有限維Hilbert空間中框架和fusion框架的最大魯棒度

潘 倩，舒志彪

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院，福建 福州　350116)

有限維Hilbert空間中框架和fusion框架的最大魯棒度

潘 倩，舒志彪

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院，福建 福州350116)

摘要：根據(jù)框架的最大魯棒度的定義，給出框架的最大魯棒度的性質(zhì)，并討論經(jīng)過一些矩陣擾動后框架最大魯棒度的變化. 對fusion框架的最大魯棒度的上界進行估計，得到經(jīng)過一些特殊擾動后fusion框架的最大魯棒度的變化.

關鍵詞：框架; fusion框架; Hilbert空間; 最大魯棒度; 擾動

1引言

在過去30年，框架系統(tǒng)因為其魯棒性、 穩(wěn)定性以及不唯一的向量表示，使得它被廣泛應用于濾波器組理論[1]、 信號和圖像處理[2]等領域. 框架具有冗余性，這樣的冗余產(chǎn)生了魯棒性，這使得框架對傳輸?shù)腻e誤表現(xiàn)出較低的敏感性. 在更廣泛的向量上傳播信息時，丟失的信息可以得到還原，還可以減輕信號中噪聲的影響，所以對于框架的擦除魯棒性研究[3-4]顯得尤為重要. 由于框架在實際問題中的應用大部分都表現(xiàn)在有限維向量空間中，因此國內(nèi)外有許多學者對有限維框架進行一些深入、 系統(tǒng)的研究[5-6]. 然而，傳統(tǒng)的單一框架系統(tǒng)很難在大量新的應用設置中建立模型. 于是在本文中研究fusion框架的最大魯棒度[7-8]. 關于fusion框架的擦除魯棒性研究已經(jīng)得到了一些結(jié)論[9-10], 在文獻[11]中, 提出有限維Hilbert空間中框架最大魯棒度的概念.

本文采用如下記號: Hn表示n維Hilbert空間，l、 m、 r、 k、 n為正整數(shù)，N為正整數(shù)集，I是N的子集，Rn為n維實向量空間. 矩陣G的秩記為rank(G)，πW:Hn→W表示從Hn到W的正交投影.

首先簡要介紹框架和fusion框架的一些基本概念和性質(zhì).

成立. A ，B分別稱為框架的下界和上界.

則稱{(Wi，vi)}i∈I是Hn的fusion框架，C，D分別稱為fusion框架的下界和上界.

如果一個矩陣F的所有行向量是Hn中的一個框架，默認該框架的最大魯棒度用rob(F)表示.

2有限維Hilbert空間中框架的最大魯棒度

rob(F1∪F2)≥rob(F1)+rob(F2)+1

證明假設rob(F1)=a，rob(F2)=b，其中a和b都是正整數(shù). 假設Φ=(F1)∪(F2). 當Φ中任意去掉a+b+1個向量時，那么這a+b+1個向量一部分屬于F1，另一部分屬于F2. 設其中屬于F1中的向量個數(shù)為k1，屬于F2中的向量個數(shù)為k2，則k1+k2=a+b+1. 下面分兩種情況討論.

1) 當k1≤a時，k1≤rob(F1)，根據(jù)擦除魯棒性以及最大魯棒度的定義，任意去掉F1中的k1個向量，則剩下的向量仍是框架. 再并上擦掉F2中k2個向量后剩下的向量，則仍然還是框架.

2)當k1>a，則k2

綜述所述，任意去掉Φ中a+b+1個向量，剩下的向量仍然是框架. 根據(jù)最大魯棒度的定義，

rob(Φ)=rob(F1∪F2)≥rob(F1)+rob(F2)+1

下面討論框架的r擦除魯棒性經(jīng)過一些特殊的矩陣擾動后的變化.

證明

Φ任意去掉l行所得的矩陣Φ1=A1F1D，其中F1為F去掉l行后的矩陣，A1為A去掉對應l行和l列后的矩陣. 因為D是行滿秩矩陣，所以有D=[En0]Q，其中En為n階單位矩陣，Q為可逆矩陣. 所以F1D=F1[En0]Q=[F1En0]Q，又因為A1為可逆矩陣，那么

rank(A1F1D)=rank(A1[F1En0]Q)=rank(F1En)=rank(F1)

也就是說矩陣Φ的行向量組成的框架和F一樣都具有r擦除魯棒性.

注1上述定理中當矩陣A中互換任意行后，結(jié)論也是成立的.

對于定理2，當A為任意可逆矩陣時不一定成立. 因為F的行向量互換兩行或者對某一行乘上一個非零的數(shù)都不會改變其行向量組成框架的擦除魯棒性. 但如果把某一行的k倍加到另外一行，則擦除魯棒性會發(fā)生變化. 下面通過一個例子說明定理2中A為任意可逆矩陣時結(jié)論不成立.

從定理2和推論1可以發(fā)現(xiàn)，右乘一個行滿秩矩陣不改變框架的最大魯棒度. 下面給出左乘一個特殊的列滿秩矩陣后，關于框架最大魯棒度的一個不等式.

證明設rob(F )=r，若矩陣A去掉可逆對角子矩陣所在行以后剩下的l-k行全為0，則根據(jù)定理2及注1知等號成立; 若剩下的l-k行不全為0，其實Φ是一個l×n的矩陣. 因為A中存在某k行組成的子矩陣是通過一k×k可逆對角矩陣互換某些行得到的，說明矩陣Φ的行向量對應的框架中存在一組a1f1，a2f2，…，akfk的向量，其它向量則可由它們線性表出，其中a1，a2，…，ak為非零實數(shù). 所以rob(Φ)至少為r，即rob(Φ)≥rob(F).

矩陣的秩通過左乘列滿秩矩陣或者右乘行滿秩矩陣不改變矩陣本身的秩. 但是對于空間的框架，其元素作為行向量組成的矩陣在進行左乘列滿秩矩陣后，所得的矩陣的行向量仍然是空間的框架. 但其最大魯棒度卻發(fā)生了改變. 也就是說通過左乘列滿秩矩陣作用后，雖然框架本身秩不變，但不能保證框架跟原來一樣在擦除一部分向量后仍可以張成整個空間.

3有限維Hilbert空間中fusion框架的最大魯棒度

根據(jù)框架的最大魯棒度的定義，給出fusion框架的最大魯棒度的定義.

給出rob(W)的一個上界估計.

S={I?{1，2，…，k}:span({Wi}i∈I)=Hn}

注3引理2為文獻[8]中的命題5.2在有限維空間中的表達，易看出當ε=0時，結(jié)論成立.

在引理2中ε取零的情況下，得出定理5中的等式. 當ε不為零時，仍存在一種特殊情況.

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(責任編輯： 蔣培玉)

Maximum robustness of frames and fusion frames in finite dimensional Hilbert spaces

PAN Qian，SHU Zhibiao

(College of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350116，China)

Abstract:Based on the definition of the maximum robustness of frames，we give some characterizations about the maximum robustness of frames，and discuss the change of maximum robustness of frames under some matrix perturbation. We also estimate the upper bound of the maximum robustness of fusion frames，and discuss the change of maximum robustness of fusion frames under some special perturbation.

Keywords:frame; fusion frame; Hilbert spaces; maximum robustness; perturbation

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0337

文章編號：1000-2243(2016)03-0337-05

收稿日期:2014-07-03

通訊作者:舒志彪(1958-), 副教授, 主要從事小波分析、 圖像處理、 信息隱藏等方面的研究，szb@fzu.edu.cn

基金項目:福建省自然科學基金資助項目(2012J01005, 2014J01007); 福州大學科技發(fā)展基金資助項目 (2012-XQ-29)

中圖分類號：O177.1

文獻標識碼：A