一類(lèi)時(shí)間分?jǐn)?shù)階偽拋物方程基本解的存在性

陳劍春, 曾有棟

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州　350116)

一類(lèi)時(shí)間分?jǐn)?shù)階偽拋物方程基本解的存在性

陳劍春, 曾有棟

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州350116)

摘要：通過(guò)Fourier變換和Laplace變換及相應(yīng)的逆變換找出基本解的Fourier變換的表達(dá)式，討論一類(lèi)時(shí)間分?jǐn)?shù)階偽拋物方程基本解的存在性. 并通過(guò)該表達(dá)式證明了基本解的存在性和非負(fù)性.

關(guān)鍵詞：偽拋物方程； Caputo導(dǎo)數(shù)； Laplace變換； Fourier變換

1引言

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程涉及到的應(yīng)用學(xué)科越來(lái)越多，分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)被廣泛研究并應(yīng)用到眾多學(xué)科中，逐漸成為了一個(gè)新的研究領(lǐng)域. 分?jǐn)?shù)階偏微分方程可以分為三大類(lèi)： 時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程，空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程和時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程. 分?jǐn)?shù)階偏微分方程可以用來(lái)描述一些反常的自然現(xiàn)象，如： 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程可以用來(lái)描述具有分型結(jié)構(gòu)的多孔介質(zhì)中的反常慢擴(kuò)散現(xiàn)象，而分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程可以用來(lái)描述介質(zhì)中流體的反常滲透現(xiàn)象. 在文獻(xiàn)中討論時(shí)間分?jǐn)?shù)階拋物型方程的基本解的存在性和非負(fù)性，本文將其結(jié)果推廣到時(shí)間分?jǐn)?shù)階偽拋物方程中去，證明了偽拋物方程基本解的存在性和非負(fù)性.

考慮如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階偽拋物偏微分方程：

(1)

(2)

(3)

本文主要得到如下結(jié)論：

定理1時(shí)間分?jǐn)?shù)階偽拋物偏微分方程柯西問(wèn)題(1)、(2)、(3)存在著基本解，并且基本解非負(fù).

2預(yù)備知識(shí)

1) Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù). Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：

2) Fourier變換. 如果f(x)∈L1(Rd)，則f(x)的Fourier變換定義為：

其逆變換為：

3) Laplace變換. 如果定義在R+上的函數(shù)f(t)，積分

在C的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則稱F(s)為函數(shù)的Laplace變換；其逆變換可以表示為：

4)Wright函數(shù). Wright函數(shù)定義為:

證明過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn).

3基本解的存在性

3.1求基本解

對(duì)方程(1)、(2)作Fourier變換，可得

(4)

(5)

對(duì)方程(4)關(guān)于時(shí)間應(yīng)用Laplace變換并利用初始條件(3)可得：

6)

所以

(7)

對(duì)式(7)求Fourier逆變換可得

(8)

其中:

(9)

由式(9)可知

(10)

(11)

3.2定理1證明

先討論當(dāng)α=1時(shí)的特殊情況，由式(10)可得

(12)

取

這里ε充分小，R充分大，且χ1(ξ)，χ3(ξ)是光滑截?cái)嗪瘮?shù)，χ2(ξ)=1-χ1(ξ)-χ3(ξ). 令

所以，

(13)

顯然有

(14)

所以，

令

所以，

由引理得到：

(15)

(16)

所以由式(13)～(16)可知，G(1)積分存在.

對(duì)于一般的0<α<1的情況.

Green函數(shù)Laplace-Fourier變換式(11)可以變成積分形式

(17)

其中:

(18)

作逆變換得到

(19)

這里Mα為Wright函數(shù).

對(duì)式(16)求Laplace逆變換得：

(20)

對(duì)式(20)求Fourier逆變換得：

(21)

所以，

(22)

最后由G(1)和G2α的非負(fù)性可以保證Green函數(shù)G(α)的非負(fù)性.

參考文獻(xiàn)：

[1] 郭柏靈. 分?jǐn)?shù)階偏微分方程及其數(shù)值解[M]. 北京: 科學(xué)出版社，2011.

[2] 黃鳳輝，郭柏靈. 一類(lèi)時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2010，31(7): 781-790.

[3]GORENFLOR,LUCHKOY,MAINARDIF.Wrightfunctionsasscale-invariantsolutionsofthediffusion-waveequation[J].ComputationalandAppliedMathematics，2000，118(1): 175-191.

[4]WANGW，YANGT.Thepointwiseestimatesofsolutionsforeulerequationswithdampinginmulti-dimensions[J].JournalofDifferentialEquations，2001，173(2): 410-450.

[5]GOPALARAOVR，TINGTW.Solutionsofpseudo-heatequationsinthewholespace[J].ArchiveforRationalMechanicsandAnalysis.1972，49(1): 57-78.

(責(zé)任編輯： 蔣培玉)

The existence of fundamental solution for a class of time fractional pseudoparabolic equations

CHEN Jianchun, ZENG Youdong

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

Abstract:The fundamental solutions for a class of the time fractional pseudoparabolic partial differential equations are discussed in this paper by using Fourier transform, Laplace transform and their corresponding inverse transforms.The existence and the nonnegativity of the fundamental solution are proved in the end.

Keywords:pseudoparabolic equations; Caputo derivative; Fourier transform; Laplace transform

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0364

文章編號(hào)：1000-2243(2016)03-0364-04

收稿日期:2014-06-30

通訊作者:曾有棟(1961- ), 教授，主要從事偏微分方程研究，zengyd@fzu.edu.cn

基金項(xiàng)目：福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Z0511015)

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.26

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A