]給出了如下關(guān)于[DDd((a1,b1), (a2,b2))]2的表達(dá)式：

(2)

其中:a1,b1,a2,b2為常數(shù), 且a1>b1>0,a2>b2>0. 當(dāng)a1=a2,b1=b2, DDd((a1,b1), (a2,b2))簡(jiǎn)記為DDd(a1,b1)，即為設(shè)計(jì)d的離散偏差，關(guān)于式(2)的詳述參見(jiàn)文[2].

對(duì)于n次試驗(yàn)s個(gè)因子的設(shè)計(jì)d, 定義:

(3)

Ma和Fang[4]基于向量(A1(d), …,AS(d))給出了如下的最小廣義低階混雜(MGA)準(zhǔn)則.

定義2對(duì)兩個(gè)設(shè)計(jì)d1(n;qs)和d2(n;qs), 設(shè)r為使得Ar(d1)≠Ar(d2)的最小整數(shù)，如果Ar(d1)

現(xiàn)在來(lái)簡(jiǎn)單地描述最小投影均勻性(MPU)準(zhǔn)則. 基于中心化L2-偏差，F(xiàn)ang和Qin[5]對(duì)于設(shè)計(jì)d∈u(n; 2s)，利用Ii(d)來(lái)衡量設(shè)計(jì)d的i維投影均勻性，其中:

向量(I1(d), …,IS(d))被稱為設(shè)計(jì)d的均勻性模式[5-6].

引理2設(shè)d∈u(n; 2s), 對(duì)任意的j(1≤j≤s),Aj(d)和Ij(d)有如下的線性關(guān)系：

(4)

定義3對(duì)兩個(gè)設(shè)計(jì)d1∈u(n; 2s)和d2∈u(n; 2s), 設(shè)r為使得Ir(d1)≠Ir(d2)的最小整數(shù)，如果Ir(d1)

對(duì)于二水平設(shè)計(jì)的投影均勻性模式的下界,Zhang和Qin[6]給出了下面的結(jié)論：

引理3設(shè)d∈u(n; 2s), 則:

(5)

其中:Rn, l為n除以2l的余數(shù)，1≤l≤s.

2主要結(jié)論

(6a)

(6b)

(6c)

證明只給出式(6a)的證明, 其余等式可類似證明. 由式(1)和(2)，可得:

(7a)

(7b)

其中：

證明只考慮式(7a)的證明, 其余等式可類似證明. 據(jù)式(4)和式(6a)可得：

根據(jù)Zhang和Qin[6]給出二水平設(shè)計(jì)的投影均勻性模式的下界, 有下面的定理.

(8a)

(8b)

其中:

Rn, l為n除以2l的余數(shù)，1≤l≤s1.

證明只考慮式(8a)的證明, 其余的可類似證明，由式(5)和式(7a)即可得式(8a).

表1　d的設(shè)計(jì)表及數(shù)值結(jié)果

參考文獻(xiàn)：

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(責(zé)任編輯： 沈蕓)

Uniformity in mixed levels saturated orthogonal designs in term of generalized discrete discrepancy

LI Hongyi1, 2, OU Zujun2, LI Qisheng2

(1. Normal College, Jishou University, Jishou, Hunan 416000，China;2. College of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou, Hunan 416000，China)

Abstract:We consider a kind of mixed two and three levels saturated orthogonal designs d. Under a proper decomposition of d=(D ? ), we give connections between the generalized discrete discrepancy of d and generalized word length pattern or uniformity pattern of D or . Meanwhile, we also present the lower bound of generalized discrete discrepancy of this kind of fractional factorials. Finally, an illustrative example is given to shown our theoretical results.

Keywords:mixed levels saturated orthogonal design; generalized discrete discrepancy; generalized word length pattern; uniformity pattern

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0368

文章編號(hào)：1000-2243(2016)03-0368-07

收稿日期:2014-08-27

通訊作者:歐祖軍(1979-)，副教授，主要從事試驗(yàn)設(shè)計(jì)及計(jì)算機(jī)試驗(yàn)研究, ozj9325@mail.ccnu.edu.cn

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201177, 11561025); 湖南省教育廳優(yōu)秀青年基金資助項(xiàng)目(14B146)

中圖分類號(hào)：O212.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A