一種二維實空間上構(gòu)造框架的算法及其實現(xiàn)

王 維，朱玉燦

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州　350116)

一種二維實空間上構(gòu)造框架的算法及其實現(xiàn)

王 維，朱玉燦

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州350116)

摘要：針對二維實空間上具體框架的構(gòu)造方法問題，提出一種二維實空間上構(gòu)造具體框架和緊框架的算法. 通過編程實現(xiàn)該算法，得到了在滿足一定條件下，利用該算法可以構(gòu)造不同需求下的二維實空間的具體框架和緊框架的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：框架； 二維實空間； 算法

0引言

Hilbert空間的框架是標(biāo)準(zhǔn)正交基的一種推廣，在有限維Hilbert空間中，框架是一個可張成該空間的冗余集. 框架的一些性質(zhì)在圖像處理、 編碼和傳輸、 無線電通訊等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用. 如，由于框架的冗余性，使得框架能夠很好地恢復(fù)丟失的數(shù)據(jù)； 在信號處理方面，框架的范數(shù)可以代表著物理能量值. 在具體的應(yīng)用中，時常需要構(gòu)造滿足具體問題中的特殊要求的框架. 因此，如何在Hilbert空間中構(gòu)造框架成為了一個熱點(diǎn). 文獻(xiàn)研究了在給定框架算子或者框架算子的譜和模長等條件下相關(guān)框架的存在性，并沒有給出具體的算法.

下面介紹框架的相關(guān)概念以及幾個命題，它們是該算法設(shè)計的理論依據(jù).

如果Λ為對角矩陣且diag(Λ)=(λ1,λ2, …,λm)，則存在m階正交矩陣O，使得

1算法分析

1.1算法思想

在R2中，框架算子所對應(yīng)的矩陣S是一個二階的正定的實對稱矩陣，因而存在二階正交矩陣O和對角矩陣Λ使S=OΛO*成立，其中diag(Λ)=(λ1,λ2)，λ1,λ2分別為S的兩個特征值(設(shè)λ1≥λ2>0). 令m×2階矩陣Δ為：

那么ΔΔ*為m階對角矩陣，其中diag(ΔΔ*)=(λ1,λ2, 0, …, 0). 由命題2知，當(dāng)滿足條件：

(1)

1.2正交矩陣O的構(gòu)造

對于兩個固定的正實數(shù)λ1、 λ2，對應(yīng)著無窮多個以它們?yōu)樘卣髦档亩A的實對稱矩陣S. 這也說明對R2中每個具有相同框架上界與框架下界的框架，可以對應(yīng)著不同的框架算子Q. 而在正實數(shù)λ1、λ2固定的情況下，改變框架算子Q只能由正交矩陣O決定. 以下面方式構(gòu)造正交矩陣O：

(2)

此時，根據(jù)控制參數(shù)z(z∈[0, 2π])可以得到各種不同的正交矩陣O. 其中，當(dāng)z取遍閉區(qū)間[0, 2π]內(nèi)的值時，就構(gòu)造出了全部的正交矩陣O. 也即在正實數(shù)λ1、λ2固定的情況下，通過z可以控制生成不同的框架算子Q，并且它們都有著公共的特征值λ1、λ2. 特別地，當(dāng)需求為生成緊框架時，則需要令z=0，即O=I2，其中I2為二階單位矩陣.

1.3確定需求框架的最佳框架上界λmax與最佳框架下界λmin

(3)

(4)

構(gòu)造如下形式的l階正交矩陣Oj：

(5)

其中： *=(Aj(k,k)-Aj(1, 1))sintcost. 此時Aj+1是l-1階對角矩陣，且Aj+1只有兩種可能：

或者

2算法設(shè)計及實現(xiàn)的偽代碼

偽代碼：

程序開始

Step1： If 不滿足式(1) Then輸出(“參數(shù)有誤，請重新輸入正確參數(shù)”)程序結(jié)束

End if

Step2： IfI=0 Then 以式(2)的方式構(gòu)造O

λmax←λ1

λmin←λ2

Else ifI=1 Then

If不滿足式(3) Then 輸出(“不存在緊框架，請重新輸入正確參數(shù)”)程序結(jié)束

End if

O←I2

λmin←λmax

End if

Step3～6： 依式(4)構(gòu)造A1

Forj=1 tom-1

Begin

l←m-j+1

Fori=2 tol

Begin

Break

End if

End

根據(jù)k值，依式(5)構(gòu)造Oj

End if

End

Step7： Ifm>2 Then

Forw=1 tom-2

Begin

Om-1-w←Bw+2Om-1-w

End

End if

輸出： F

程序結(jié)束

需要說明的是： 在輸入?yún)?shù)λ1、λ2固定的情況下，正交矩陣O的控制參數(shù)z提供了可選取不同Q作為最終輸出框架的框架算子的機(jī)會，當(dāng)z取遍整個閉區(qū)間[0, 2π]的值時，通過該算法可以計算出全部以{λ1,λ2}為特征值的框架算子Q的框架.

3算例以及驗證分析

根據(jù)上面算法設(shè)計的思路，經(jīng)過計算編程實現(xiàn)，下面給出算例和驗證分析.

表1　參數(shù)I，z取不同值時輸出的結(jié)果

另外，從表2可以看出，在其他輸入?yún)?shù)不變的情況下，當(dāng)正交矩陣O的控制參數(shù)z取不同值時，意味著可選擇特征值一樣卻又完全不同的Q作為最終輸出框架的框架算子，這也驗證了該算法的靈活性.

下面將嘗試把該框架構(gòu)造的算法推廣到三維以及多維空間上，使其能更廣泛地應(yīng)用在高維信號的處理中.其實現(xiàn)也將更為復(fù)雜，需要考慮更多的問題，比如多維正交矩陣的選取將更加多樣化等，還要考慮一些數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的處理問題.

表2　參數(shù)I，z取不同值時輸出的矩陣F的秩、 FF*以及OΛO*

表3　參數(shù)I，z取不同值時輸出結(jié)果的模長

參考文獻(xiàn)：

[1] CHAN R H, RIEMENSCHNEIDER S D, SHEN L,etal. Tight frame: an efficient way for high-resolution image reconstruction[J]. Appl Comput Harmon Anal, 2004, 17: 91-115.

[2] STROHMER T, HEATH J R. Grassmanian frames with applications to coding and communications[J]. Appl Comput Harmon Anal, 2003, 14: 257-275.

[3] HEATH R W, PAUKAJ A J. Linear dispersion codes for MIMO systems based on frame theory[J]. IEEE Trans Signal Process, 2002, 50: 2 429-2 441.

[4] CASAZZA P G, LEON M T. Existence and construction of finite frames with a given frame operator[J]. International Journal of Pure and Applied Mathematics，2010, 63: 149-158.

[5] CAHILL J，F(xiàn)ICKUS M, MIXON D G，etal. Constructing finite frames of a given spectrum and set of lengths[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2013, 35(1): 52-73.

[6] ROLLI W J. Constructing frames for finite dimensional Hilbert spaces[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006, 321(1): 388-395.

[7] CASAZZA P G. Finite frames: theory and applications[M]. Boston: Birkhauser, 2012.

(責(zé)任編輯： 林曉)

An algorithm for constructing frames and its implementation on a two-dimensional real space

WANG Wei, ZHU Yucan

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

Abstract:This paper focuses on the construction of frames on a two-dimensional real space. We present an algorithm for constructing frames and tight frames on a two-dimensional real space and give the Pseudo-code of that algorithm. We get the conclusion that we can construct the specific frames on a two-dimensional real space for different needs by the algorithm.

Keywords:frame; two-dimensional real space; algorithm

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0348

文章編號：1000-2243(2016)03-0348-07

收稿日期:2014-03-26

通訊作者:朱玉燦(1963-)，教授，主要從事框架理論、 幾何函數(shù)論、 多復(fù)變函數(shù)幾何理論研究，zhuyucan@fzu.edu.cn

基金項目：福建省自然科學(xué)基金資助項目(2012J01005)

中圖分類號：O177.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A